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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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A Counterfeit Coin Puzzle NEW / ktakada
Given a two pan fair balance and 15 identically looking coins out of which two coins may be defective. How can we trace which coins, if any, are odd two and also determine whether there are lighter or heavier in 6 trials in the worst case?

よろしくおねがいします

No.22909 2021/01/21(Thu) 22:23:52
三角形と円の関係について / 寝屋川のムウマ
y=ax^2の放物線のグラフとx^2+(y-a)^2=r^2のグラフがあります。
この時、交点はどことどこになります。

No.22908 2021/01/16(Sat) 17:14:27
大学数学 重積分 / chatty0811
(1)∫∫D (2x + 3y)dxdy,D:0≤x≤1,2≤y≤4
(2)∫∫D xdxdy,D:y≤x≤3,0≤y≤3
(3)∫∫D sinxdxdy,D:0≤x≤π,0≤y≤sinx
(4)∫∫D 1/{(x−1)(y−2)}dxdy,Dは(2,3),(3,3),(3,6),(2,6)を頂点とする長方形の周および内部
(5)∫∫D (1+1/x)^2dxdy,Dは(2,1),(3,1),(3,2)を頂点とする三角形の周および内部
(6)∫∫D e^(2x+y+1)dxdy,D:x≥0,y≥0,x/2+y/4≤1
(7)∫∫D (1−x−2y)dxdy,Dは3直線y=x,x=0,y=−2x+3に囲まれた三角形の周および内部
(8)∫∫D (x^2+y^2)dxdy,D:1≤x^2+y^2≤4
(9)∫∫D xdxdy,D:x^2+y^2≤1,0≤y≤2x
(10)∫∫D e^(−x^2−y^2/9)dxdy,D:x≥0,y≥0

No.22907 2021/01/09(Sat) 02:59:14
微分方程式 / かず
(m+mx)dv/dt=T-kv^2

この式からvがv0からv1まで変わるときの移動距離は、

Sとすると、
S=(m+mx)/2k × log vo^2-T/k /v1^2-T/k

になることが理解できません。

No.22906 2021/01/07(Thu) 16:04:48
確率 / まい
大学1年の者です。お願いします!

ランダムに配置された4と5の数字の列がある。45が最初に現れるまでの数字の数をXとし、55が最初に現れるまでの数字の数をYとする。XとYの数の期待値の大きさの関係は何?

問題が分かりにくいのですが、例えば、4444445554だったら45が出るまでの数の大きさ、X=5のような感じです。

No.22905 2020/12/31(Thu) 20:36:00
(No Subject) / はるか
iを個人を識別するための添え字とする。Y iは1か0しかとらないダミー変数とする。Y i=1となる確率をpiとする。x iを連続量の独立変数とし、ロジスティック回帰モデルを、
pi=1/1+exp(-(a0+a1xi))
とする。
jを選択肢を識別するための添字とし、kを独立変数を識別するための添字とする。個人iの選択肢jの選択確率をpijとする。xijkを個人iにおける。選択肢jよk番目の独立変数を表すものとする。さらにβkは全ての個人並びに選択肢において共通のパラメータとし、選択肢jの確定的効用を、
Uji=β1xij1+β2xij2
とする。
xij1を、選択肢1のとき0、選択肢2のとき1もなるダミー変数とし、xij2を、連続量の独立変数とし、選択肢1の選択確率はロジットモデルに従うと仮定し、
pi1=exp(Ui1)/exp(Ui1)+exp(Ui2)
と表す。ここで選択肢は2つのみとする。
piとpi1を比較し相違点を整理して説明しなさい。

No.22904 2020/12/29(Tue) 16:00:57
3つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
[ ]をガウス記号とします。
正の実数 a,b,c について
[ (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ]
を求めよという問題があります。答えは 1 なのだそうです。 何かスッキリした方法はありますでしょうか。

