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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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(No Subject) NEW / quiver
quiver Qの表現MをA加群とみなすとはどういうことでしょうか?
No.21836 2017/09/15(Fri) 15:59:54
(No Subject) / あすなろ
 直感的には明らかな、集合の包含関係に関する推移律の証明についての質問です。
http://www002.upp.so-net.ne.jp/hoshitosugaku/images/hogan_suii.jpg
 上図の(2)がその証明です。
  (A⊆B)∧(B⊆C) ⇒ A⊆C …… (#1)
を書き直すと
  (x∈A ⇒ x∈B)∧(x∈B ⇒ x∈C) ⇒ (x∈A ⇒ x∈C) …… (#2)
であり、仮定である
  (x∈A ⇒ x∈B)∧(x∈B ⇒ x∈C) …… (#3)
より
  x∈A ⇒ x∈B ⇒ x∈C …… (#4)
を導ける。したがって
  x∈A ⇒ x∈C …… (#5)
が成り立つ……というような説明になっています。つまり上記の参考書では (#3) ⇒ (#4) となるのは自明であるかのような説明になっています。しかし、これを自明というなら、図を書いて明らかというのとあまり変わらないような気がするのですが。

 そこで x∈A、x∈B、x∈C の命題を p、q、r に置き換え、(#2)を
(p⇒q∧q⇒r) ⇒ (p⇒r)
と表せば、論理の三段論法が使えます。念のため真理値表を作ると

               (#5)  (#3)
  p  q  r | p⇒q| q⇒r| p⇒r|p⇒q∧q⇒r|
  ------------------------------------------
  T  T  T | T | T | T |   T  |
  T  T  F | T | F | F |   F  |
  T  F  T | F | T | T |   F  |
  T  F  F | F | T | F |   F  |
  F  T  T | T | T | T |   T  |
  F  T  F | T | F | T |   F  |
  F  F  T | T | T | T |   T  |
  F  F  F | T | T | T |   T  |

  (p⇒q∧q⇒r) ⇒ (p⇒r)
が真であることが確認できます。したがって集合の推移律
  (A⊆B)∧(B⊆C) ⇒ A⊆C …… (#1)
は確かに成り立ちます。ところが(#4)を

  (p⇒q⇒r) ⇔ (p⇒q)⇒r ⇔ ¬(p⇒q)∨r …… (#4)

と解釈して、真理値表を作ると
  (#3) ⇒ (#4)
  (#4) ⇒ (#5)
はどちらも成り立ちません。どこがおかしいのでしょうか?

              (#4)   (#5)  (#3)
   p⇒q|¬(p⇒q)| r |¬(p⇒q)∨r| p⇒r|p⇒q∧q⇒r
  -----------------------------------------------
   T |  F  | T |   T   | T |   T  
   T |  F  | F |   F   | F |   F  
   F |  T  | T |   T   | T |   F  
   F |  T  | F |   T   | F |   F  
   T |  F  | T |   T   | T |   T  
   T |  F  | F |   F   | T |   F  
   T |  F  | T |   T   | T |   T  
   T |  F  | F |   F   | T |   T  

No.21830 2017/09/12(Tue) 20:36:34

Re: / あすなろ
真理値表がずれて見にくいので、リンク先の画像を参照してください。駄文の長文恐縮です。
No.21831 2017/09/12(Tue) 20:45:27

Re: / camusPlague
> x∈A ⇒ x∈B ⇒ x∈C …… (#4)

これは、正確には

三段論法
# x∈A ⇒ x∈B
# かつ
# x∈B ⇒ x∈C
# 従って、
# x∈A ⇒ x∈C
で記述すべき、手抜き表現でしょうね。

同様に、
> (p⇒q⇒r)
真理値表は作れますか?
論理式の意味をもたないと思います。

まして、、
> (p⇒q)⇒r
を導くことは出来ないでしょう。


>   (p⇒q∧q⇒r) ⇒ (p⇒r)
> が真であることが確認できます。…

で、良いのではないですか。

No.21832 2017/09/14(Thu) 07:15:20

Re: / 黄桃
直接的にはcamusPlague さんのおっしゃる通りですが、細かいことをいえば、全称命題の扱いが不十分です。
参照している書籍は高校生向けの参考書、あるいは、一般向けの読み物でしょうか?
いずれにせよ、その説明は不完全です(ですが完全な説明をするには膨大な準備が必要な上、分かる人には説明不要なので普通はしない)。
以下も十分ではありませんが、できるだけ説明します。

