20922
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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接点 NEW / ㇺルコ

曲線 x^2+y^2=K が 直線 6*x+9*y=54 接するよう Kを定めよ;
そのときの 接点をも求めよ;

曲線 4*(Log[2, x])^3 + (Log[2, y] - 1)^3 = k が 双曲線 x*y=8 に接するよう kを定めよ;
そのときの 接点をも求めよ;





No.21876 2017/11/24(Fri) 10:46:28
三角形の相似条件について。 / コルム
Δの代わりに、∠を使うこともあるのでしょうか?教えていただけると幸いです。最後の、∠ABC∽∠BCEということもあるか?ということです。例ですが。
No.21874 2017/11/18(Sat) 17:59:07

Re: 三角形の相似条件について。 / mo
三角形の相似条件は以下の3つです

3組の辺の比がすべて等しい。
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
2組の角がそれぞれ等しい。

「∠ABC∽∠BCEということもあるか?ということです」
ありません。

No.21875 2017/11/19(Sun) 00:00:36
重複組み合わせ? / ひよこ
「100種類のボールが4つずつ(4つは区別できない)、計400個あります。
ここから20個のボールを取り出すときの組み合わせは何通りあるでしょうか?」

これの解法がわかりません。
重複組み合わせを使って5個以上同じのが選ばれているパターンをのぞいたら解けそうかなと思ったのですが、それも難しそうで...
問題集やテキストに載ってる問題じゃなくて、生活してて数えたくなったものなので見当違いのことを言ってたらすいません。

よろしくお願いいたします。

No.21871 2017/11/13(Mon) 13:32:07

Re: 重複組み合わせ? / らすかる
Σ[k=0〜5](100Ck ×
Σ[a=0〜[(20-4k)÷3]]((100-k)Ca ×
Σ[t=0〜[(20-4k-3a)÷2]]((100-k-a)Ct × (100-k-a-t)C(20-4k-3a-2t))))
という式は立てられますが、とても手計算ではやってられません。
答えは 24343647444208013212830通りです。

No.21873 2017/11/13(Mon) 23:44:03
重積分 / たっち
曲面 z^2=x^2 + y^2 の、円板x^2 + y^2≦a^2
(a>0)上での面積を求めよ。

大学の授業が分からなくて困っています。よろしくお願いします。

No.21869 2017/11/11(Sat) 18:15:48

Re: 重積分 / camusPlague
> 曲面 z^2=x^2 + y^2
をパラメータ表示し、
r=(x,y,z)=(v*cos(u),v*sin(u),v)…(1)
これと
> 円板x^2 + y^2≦a^2 (-∞ < z < ∞)…(2)
の交わる部分の曲面が求める面積と考えれば良いです。

(1)を(2)に代入して、v^2≦a^2 から-a≦v≦a
かつ 0≦u≦2π

求める面積は、
∬[0≦u≦2π,-a≦v≦a]|∂r/∂u×∂r/∂v|dudv

No.21870 2017/11/12(Sun) 15:27:33
(No Subject) / はるか
ある製品の不良率は0.01である。このとき、この製品を10個購入したうち不良品が2個以上含まれる確率は?

数学の課題がわからなくて困っています。お願いします。

No.21865 2017/11/07(Tue) 23:31:49

Re: / らすかる
10個とも良品→0.99^10
1個目だけ不良品→0.01×0.99^9
2個目だけ不良品→0.01×0.99^9
3個目だけ不良品→0.01×0.99^9
・・・
10個目だけ不良品→0.01×0.99^9
なので
(不良品が2個以上)
=1-(0.99^10+0.01×0.99^9×10)
=1-0.99^9×(0.99+0.01×10)
=1-0.99^9×1.09
=0.004266…

No.21866 2017/11/08(Wed) 00:35:25
確率 / のぞみ
高校一年です。数学のレポート課題なのですが、全く思いつきません...

次の条件を満たす勝負を作成し、そのポイントと勝つ確率が正しいことを数学的に説明せよ。
・二人間で勝ち負けの定義ができる勝負
・引き分けを除いた勝つ確率が、1/2または2/3になる勝負
・勝負の中で選択肢がある時、どちらも最善手を選択する、最善手が無ければ無作為に選択する
・理解しやすく、興味を引く勝負
・勝つ確率の計算が数学的にみて質が高い
また、結果に意外性があるとよい。

よろしくお願いします。

No.21860 2017/11/05(Sun) 16:44:27

Re: 確率 / s_hskz
・二人間で勝ち負けの定義ができる勝負
・引き分けを除いた勝つ確率が、1/2または2/3になる勝負
・勝負の中で選択肢がある時、どちらも最善手を選択する、最善手が無ければ無作為に選択する
・理解しやすく、興味を引く勝負
・勝つ確率の計算が数学的にみて質が高い
また、結果に意外性があるとよい。
===

こんなのは如何でしょうか。

●特徴
・ホスト1名とゲスト1名との二人の間のゲーム。

・引き分けは無い。

・ホストが負けゲストが勝つ確率は常に必ず1/2(※これが心理的に意外性を感じるところ)

