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数学の部屋BBS
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自然数 / たなこ
n=10という自然数は、その任意の約数d=1,2,5,10に対して
d+n/dという値が素数となる。
1+10/1=11
2+10/2=7
5+10/5=7
10+10/10=11
というように。

問題
このような性質をもつ自然数全ての逆数和は収束することを示せ。

ヒント
n>2ならn+1が奇素数なのでnは偶数。したがって2+n/2が素数である。


という問題の解き方を教えてほしいです。
ヒントの使い方が全く分かりません。

No.22254 2019/03/23(Sat) 12:41:26
集合列の極限の定義 / Laura
(A_n)_{n=1}^∞は集合列とする。 この時,lim_{n→∞}A_n=Aの定義はで正しいでしょうか?

任意のn∈Nに対して下記を満たすk∈Nが存在する。

k<mなる任意のmに対して

『(A\A_m)∪(A_m\A)⊃(A\A_{m+1})∪(A_{m+1}\A)⊃…
且つ
(A\A_{m_1})∪(A_{m_1}\A) \supsetneq (A\A_{m_2})∪(A_{m_2}\A) \supsetneq …
なる増加自然数列(m_l)_{l=1}^∞が存在する』

No.22252 2019/03/22(Fri) 07:57:30

Re: 集合列の極限の定義 / camusPlague
間違いです。
理由:これから定義しようとするAを用いて、Aを定義する事は出来ません。

検索すれば、定義はあちこちで見つける事が出来ます。

No.22253 2019/03/22(Fri) 18:07:51

Re: 集合列の極限の定義 / Laura
失礼しました。

集合Aが存在して,

任意のn∈Nに対して次を満たすk∈Nが存在する。
k<mなる任意のmに対して

『(A\A_m)∪(A_m\A)⊃(A\A_{m+1})∪(A_{m+1}\A)⊃…
且つ
(A\A_{m_1})∪(A_{m_1}\A) \supsetneq (A\A_{m_2})∪(A_{m_2}\A) \supsetneq …
なる増加自然数列(m_l)_{l=1}^∞が存在する』

この時,集合Aを(A_n)_{n=1}^∞の極限集合といい,
lim_{n→∞}A_n=A
とあらわす。

と書けばよかったのですね。

No.22255 2019/03/25(Mon) 03:59:53

Re: 集合列の極限の定義 / camusPlague
A_n={0,1,2,3,………,n}
A ={1,2,3,…………}
の時、あなたの書いた条件式は成立します。

しかし、Aは0を含まず各A_nは0を含みます。
従って、これをlim_{n→∞}A_n=Aと定義する事に納得する人はいないはずです。

https://shiki-equation.hatenablog.com/entry/2019/02/09/222844
ここに、一般の定義が載っています。

No.22256 2019/03/26(Tue) 06:33:52

Re: 集合列の極限の定義 NEW / Laura
ご紹介有難うございます。おかげさまでとても参考になりました。
No.22257 2019/03/29(Fri) 00:10:01
(No Subject) / コルム
次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=49048&type=0&space=0&mo=49048&page=&In=1&no=0#F

No.22249 2019/03/18(Mon) 18:08:12

Re: / まるちぽすと撲滅委員会
 君、ヒマなんだな。なんか仕事しろw

 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11031711.html

No.22250 2019/03/18(Mon) 21:46:53
(No Subject) / コルム
次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=49046&type=0&space=0&mo=49046&page=0&In=1&no=0#F

No.22248 2019/03/18(Mon) 18:04:30

Re: / まるちぽすと撲滅委員会
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11031708.html

こんなに懇切丁寧な回答をもらっているのに・・・・・

No.22251 2019/03/18(Mon) 21:47:53
このような例を教えて / ザラ
測度空間(X,M,μ), 関数f:X→Rにて,∫_X|f|dμが可積分だが∫_Xfdμは可積分ではない
となるようなfの例を探してます。
どなたか教えてください。