x∈A を P(x), x∈B をQ(x), x∈C をR(x)と書けば、P(x),Q(x),R(x)は命題ではなく、xに応じて真偽が決まる「命題関数」です。
p,q,r として真理表を書く、ということは、命題として考えているというわけで、このxに何か値を代入したものをp,q,rとして考えているわけです。

#関数f(x)のxに似ています。xには1や0を代入できます。
#f(x)>0 かどうか?と聞かれても x の値によりますが、
#f(x)>0 と書いて「どんなxでも f(x)>0」という意味の命題を示すこともあります。
#両者の違いは文脈で判断しているわけで、同じことが命題関数でも必要になります。

> (x∈A ⇒ x∈B)∧(x∈B ⇒ x∈C) ⇒ (x∈A ⇒ x∈C) …… (#2)
は本当は

すべてのxについて(x∈A ⇒ x∈B)、かつ、すべてのxについて(x∈B ⇒ x∈C)
ならば
すべてのxについて(x∈A ⇒ x∈C)

の意味です。

すべてのxについて、というのを記号で∀x と書きます。
上のP(x),Q(x),R(x)を使って書くと正確には、#2は
(∀x(P(x) ⇒ Q(x))∧(∀x(Q(x) ⇒ R(x)) ⇒ (∀x(P(x) ⇒ R(x)))
となります。

#一般に∀x (A(x)∧B(x))と(∀xA(x))∧(∀xB(x))とは同じですが
#∀x (A(x)∨B(x))は(∀xA(x))∨(∀xB(x))とは異なります(違う例:x整数、A(x)=xは偶数、B(x)=xは奇数)。
#なので「すべてのxについて」を省略しては(戻し方によって)意味が変わることがあるのですが、
#命題の「内容」を考えることができる人の場合は勝手に正しい意味にとらえてしまいます。
#上の「違う例」であれば、(∀xA(x))∨(∀xB(x))はナンセンスなので、∀x (A(x)∨B(x))のことだろう、と思うのです。
#日本語ができる人なら多少日本語の文章に誤りがあっても正しく意味を理解してしまうのと同じです。

証明したいことは(∀x(P(x)⇒ R(x)))です。
∀x A(x)という命題を証明するには、xにaを代入してaの値によらずA(a)が真になることをいえば十分です。
そこで、xにaを代入して、aが何であっても P(a)⇒R(a)が真と言えればいいわけです。
P(a)⇒R(a)を証明するにはP(a)が真であると仮定してR(a)が導ければいいわけです。

#aでなくxのままでも同じですが、紛らわしいのでaとします。

さらに、∀x A(x)という命題が真であれば、xにaを代入したA(a)も真です。
したがって、仮定#3 (∀x(P(x) ⇒ Q(x))∧ (∀x(Q(x) ⇒ R(x))が真より、
最初の項にx=aを代入した P(a)⇒Q(a)が真であり、2番目の項から同様に Q(a)⇒R(a)も真です。
P(a)を真とすれば、P(a)⇒Q(a)が真だから、Q(a)が真、その上、Q(a)⇒R(a)が真だから R(a)も真(これが#4の意味)です。
つまりP(a)を仮定してR(a)が導けたので、P(a)⇒R(a)が証明できました。
aはなんでもよかったので、これで∀x(P(x)⇒R(x))が証明できました。

#5は P(a)⇒R(a)という意味なのか ∀x(P(x)⇒R(x))の意味なのかははっきりしませんが、どちらでも同じことです。

#その本の「A⊂B ⇔ [x∈A⇒x∈B]」という部分、このままでは、右側のxが何かわからないと真偽がわからない、
#という状態になっています。すべてのxについて、を復活させないと命題にならないわけですが、この本では、
#∀x(x∈A⇒x∈B)の意味だと(勝手に)決めています。厳密には (∀x(x∈A))⇒(∀x(x∈B))
#やもっといえば∀x((∀x(x∈A))⇒x∈B)等々という解釈だってあるわけですが、これらはナンセンスなので
#切り捨てています。