・ゲーム開始以前に、ホストは全ての選択肢を使いきり、ゲストには選択肢が無い。このときホストがいかなる工夫をしても勝率に変動はない。また、ゲーム開始後にはゲストには選択肢があるが、ホストには選択肢が無い。ゲーム開始後に、ゲストは心理的に最善策を取ろうとするが、全て幻想であり何をしようともゲストの勝率に変動はない。

●ゲーム準備
ジョーカーを除いたトランプ52枚を用意する。
ゲストに知られないようにしながら、ホストはこの52枚を好きな順番に並べかえる。そして裏に伏せてひとつの山にしてテーブルに置く。

●ゲームの勝利条件の設定
ホストが準備を行った後、全てに先立ってゲストは自分の勝利条件を決める。勝利条件は「赤のカードを引く」か「黒のカードを引く」かの二者択一である。

●ゲームの進行
@ゲストは伏せられたカードの山の一番上のカードをゲーム中に一回だけ選ぶことが出来る。選んだカードを表にして勝利条件に合致していればゲストの勝ちである。

Aゲストは伏せられたカードの山のカードの枚数が複数枚あるときには、一番上のカードを選ばないことが出来る。このとき、このカードは表にして色が赤か黒かを知ることが出来る。
伏せられたカードの山は1枚減る。そして@に戻る。
Bゲストは伏せられたカードの山のカードの枚数が1枚のときには、このカードを選ぶことを強制される。このカードを表にして勝利条件に合致していればゲストの勝ちである。

●ゲストが心理的に取り勝ちな戦略
ゲストが勝利条件として
「赤のカードを引く」
ことを選んだとしよう。
(サイコロなどで色を決めればホストにゲストの癖を推理されないので良いだろう。)
ゲストは何枚かのカードが表に開かれていくのを観察し、
《既に開かれたカードのうち黒の枚数が多くなってきた時点で》
《次に開かれるカードが赤である確率が高くなった》とみなして、
@の段取りとして、このカードを選ぶ。選んだカードが赤ならば勝ちである。


●ゲストの真の勝率

…は1/2である。ゲストが何をしようとも勝率はあげられず徒労に終わる。


難しい計算は不要。

勝利条件として赤を選んだとしよう。
伏せられたカードの山のカードの一番下のカードの色が赤である確率は1/2である。
また、ゲストが選んだカードの色が赤である確率と伏せられたカードの山のカードの一番下のカードの色が赤である確率は等しいのである。(これが等しくないと感じるのは心理的な間違い。)

(実際にコンピュータなどでシミュレーションをすると納得できるかもしれない)

No.21861 2017/11/05(Sun) 23:59:17
『にせ金を探せPart4』について / s_hskz
はじめまして。

「数学の部屋」のサイトにある記事、『にせ金を探せPart4』他、天秤パズルについての記事を興味深く拝読いたしました。

『にせ金を探せPart4』の【問題1】(ウオーミングアップ)についてコメントをさせて頂きたく存じます。

便宜のために問題をこちらに引用再掲いたします。
《引用開始》
【問題1】(ウオーミングアップ)
 コイン6枚があり、その内の2枚は「にせ金」で本物よりも軽くなっています。
ただし、2枚のにせ金は同じ重さです。
計量を3回して、2枚のにせ金を見つける方法を考えてください。
◆追加の問題
 東京都eikiさんにより解答が3通り発見されました。
どれが最も優れた方法か、考えてみてください。
《引用終了》

さて、この問題には4番目の解がありますので略解をご報告致します。
【略解】
6枚のコインをA、B、C、D、E、Fとします。


次のように三回計量します。

AB:EF
BE:CD
ACE:BDF

三回の計量の順番は問いません。
すなわち、一回目の計量の結果が二回目と三回目の計量対象のコインの選択に影響を与えません。また、二回目の計量の結果が三回目の計量対象のコインの選択に影響を与えません。

6枚のコインをA、B、C、D、E、Fのうち、任意の二枚がにせ金だとしてこれをペアと呼びます。各ペアごとに、上記の計量の結果はユニークに定まります。

(お確かめ下さい)

従いまして、計量結果からにせ金が特定できます。

===

追記1
問題を改造して、以下のようにします。
《コイン6枚があり、その内の1枚または2枚は「にせ金」で本物よりも軽くなっています。
ただし、(もし2枚あれば)2枚のにせ金は同じ重さです。
計量を3回して、1枚または2枚のにせ金を見つける方法を考えてください。


この問題についての計量も、さきほどの計量と同一です。
にせ金のありかのパターンは21通りですが、おのおのについて、計量結果がユニークに定まります。

追記2

ここまでの議論により、以下の問題が解けていることになります。

 コイン【7枚】があり、その内の2枚は「にせ金」で本物よりも軽くなっています。
ただし、2枚のにせ金は同じ重さです。
計量を3回して、2枚のにせ金を見つける方法を考えてください。