No.22242 2019/03/17(Sun) 07:19:30

Re: このような例を教えて / camusPlague
あなたの言われる、“可積分”とは“積分値が確定し値が有限である”でしょうかね。

解析概論§109項番4.
∫[E]f(x)dμが有限なるためには、∫[E]|f(x)|dμが有限なることが必要かつ十分である。

ルベーグ積分の定義に立ち返れば、この事を前提とせざるを得ません。

No.22244 2019/03/17(Sun) 09:00:42

Re: このような例を教えて / ザラ
可積分とは"有限値を持つ"と言う意味で使いました。
その意味では∫_Xfdμが可積分にならないfの例ってないのですね。

No.22247 2019/03/18(Mon) 03:03:15
分散について。 / コルム
次のV(X)
=E(X-EX)∧2
=E(X∧2)-(EX)∧2
のところがわかりません。教えていただけると幸いです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11013029.html

No.22239 2019/03/15(Fri) 15:23:22

Re: 分散について。 / camusPlague
V(X)=E{(X-EX)^2}
=E{X^2ー2X*E(X)+E(X)^2}
=E{X^2}ーE{2X*E(X)}+E{E(X)^2}

最後の式の
第二項=ーE{2X*E(X)}=ー2E{X*E(X)}=ー2E{X)*E(X)=-2E(X)^2
第三項=E{E(X)^2}=E(X)^2

従って、
V(X)=E{X^2}-2E(X)^2+E(X)^2=E{X^2}-E(X)^2

これ以上かみ砕いた説明は出来ないので
理解出来なければ、あきらめてください。

No.22240 2019/03/15(Fri) 18:53:29

Re: 分散について。 / コルム
なぜ、第三項=E{E(X)∧2}=E(X)∧2になるのかを、詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。
No.22241 2019/03/16(Sat) 15:24:47

Re: 分散について。 / camusPlague
> なぜ、第三項=E{E(X)∧2}=E(X)∧2になるのか
確率変数Xについて、平均E(X)は定数です。これをCとおきましょう。
更に定数1に対して、E(1)=1
が成立します。

このとき、
第三項=E{E(X)^2}=E{C^2}={C^2}*E{1}=C^2=E(X)^2
となります。

No.22243 2019/03/17(Sun) 08:43:24

Re: 分散について。 / まるちぽすと撲滅委員会
 ついにここにも湧き出たか(笑)。小学生レベルの数学でさえ理解しているかどうか怪しいのに、なんでこんな問題に手を出すのか。
 そもそも確率変数 X の平均 E(X)の定義を知っているのだろうか?

No.22245 2019/03/17(Sun) 13:05:18

Re: 分散について。 / コルム
ありがとうございました。
No.22246 2019/03/17(Sun) 22:06:26
一様収束? / Glacia
「f_n,f:C→Cをf_n→fなる複素連続関数とする。
もしfが連続なら(f_n)_{n=1}^∞は一様連続」

の反例はありますでしょうか?
教えてください。

No.22237 2019/03/05(Tue) 09:40:03

Re: 一様収束? / camusPlague
> (f_n)_{n=1}^∞は一様連続
・関数列が一様連続
とは、
・f_nの各々が一様連続
といっているのですかね。

{(f_n)_{n=1}}がfに収束する場合、一様連続でない有限個のf_nを適当に紛れ込ませても収束する事に変わりはないので、答えは“NO”と云うことになります。

質問の主旨が不明です。

No.22238 2019/03/05(Tue) 18:14:28
B(R^n)⊂B(C^n) / ドーラ
(R^n,T_{R^n})と(C^n,T_{C^n})を位相空間とし,

B(R^n)とB(C^n)をR^nとC^n上のボレル集合体とします。σ[T_{R^n}]はR^nの通常位相から生成されるσ集合体とします。

B(R^n)⊂B(C^n)を示してます。

B(R^n)=σ[T_{R^n}] (∵ボレル集合体の定義)
=σ[T_{C^n}]|_{R^n} (|_{R^n}はR^nによる制限を意味する})
=B(C^n)|_{R^n}
⊂B(C^n) (∵C^n\R^n∈T_{C^n}なのでσ集合体の定義よりR^n∈B(C^n)).