No.21833 2017/09/14(Thu) 08:55:27

Re: NEW / あすなろ
 丁寧かつ詳細な回答、まことにありがとうございます。確かに長文、それも数学の長文を理解するのは苦手です(^O^)。
 アップした画像の参考書は石村園子さんの「すぐわかる代数」です。マセマの参考書同様、お手軽系の大学数学参考書としてけっこう有名だと思います。「わかる」というより「わかった気になる」ことが多いのが難点ですが、気楽に読めるので重宝しています。

 さて、camusPlague さんの回答で
x∈A ⇒ x∈B ⇒ x∈C …… (#1)
という表現は、論理式としての意味を持たないということは確かに納得できました。確かに真理値表を作りようがない。
 ということは(#1)の ⇒ は論理記号ではなく、単なる矢印ですかねえ(笑)。しかし読者は ⇒ という記号を
P⇒Q ⇔ ¬P∨Q
と判断するでしょうから、いくらお手軽系の参考書とはいえ、これではちょっと困ります。

 さて、黄桃さんが指摘している

(x∈A ⇒ x∈B)∧(x∈B ⇒ x∈C) ⇒ (x∈A ⇒ x∈C) …… (#2)

とは

( ∀x(P(x) ⇒ Q(x) )∧( ∀x(Q(x) ⇒ R(x) ) ⇒ ( ∀x(P(x) ⇒ R(x) ) ) …… (#3)

であるということは、一応承知しています。ただ、参考書では文章の構成上1つのセクションの冒頭で(#3)のような表現をして、次のセクションまではとくに誤解のない限り(#2)の表現で押し切っているようです。

 集合論については、石村さんの本だけでは不安なので(笑)、「集合論入門」(赤攝也著)という本を買いました。ちくま文庫に入っているので古典として定評のある本なのでしょう。ただ、本文では論理記号は一切出てきません(付録で少しだけ紹介)。したがってほとんど自明の定理 A⊆A∪B の証明などは

A∪B は A の元と B の元を寄せ集めたものである.
よって x∈A ならば x∈A∪B.
したがって A⊆A∪B.

というような、大変素朴でわかりやすい表現になっています。ま、これで十分なのですけど、論理記号を使うと

A⊆A∪B ⇔ (x∈A ⇒ x∈A∪B)
⇔ (¬x∈A)∨(x∈A∪B)
⇔ (¬x∈A)∨(x∈A∨x∈B)
⇔ ¬x∈A ∨ x∈A ∨ x∈B
⇔ [T] ∵ ¬x∈A ∨ x∈A は恒真命題

と機械的に証明できるのがちょっと快感だったりするので(笑)、「集合論入門」を読んでノートをとるとき、証明の部分はすべて論理記号に書き換えています。ただ、論理記号の扱いに不慣れなため、その表現がほんとに正しいのか、自信の持てないことがあります。たとえばこの質問で掲げた論理の三段論法
(p⇒q∧q⇒r) ⇒ (p⇒r)
が真であるかどうかは、真理値表を作成するが手っ取り早いですけど、

(p⇒q∧q⇒r) ⇒ (p⇒r)
⇔¬(p⇒q∧q⇒r)∨(¬p∨r)
⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨r) ) ∨ (¬p∨r)
⇔ (¬(¬p∨q)∨¬(¬q∨r) ) ∨ (¬p∨r)
⇔ ( (p∧¬q)∨(q∧¬r) ) ∨ (¬p∨r)
⇔ (p∧¬q) ∨ (q∧¬r) ∨ ¬p ∨ r …… 4つの論理和と見る
⇔ (p∧¬q)∨¬p ∨ (q∧¬r)∨r …… 順番を入れ替え、分配律
⇔ ( (p∨¬p)∧(¬q∨¬p) ) ∨ ( (q∨r)∧(¬r∨r) ) …… 恒真との論理積は不変
⇔ (¬q∨¬p)∨(q∨r) ⇔ [T] …… 恒真との論理和は恒真