以上です。
失礼いたしました。

No.21858 2017/11/03(Fri) 17:45:10

Re: 『にせ金を探せPart4』について / s_hskz
先の問題には5番目の解がありますので再度になりますが略解をご報告致します。

以下に五通りの計量を示します。

・EB:CD
・AC:DE
・BD:EA
・CE:AB
・DA:BC

(上にはFが登場していませんが意図している通りです。)

さて、五通りの計量の中から任意の三通りの計量を選びます。これらに従って三回分の計量にあてます。

三回分の計量結果から、以下が判明します。

・もしもA,B,C,D,Eの中に1枚のにせ金があったならば、そのにせ金を特定できます。(残る1枚のにせ金はFです)

・もしもA,B,C,D,Eの中に2枚のにせ金があったならば、そのにせ金を特定できます。(残る1枚のFは本物のコインです)

●例

【1】AC:DE
【2】BD:EA
【3】CE:AB
の計量をしたとしましょう。
【1】【2】【3】で、計量結果として、「:」の左側が軽ければ<、釣り合えば=、右側が軽ければ>と記すことにします。
たとえば、【1】で>、【2】で=、【3】で<、のときには略記して
>=<
と書くこととします。

計量結果からにせ金を判定するための早見表を以下に示します。

BC <<=
_C <=<
AB <=>
AC <>=
_A <>>
CD =<<
_B =<>
AD ==>
CE =><
AE =>=
_D ><=
BD ><>
DE >=<
BE >==
_E >><


計量結果が
>=<
であればABCDEの5枚中でDとEとがにせ金で(当然Fは本物)、

<=<
であるならば、
ABCDEの5枚中でCの1枚がにせ金(Fもにせ金)です。


※五通りの計量の中から任意の三通りの計量を選べば大丈夫なのですが、全部を確認することは省略いたします。
(対称性からほとんど明らか…とも言えますし)

以上です。


No.21859 2017/11/03(Fri) 23:50:56
線積分 / ai
ベクトル場V=(y,-x)において以下の曲線上の線積分は?

@点(1,0)と点(2,4)を結ぶ線分
A放物線y=x^2上の点(1,1)から(3,9)まで

大学1年です。大学で線積分をやっていますがよくわかりません。説明してくれる方、至急お願いします!

No.21856 2017/11/01(Wed) 00:12:12

Re: 線積分 / camusPlague
> @点(1,0)と点(2,4)を結ぶ線分
L:y=4x-4(ご確認下さい)

> ベクトル場V=(y,-x)において…線積分
∫[L:x=1〜2]V・d(x,y)  【← 記号“・”は内積】
=∫[L:x=1〜2](y,-x)・(dx,dy)
=∫[L:x=1〜2](ydx-xdy)

y=4x-4を代入すれば、すぐに求まります。
Aも方法は同じです。

No.21857 2017/11/01(Wed) 17:47:29
渋滞学とソリトンの方程式 / タマミ
こんにちは
今高校3年生で数学のリポートを渋滞の原因とその改善法について微分を使って書こうと思っているのですが、それを調べてみた時に度々出てくるソリトンの方程式が理解できません。噛み砕いて説明してくれる方、至急よろしくお願いします。また他にアプローチの仕方があれば教えてください。

No.21854 2017/10/31(Tue) 09:47:10

Re: 渋滞学とソリトンの方程式 / 天の邪鬼
> 今高校3年生
> 数学のリポートを渋滞の原因とその改善法
> 微分を使って書こうと
> ソリトンの方程式が理解できません

 ネタかね(^O^)。受験勉強は順調に進んでるの?

 まあ、釣られて以下の本を推薦しておく。高校生でも十分読めるだろう。ネットで中古書籍が容易に手に入る。
◆ソリトンがひらく新しい数学
 上野喜三雄 著,岩波書店 (岩波科学ライブラリー 4),1993年10月
◆ソリトンとは何か:くずれない波の謎をさぐる
 坪井泰住 著,講談社 (ブルーバックス B-826),1990年6月

No.21855 2017/10/31(Tue) 22:55:02
数学 / ヨッシー
文房具店にノートを買いに行きました。持っている金額で安い方のノートを8冊買えて40円余ります。
また、このノートより60円高いノートを買うときは、
5冊買えて10円余ります。安い方のノート1冊の値段と持っている金額を求めなさい
中1です。教えてくださったら嬉しいです

No.21852 2017/10/22(Sun) 15:17:48

Re: 数学 / らすかる
高いノートを買うと5冊買えて10円余り、
安いノートは高いノートより60円安いので
この5冊のノートを安いノートに換えると
60円×5=300円浮くので310円余る。
つまり安いノート5冊+310円が安いノート8冊+40円と
同じ金額なので、安いノート3冊で310-40=270円、
従って安いノート1冊は90円で、所持金額は90×8+40=760円。

もし方程式を使って解くなら
安い方のノートの金額をxとすると
8x+40=5(x+60)+10
3x=270
x=90
8x+40=760

No.21853 2017/10/22(Sun) 19:18:11
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