としましたがこれで正しいでしょうか?

No.22234 2019/02/21(Thu) 01:19:07

Re: B(R^n)⊂B(C^n) / camusPlague
> B(R^n)=σ[T_{R^n}] (∵ボレル集合体の定義)
と σの持つ性質に根拠を委ねているので、

(#1) =σ[T_{C^n}]|_{R^n} (|_{R^n}はR^nによる制限を意味する})
(#2) ⊂σ[T_{C^n}]
(#3) 従って、 B(R^n)⊂B(C^n)

としないと、証明にならないと思います。
(#1)と(#2)の間の推論は多少の加筆が必要でしょう。

No.22235 2019/02/24(Sun) 13:40:27

Re: B(R^n)⊂B(C^n) / ドーラ
有難うございます。もう少し考察してみたいと思います。
No.22236 2019/03/05(Tue) 09:34:04
(No Subject) / いとう
a=√(3n^2-36n+231)/140が有理数であることを満たす最小のnの値を求めよ。また,そのときのaの値を求めよ。

お手数ですが,ご教授願います。
一般化した解答をいただけると嬉しいです。

No.22231 2019/02/18(Mon) 11:15:03

Re: / らすかる
a=√(3n^2-36n+231)/140は
a={√(3n^2-36n+231)}/140という意味ですが、
これだと「/140」の意味がありませんので
a=√{(3n^2-36n+231)/140}と判断します。
またnについて何も書かれていませんが、
実数・有理数・整数では解なしなので
自然数と判断します。

(3n^2-36n+231)/140
=3(n^2-12n+77)/(2^2・5・7)
なので、n^2-12n+77は少なくとも
3と5と7で割り切れなければなりません。

n^2-12n+77≡n^2+2(mod3)から
3で割り切れるためにはn≡1,2(mod3)
n^2-12n+77≡n^2+3n+2=(n+1)(n+2)(mod5)から
5で割り切れるためにはn≡3,4(mod5)
n^2-12n+77≡n^2+2n=n(n+2)(mod7)から
7で割り切れるためにはn≡0,5(mod7)
これらを満たす数は
14,19,28,49,…
n=14のときa=3/2となり条件を満たすので、これが答え。

No.22232 2019/02/18(Mon) 13:27:16

Re: / いとう
問題の提示の不備,条件不足にも関わらず大変丁寧に解答してくださりありがとうございました。
すべておっしゃる通りです。
勉強になりました。

No.22233 2019/02/18(Mon) 15:07:28
極限についての質問 / あほうどり
極限の計算で質問です。大学入試で次の計算でOKか否かを考えています。以下はOKでしょうか?

lim_(x→∞)(e^x-1)/x = 1
を示すのに、f(x)=e^xとして、
与えられた極限=lim_(x→∞) (f(x)-f(0))/x = f'(0)=e^o=1
は記述してもOKかと思いますが、

lim_(x→∞)sin(x)/x =1
は、同様に、f(x)=sin(x)として
与えられた極限=f'(0)=cos(0)=1
というのは、循環論法も甚だしい気もします。
正しいことを述べているかとは思いますが。
(あくまで証明でなく、途中の計算の想定です)
(というよりsin(x)/x→1は既知としているかと思いますが)

けれどもこの方法は0/0の形の不定形には多くのケースで用いれるかと思います。
例えば、
lim_(x→0)(√(x+4)-2)/x =f'(0)=(1/2)(1/√(0+4))=1/4
(ここでf(x)=√(x+4)とした。)
lim_(x→0)(e^x-1)/x=f'(0)=e^0=1
(ここでf(x)=e^xとした。)

No.22222 2019/02/13(Wed) 00:57:04

Re: 極限についての質問 / ハンニバル
lim_(x→∞)は
lim_(x→0) を意図していましたか?