という証明は正しいのかどうか(正しいと思いますが^^;)。手持ちの論理学の参考書には、こういう気の利かない証明は載っていないので、さほど自信はないのです。
 他にも迷ったりわからなかったりする証明が出てくるとは思いますが、そのときはまた、改めて質問させてください。

No.21835 2017/09/14(Thu) 22:30:23
バルビエの定理証明 / コルム
教えていただけると幸いです。
No.21827 2017/09/02(Sat) 13:55:53

Re: バルビエの定理証明 / camusPlague
以下に載っています。

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~furuhata/ed/FreshmanSeminar/060721b.pdf

No.21828 2017/09/04(Mon) 15:09:43

Re: バルビエの定理証明 / コルム
ありがとうございました。
No.21829 2017/09/04(Mon) 16:35:57
数学B / りか
平面ベクトルの問題で図はかけたのですがそこから先に進めなくて困っています。

∠AOB=π/2,OA=2,OB=1である△OABにおいて、ABの中点をM、OからABに下ろした垂線の足をHとする。△OABの外側に辺ABを底辺とする2つの正三角形をつくり、それぞれのもう一つの頂点をP,Qとする。OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとするとき、次の問に答えよ。
(1)OPベクトル・aベクトル、OPベクトル・bベクトルを求めよ。
(2)OPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
(3)OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
→これは自己解決しました。(ans. OHベクトル=1/5aベクトル+4/5bベクトル)
(4)MQベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
(5)△MPQの面積Sを求めよ。

長文失礼します。本当に困っています。よろしくお願いします。

No.21825 2017/08/28(Mon) 01:11:05

Re: 数学B / たけちゃん
ABを一辺とする正三角形は,△OABの外側には1つしかつくれません.
条件「外側」を無視すれば2つ作れますが,
Pはそのどちらの「もう一つの頂点」であるかは定めようがありません.

No.21826 2017/08/28(Mon) 09:49:06
ド・モルガンの法則 / あすなろ
 ※A~ は A の補集合、x∈/A は、x が A に所属しないことを表します。
 集合のド・モルガンの法則
  (A∪B)~ = A~∩B~
の、ベン図に頼らない証明の1つとして
  x∈(A∪B)~
  ⇔ x∈/A∪B ………… (1)
  ⇔ x∈/A∧x∈/B …… (2)
  ⇔ x∈A~∧x∈B~
  ⇔ x∈A~∩B~
という解答をネット上で見つけたのですが、論理記号に不慣れなため、ベン図を描かないとなぜ(1)から(2)の変形が許されるのかよくわかりません。
  x∈/A∪B :A∪B は x を一切含まない
  ¬(x∈A∨x∈B) : (A が x を含むか B が x を含む) というようなことは一切ない
と解釈すれば
  x∈/A∪B ⇔ ¬(x∈A∨x∈B)
なので、論理のド・モルガンの法則
  ¬(p∨q) ⇔ ¬p∧¬q (こちらは真理値表を使って証明)
を使って
  ¬(x∈A∨x∈B) ⇔ ¬(x∈A)∧¬(x∈B) ⇔ x∈A~∧x∈B~.
 これでいいのでしょうか?

No.21821 2017/08/27(Sun) 07:11:29

Re: ド・モルガンの法則 / camusPlague
>  x∈/A∪B ⇔ ¬(x∈A∨x∈B)
> なので、論理のド・モルガンの法則
>   ¬(p∨q) ⇔ ¬p∧¬q (こちらは真理値表を使って証明)
> を使って
>   ¬(x∈A∨x∈B) ⇔ ¬(x∈A)∧¬(x∈B) ⇔ x∈A~∧x∈B~.
>  これでいいのでしょうか?