No.22900 2020/12/23(Wed) 15:27:58

Re: 3つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) > (a/(a+b+c))+(b/(a+b+c))+(c/(a+b+c))=((a+b+c)/(a+b+c))=1
ですから
1<(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
はわかります。

(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))<2
を示したいのですが迷路に入ってしまっています。

No.22901 2020/12/23(Wed) 15:40:51

Re: 3つの数による式の値の整数部 / らすかる
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)
={a(b+c)(c+a)+b(c+a)(a+b)+c(a+b)(b+c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
={2(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=1+(a^2b+b^2c+c^2a+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=2-(ab^2+bc^2+ca^2+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
なので1より大きく2より小さい。

No.22902 2020/12/23(Wed) 20:34:14

Re: 3つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
本当にありがとうございます、らすかる様。

教えてくださいました式から以下に気がつきました。

(a^2*b+b^2*c+c^2*a+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a))+(a*b^2+b*c^2+c*a^2+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a)) = 1

気持ちとしては対称性の片割れどうしを加えているように。

これをヒントに以下のように考えてみました。

既に示しました通りに
1 < (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...@
がいえます。同様にして
1 < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a)) ...A
がいえます。
Aの両辺に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
を加えますと
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a))+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...C
Cの右辺は 3 に等しいので
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 3
故に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 2
を示すことができました。

対称性の片割れを意識することで解決できました。

らすかる様、有り難うございました。

No.22903 2020/12/24(Thu) 09:11:17
メダルを量る / 今日が誕生日な人です
今23:24の時刻ですが今日が誕生日の者です。

某所でみつけたパズルです。すごく面白く思いましたのでひっそりとこちらで布教します。

タイプ1のメダルの重さは 9.99 グラムです。
タイプ2のメダルの重さは 10 グラムです。
タイプ3のメダルの重さは 10.01 グラムです。
これらのメダルのタイプを識別するためにはその重量以外には手掛かりがないものとします。
あなたの友人が15個の互いに見分けのつかない箱を用意します。
あなたの友人はそのうち5個の箱には1箱あたり60枚のタイプ1のメダルを入れます。
あなたの友人はそのうち5個の箱には1箱あたり60枚のタイプ2のメダルを入れます。
あなたの友人はそのうち5個の箱には1箱あたり60枚のタイプ3のメダルを入れます。
あなたの友人はあなたに見えないようにこれら15個の箱の中からランダムに5個の箱を選び他の10個の箱を隠してしまいます。こうして選ばれた5個の箱があなたの目の前に置かれました。
さて、0.01グラム単位で量ることができる重量計があります。この重量計を1回だけ使って、5個ある箱のそれぞれに入っているメダルのタイプを確定する方法を見いだしてください。