No.22223 2019/02/13(Wed) 15:06:21

Re: 極限についての質問 / あほうどり
混乱させてしまいすみません。極限はすべてx→0です。
No.22224 2019/02/13(Wed) 22:21:55

三角関数Re: 極限についての質問 / camusPlague
数学Vの指導要領によれば、

#三角関数,指数関数及び対数関数の導関数が求められるようにする。
#sin x の導関数は,次の式を利用して求めることができる。
#lim[x→0]{sin(x)/x}=1,lim[x→0][{(1-cos(x)}/x]=0
#
#三角関数の和及び差を積に変換する公式を導いて 利用することも考えられる。

指導要領に従う限り、
大学入試では、この式を前提にした問題しか出題されないはずです。。

No.22225 2019/02/14(Thu) 16:43:03

自然常数 Re: 極限についての質問 / camusPlague
これも指導要領によれば

# 指数関数及び対数関数においては,「数学U」の「(3) 指数関数・対数関数」でひととおり扱って
# いるが,ここでは,これらの関数の導関数を求めるため自然対数の底e を導入しておく必要がある。
# その導入の仕方としては,例えば,h の値が限りなく0に近づくとき,(1+h)^(1/h) の極限値が存
# 在することを納得させ,それをe とする方法がある。また,n の値を,限りなく大きくしたとき
# (1+1/n)^nの極限値が存在することを納得させ,それをe とする方法なども考えられる。いずれの
# 方法においても,コンピュータなどを活用して極限の存在を確認させることが大切である。
# なお, を前提とする場合には,対数関数の導関数を定義にしたがって求めることができる。さら
# に,指数関数が対数関数の逆関数であることから,対数関数を基にして指数関数の導関数を求める
# こともできる。


指導要領に従う限り、
lim_(x→∞)(e^x-1)/x = 1を求める事は指導要領範囲外ということになります。
ただ、全ての大学が指導要領に沿って出題するかどうかは、私にはわかりません。

No.22226 2019/02/14(Thu) 16:44:53

訂正 Re: 極限についての質問 / camusPlague
直前の書き込みはオペミスにより、パスワードを入力する前に書き込まれました。
従って、削除したいのですが出来ません。

> lim_(x→0)(e^x-1)/x = 1を求める事は
> 指導要領範囲外ということになります。



# lim_(x→0)(e^x-1)/x = 1をあなたのたのやり方で求める事は
# 指導要領範囲外ということになります。

指導要領に従えば、
# lim[x→0]{log(1+x)/x}=1
を求めてから、y=log(1+x)とおいて、
# lim[y→0]{(e^y-1)/y }= 1
を求める事は出来ますね。

No.22227 2019/02/14(Thu) 16:51:24

Re: 極限についての質問 / あほうどり
ありがとうございます。

lim_(x→0)(e^x-1)/x=1
については、
eの定義。lim_(x→0)(1+x)^(1/x)=e。より
logをとって、lim_(x→0)log(1+x)/x=log(e)=1
で,y=log(1+x)と変換するという手順ということですね。

あと、平均値の定理は習うと思うのですが、これより
(e^x-e^0)/(x-0)=e^c
となるcが0<=x<=0に存在する。ので
はさみうちでx→0のときc→0で成立するでもよいでしょうか。

No.22229 2019/02/16(Sat) 22:54:38

Re: 極限についての質問 / camusPlague
> (e^x-e^0)/(x-0)=e^c
> となるcが0<=x<=0に存在する。

これは、関数e^xの導関数がe^xである事を前提にしているので、
この段階では使えないと思います。

初期の段階では高等技法は避けさるを得ないようです。

No.22230 2019/02/17(Sun) 08:45:49
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