これで、正しいです。

同じ事ですが、
# x∈A∪B ⇔ x∈A∨x∈B
の否定命題の同値関係をたどり
# x∉ A∪B ⇔ x∉ A ∧ x∉ B
と二段階にわけた方が、迷いは少ないかもしれません。

No.21822 2017/08/27(Sun) 13:08:34

Re: ド・モルガンの法則 / あすなろ
 丁寧な回答まことにありがとうございます。大学以降の数学は独学ですので大変助かります。
No.21823 2017/08/27(Sun) 14:51:56
(No Subject) / おほほ
数学的帰納法を用いる証明です
nを自然数とするとき,5^n-1が4の倍数となることを示せ。

1)n=1のときは省略します

問題は次です

2)n=kのとき,mを整数として
  5^k-1=4m・・・@
 を仮定すると
  n=k+1のとき
  @の両辺に5をかけて
  5^(k+1)-5=5×4m
5^(k+1)-1=5×4m+4
5^(k+1)-1=4(5m+1)
となるから
  n=k+1のとき
  5^(k+1)-1は4の倍数となる
 以下略

2)は,このように解いても問題ないでしょうか?

No.21819 2017/08/25(Fri) 18:17:58

Re: / たけちゃん
基本的に問題ないと思います.

しいて言えば,
・「n=kのとき」は,文章としてどこにもつながりません.
(つながるべき部分にnが登場しません.)
・仮定すべきは「n=kのときの示すべき命題の成立」なので,
「5^k-1が4の倍数であること」が本来の姿です.
このとき,仮定から整数mを用いて5^k-1=4mと表されることがわかります.

No.21820 2017/08/25(Fri) 21:31:30

Re: / おほほ
ありがとうございました。
No.21824 2017/08/27(Sun) 17:01:50
射影行列 / ELT
n×n行列の固有値をλ_1,λ_2,…,λ_k (k≦n)とすると
A=Σ_{i=1..k}λ_iP_i (ただしP_iP_j=δ_ijP_i,δ_ijはクロネッカーのデルタ)
とスペクトル分解されますよね。
この時,Σ_{i=1..k}P_i=I (Iは単位行列) という等式はどうすれば導けるのでしょうか?

No.21817 2017/08/10(Thu) 08:51:57

Re: 射影行列 / camusPlague
> n×n行列
あなたのテキストでは、
"すべてのn×n行列"と記載されているのでしょうかね。

http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0II%2F%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%83%BB%E5%9B%BA%E6%9C%89%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%88%86%E8%A7%A3

冒頭から全てを読んで下さい。

# "スペクトル分解"の行
# "x= の行" と "E= の行"
# "Ax= の行" と "A= の行"
を対比して読めば、理解可能です。

記載されている行列は、
・エルミート行列
・ユニタリー行列
・正規行列
ですね。

No.21818 2017/08/11(Fri) 11:56:44
微分について / しろくまサン
微分についての問題を教えて下さい、お願い致します。。
---------------------------

f:R−{-1/2}→R、f(x)=1/2x+1を関数とする。

1.fの、1からhだけ変化したときの平均変化率を求めよ。
2.fの、1における微分係数を求めよ。

-------------------------

f:R−{-1/2}→R から分からなくてその先に進めません。。
大学1年です、宜しくお願いします。

No.21815 2017/07/27(Thu) 17:44:03

Re: 微分について / df
f(x)=1/(2*x + 1) です。

基本中の基本故 學んでください。

「びぶん の ことは 自分で」

No.21816 2017/08/02(Wed) 00:14:08
(No Subject) / SAKURA
集合 A={1,2,3},B={3,4} について
(1)A×Bを求めよ
(2)Aの部分集合全体の集合を求めよ
(3)AからBへの全射を1つ求めよ
(4)BからAへの単斜を一つ求めよ
(5) 3,4で求めた写像の合成写像を求めよ
(6)AからBへの写像で、単斜であるものをすべて求めよ

多くて申し訳ありません、、明日試験なのですがわからなくて、、
解説、お願いいたします!><

No.21814 2017/07/27(Thu) 17:37:31
大学生・行列 / 単位危機
行列
2a+b+c+d b c d
a a+2b+c+d c d
a b a+b+2c+d d
a b c a+b+c+2d
が正則になるための必要十分条件を求めよ

という問題です。何度解いてもわかりません。
よろしくお願いします。

No.21812 2017/07/25(Tue) 22:33:36

Re: 大学生・行列 / 単位危機
解決しました。ありがとうございました!
No.21813 2017/07/25(Tue) 23:46:06
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