意地悪ヒント:仮に1箱あたり81枚のメダルが入っていたとしたならばこの問題は易しくなります。3進法を応用すればよいからです。

No.22897 2020/12/17(Thu) 23:23:49

Re: メダルを量る / らすかる
例えば5個の箱から順に19枚、52枚、57枚、59枚、60枚取り出して量れば
243通りのすべての重さが異なりますね。

No.22898 2020/12/18(Fri) 00:54:38

Re: メダルを量る / 昨日が誕生日な人です
ありがとうございます、らすかるさん。

{19,52,57,59,60}
の組で題意を満たしていることを下記のように確認しました。

(p*x^(19)+p^(-1)*x^(-19)+1)*(q*x^(52)+q^(-1)*x^(-52)+1)*(r*x^(57)+r^(-1)*x^(-57)+1)*(s*x^(59)+s^(-1)*x^(-59)+1)*(t*x^(60)+t^(-1)*x^(-60)+1) = p*q*r*s*t*x^247+q*r*s*t*x^228+(q*r*s*t*x^209)/p+p*r*s*t*x^195+p*q*s*t*x^190+p*q*r*t*x^188+p*q*r*s*x^187+r*s*t*x^176+q*s*t*x^171+q*r*t*x^169+q*r*s*x^168+(r*s*t*x^157)/p+(q*s*t*x^152)/p+(q*r*t*x^150)/p+(q*r*s*x^149)/p+(p*r*s*t*x^143)/q+p*s*t*x^138+p*r*t*x^136+p*r*s*x^135+(p*q*s*t*x^133)/r+p*q*t*x^131+p*q*s*x^130+(p*q*r*t*x^129)/s+p*q*r*x^128+(p*q*r*s*x^127)/t+(r*s*t*x^124)/q+s*t*x^119+r*t*x^117+r*s*x^116+(q*s*t*x^114)/r+q*t*x^112+q*s*x^111+(q*r*t*x^110)/s+q*r*x^109+(q*r*s*x^108)/t+(r*s*t*x^105)/(p*q)+(s*t*x^100)/p+(r*t*x^98)/p+(r*s*x^97)/p+(q*s*t*x^95)/(p*r)+(q*t*x^93)/p+(q*s*x^92)/p+(q*r*t*x^91)/(p*s)+(q*r*x^90)/p+(q*r*s*x^89)/(p*t)+(p*s*t*x^86)/q+(p*r*t*x^84)/q+(p*r*s*x^83)/q+(p*s*t*x^81)/r+p*t*x^79+p*s*x^78+(p*r*t*x^77)/s+p*r*x^76+(p*r*s*x^75)/t+(p*q*t*x^74)/r+(p*q*s*x^73)/r+(p*q*t*x^72)/s+p*q*x^71+(p*q*s*x^70)/t+(p*q*r*x^69)/s+(p*q*r*x^68)/t+(s*t*x^67)/q+(r*t*x^65)/q+(r*s*x^64)/q+(s*t*x^62)/r+t*x^60+s*x^59+(r*t*x^58)/s+r*x^57+(r*s*x^56)/t+(q*t*x^55)/r+(q*s*x^54)/r+(q*t*x^53)/s+q*x^52+(q*s*x^51)/t+(q*r*x^50)/s+(q*r*x^49)/t+(s*t*x^48)/(p*q)+(r*t*x^46)/(p*q)+(r*s*x^45)/(p*q)+(s*t*x^43)/(p*r)+(t*x^41)/p+(s*x^40)/p+(r*t*x^39)/(p*s)+(r*x^38)/p+(r*s*x^37)/(p*t)+(q*t*x^36)/(p*r)+(q*s*x^35)/(p*r)+(q*t*x^34)/(p*s)+(q*x^33)/p+(q*s*x^32)/(p*t)+(q*r*x^31)/(p*s)+(q*r*x^30)/(p*t)+(p*s*t*x^29)/(q*r)+(p*t*x^27)/q+(p*s*x^26)/q+(p*r*t*x^25)/(q*s)+(p*r*x^24)/q+(p*r*s*x^23)/(q*t)+(p*t*x^22)/r+(p*s*x^21)/r+(p*t*x^20)/s+p*x^19+(p*s*x^18)/t+(p*r*x^17)/s+(p*r*x^16)/t+(p*q*t*x^15)/(r*s)+(p*q*x^14)/r+(p*q*s*x^13)/(r*t)+(p*q*x^12)/s+(p*q*x^11)/t+(s*t*x^10)/(q*r)+(p*q*r*x^9)/(s*t)+(t*x^8)/q+(s*x^7)/q+(r*t*x^6)/(q*s)+(r*x^5)/q+(r*s*x^4)/(q*t)+(t*x^3)/r+(s*x^2)/r+(t*x^1)/s+x^0+s/(t*x^1)+r/(s*x^2)+r/(t*x^3)+(q*t)/(r*s*x^4)+q/(r*x^5)+(q*s)/(r*t*x^6)+q/(s*x^7)+q/(t*x^8)+(s*t)/(p*q*r*x^9)+(q*r)/(s*t*x^10)+t/(p*q*x^11)+s/(p*q*x^12)+(r*t)/(p*q*s*x^13)+r/(p*q*x^14)+(r*s)/(p*q*t*x^15)+t/(p*r*x^16)+s/(p*r*x^17)+t/(p*s*x^18)+1/(p*x^19)+s/(p*t*x^20)+r/(p*s*x^21)+r/(p*t*x^22)+(q*t)/(p*r*s*x^23)+q/(p*r*x^24)+(q*s)/(p*r*t*x^25)+q/(p*s*x^26)+q/(p*t*x^27)+(q*r)/(p*s*t*x^29)+(p*t)/(q*r*x^30)+(p*s)/(q*r*x^31)+(p*t)/(q*s*x^32)+p/(q*x^33)+(p*s)/(q*t*x^34)+(p*r)/(q*s*x^35)+(p*r)/(q*t*x^36)+(p*t)/(r*s*x^37)+p/(r*x^38)+(p*s)/(r*t*x^39)+p/(s*x^40)+p/(t*x^41)+(p*r)/(s*t*x^43)+(p*q)/(r*s*x^45)+(p*q)/(r*t*x^46)+(p*q)/(s*t*x^48)+t/(q*r*x^49)+s/(q*r*x^50)+t/(q*s*x^51)+1/(q*x^52)+s/(q*t*x^53)+r/(q*s*x^54)+r/(q*t*x^55)+t/(r*s*x^56)+1/(r*x^57)+s/(r*t*x^58)+1/(s*x^59)+1/(t*x^60)+r/(s*t*x^62)+q/(r*s*x^64)+q/(r*t*x^65)+q/(s*t*x^67)+t/(p*q*r*x^68)+s/(p*q*r*x^69)+t/(p*q*s*x^70)+1/(p*q*x^71)+s/(p*q*t*x^72)+r/(p*q*s*x^73)+r/(p*q*t*x^74)+t/(p*r*s*x^75)+1/(p*r*x^76)+s/(p*r*t*x^77)+1/(p*s*x^78)+1/(p*t*x^79)+r/(p*s*t*x^81)+q/(p*r*s*x^83)+q/(p*r*t*x^84)+q/(p*s*t*x^86)+(p*t)/(q*r*s*x^89)+p/(q*r*x^90)+(p*s)/(q*r*t*x^91)+p/(q*s*x^92)+p/(q*t*x^93)+(p*r)/(q*s*t*x^95)+p/(r*s*x^97)+p/(r*t*x^98)+p/(s*t*x^100)+(p*q)/(r*s*t*x^105)+t/(q*r*s*x^108)+1/(q*r*x^109)+s/(q*r*t*x^110)+1/(q*s*x^111)+1/(q*t*x^112)+r/(q*s*t*x^114)+1/(r*s*x^116)+1/(r*t*x^117)+1/(s*t*x^119)+q/(r*s*t*x^124)+t/(p*q*r*s*x^127)+1/(p*q*r*x^128)+s/(p*q*r*t*x^129)+1/(p*q*s*x^130)+1/(p*q*t*x^131)+r/(p*q*s*t*x^133)+1/(p*r*s*x^135)+1/(p*r*t*x^136)+1/(p*s*t*x^138)+q/(p*r*s*t*x^143)+p/(q*r*s*x^149)+p/(q*r*t*x^150)+p/(q*s*t*x^152)+p/(r*s*t*x^157)+1/(q*r*s*x^168)+1/(q*r*t*x^169)+1/(q*s*t*x^171)+1/(r*s*t*x^176)+1/(p*q*r*s*x^187)+1/(p*q*r*t*x^188)+1/(p*q*s*t*x^190)+1/(p*r*s*t*x^195)+p/(q*r*s*t*x^209)+1/(q*r*s*t*x^228)+1/(p*q*r*s*t*x^247)


箱にp,q,r,s,tと名前をつけます。pから19個、qから52個、rから57個、sから59個、tから60個のメダルを取り出して計量します。 得られた重量をWとします。また、wを
w=(W-10*247)*100
とします。
先ほどのxについての展開式で
x^w
の項の係数で各箱に入っているメダルのタイプがわかります。たとえばw = -48
のときには該当する項は
((p*q)/(s*t))*x^(-48)
です。この場合には、10.01グラムのメダルが入っている箱がp,qで9.99グラムのメダルが入っている箱がs,tとなります。10グラムのメダルの入っている箱は残りのrとなります。

No.22899 2020/12/18(Fri) 13:49:38
確率の問題です。大至急お願いします / おかむら

1.事象A.B.Cについて、AとB、BとC、CとAがそれぞれ独立であるとき、ABCは独立であるか。独立であるならそれを示し、そうでないなら反例を示しなさい。
2.Xを標準正規分布に従うものとする。
(1)Xの密度関数f(x)=(1/√2π)e^-x^2/2の導関数f´(x)をf(x)を用いて表せ
(2)(1)と部分積分を用いることにより、Xの4次モーメントを計算せよ

No.22896 2020/12/17(Thu) 18:29:00
数列、ガウス記号 / 野菜
連投すみません。

[x]で「xを超えない最大の整数」を表す。
正の整数からなる数列{f(n)}で、
[f(m)/f(n)]=[m/n]をみたすものをすべて求めよ。

nを固定して、m<nのとき、[m/n]=0であることから、f(m)<f(n)
よって数列{f(n)}は増加数列であるくらいしか分かりません。
とりあえずf(n)=an (aは任意の正の整数)が解になるのは分かりますが示せず、それ以外にあるのかも分かりませんでした。
よろしくお願いします。

No.22891 2020/12/14(Mon) 15:19:10

Re: 数列、ガウス記号 / らすかる
[f(uv)/f(u)]=[uv/u]=v から
v≦f(uv)/f(u)<v+1
よって
vf(u)≦f(uv)<(v+1)f(u)
辺々整数だから
vf(u)≦f(uv)≦(v+1)f(u)-1
すなわち
vf(u)≦f(uv)≦vf(u)+(f(u)-1) … (1)
(1)でu=1,v=pとすると
pf(1)≦f(p)≦pf(1)+(f(1)-1) … (2)
(1)でu=1,v=pqとすると
pqf(1)≦f(pq)≦pqf(1)+(f(1)-1) … (3)
(1)でu=p,v=qとすると
qf(p)≦f(pq)≦qf(p)+(f(p)-1) … (4)
(4)の左側の不等号から
f(p)≦f(pq)/q … (5)
(3)の右側の不等号から
f(pq)/q≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1) … (6)
(5)と(6)から
f(p)≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1)
これと(2)の左側の不等号を合わせて
pf(1)≦f(p)≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1)
これは任意のqに対して成り立たなければならないので
f(p)=pf(1)
従って条件を満たす数列は
f(n)=an(aは任意の正整数)

No.22892 2020/12/14(Mon) 16:46:01

Re: 数列、ガウス記号 / 野菜
どうもありがとうございます。
たいへん納得しました。f(n)=an(aは任意の正整数)を予想して、そこからf(p)=pf(1)を示す方向に持っていくということなのでしょうか。自分には思いつきそうにない解法で、とても参考になりました。

No.22893 2020/12/14(Mon) 17:08:50

Re: 数列、ガウス記号 / らすかる
f(p)はf(1)のp倍以上ですが、f(p)>pf(1)と仮定した場合に
ひょっとして「f(p)とf(pq)の関係」と「f(1)とf(pq)の関係」に矛盾が生じるのではないかと思ってそれぞれの不等式をとりあえず立てて、その式をいじって何とかならないかと考えました。

No.22894 2020/12/14(Mon) 17:30:19

Re: 数列、ガウス記号 / 野菜
なるほど、どうもありがとうございます。
No.22895 2020/12/16(Wed) 07:13:00
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