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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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B(R^n)⊂B(C^n) NEW / ドーラ
(R^n,T_{R^n})と(C^n,T_{C^n})を位相空間とし,

B(R^n)とB(C^n)をR^nとC^n上のボレル集合体とします。σ[T_{R^n}]はR^nの通常位相から生成されるσ集合体とします。

B(R^n)⊂B(C^n)を示してます。

B(R^n)=σ[T_{R^n}] (∵ボレル集合体の定義)
=σ[T_{C^n}]|_{R^n} (|_{R^n}はR^nによる制限を意味する})
=B(C^n)|_{R^n}
⊂B(C^n) (∵C^n\R^n∈T_{C^n}なのでσ集合体の定義よりR^n∈B(C^n)).

としましたがこれで正しいでしょうか?

No.22234 2019/02/21(Thu) 01:19:07
(No Subject) / いとう
a=√(3n^2-36n+231)/140が有理数であることを満たす最小のnの値を求めよ。また,そのときのaの値を求めよ。

お手数ですが,ご教授願います。
一般化した解答をいただけると嬉しいです。

No.22231 2019/02/18(Mon) 11:15:03

Re: / らすかる
a=√(3n^2-36n+231)/140は
a={√(3n^2-36n+231)}/140という意味ですが、
これだと「/140」の意味がありませんので
a=√{(3n^2-36n+231)/140}と判断します。
またnについて何も書かれていませんが、
実数・有理数・整数では解なしなので
自然数と判断します。

(3n^2-36n+231)/140
=3(n^2-12n+77)/(2^2・5・7)
なので、n^2-12n+77は少なくとも
3と5と7で割り切れなければなりません。

n^2-12n+77≡n^2+2(mod3)から
3で割り切れるためにはn≡1,2(mod3)
n^2-12n+77≡n^2+3n+2=(n+1)(n+2)(mod5)から
5で割り切れるためにはn≡3,4(mod5)
n^2-12n+77≡n^2+2n=n(n+2)(mod7)から
7で割り切れるためにはn≡0,5(mod7)
これらを満たす数は
14,19,28,49,…
n=14のときa=3/2となり条件を満たすので、これが答え。

No.22232 2019/02/18(Mon) 13:27:16

Re: / いとう
問題の提示の不備,条件不足にも関わらず大変丁寧に解答してくださりありがとうございました。
すべておっしゃる通りです。
勉強になりました。

No.22233 2019/02/18(Mon) 15:07:28
極限についての質問 / あほうどり
極限の計算で質問です。大学入試で次の計算でOKか否かを考えています。以下はOKでしょうか?

lim_(x→∞)(e^x-1)/x = 1
を示すのに、f(x)=e^xとして、
与えられた極限=lim_(x→∞) (f(x)-f(0))/x = f'(0)=e^o=1
は記述してもOKかと思いますが、

lim_(x→∞)sin(x)/x =1
は、同様に、f(x)=sin(x)として
与えられた極限=f'(0)=cos(0)=1
というのは、循環論法も甚だしい気もします。
正しいことを述べているかとは思いますが。
(あくまで証明でなく、途中の計算の想定です)
(というよりsin(x)/x→1は既知としているかと思いますが)

けれどもこの方法は0/0の形の不定形には多くのケースで用いれるかと思います。
例えば、
lim_(x→0)(√(x+4)-2)/x =f'(0)=(1/2)(1/√(0+4))=1/4
(ここでf(x)=√(x+4)とした。)
lim_(x→0)(e^x-1)/x=f'(0)=e^0=1
(ここでf(x)=e^xとした。)

No.22222 2019/02/13(Wed) 00:57:04

Re: 極限についての質問 / ハンニバル
lim_(x→∞)は
lim_(x→0) を意図していましたか?

No.22223 2019/02/13(Wed) 15:06:21

Re: 極限についての質問 / あほうどり
混乱させてしまいすみません。極限はすべてx→0です。
No.22224 2019/02/13(Wed) 22:21:55

三角関数Re: 極限についての質問 / camusPlague
数学Vの指導要領によれば、

#三角関数,指数関数及び対数関数の導関数が求められるようにする。
#sin x の導関数は,次の式を利用して求めることができる。
#lim[x→0]{sin(x)/x}=1,lim[x→0][{(1-cos(x)}/x]=0
#
#三角関数の和及び差を積に変換する公式を導いて 利用することも考えられる。

指導要領に従う限り、
大学入試では、この式を前提にした問題しか出題されないはずです。。

No.22225 2019/02/14(Thu) 16:43:03

自然常数 Re: 極限についての質問 / camusPlague
これも指導要領によれば

# 指数関数及び対数関数においては,「数学U」の「(3) 指数関数・対数関数」でひととおり扱って
# いるが,ここでは,これらの関数の導関数を求めるため自然対数の底e を導入しておく必要がある。
# その導入の仕方としては,例えば,h の値が限りなく0に近づくとき,(1+h)^(1/h) の極限値が存
# 在することを納得させ,それをe とする方法がある。また,n の値を,限りなく大きくしたとき
# (1+1/n)^nの極限値が存在することを納得させ,それをe とする方法なども考えられる。いずれの
# 方法においても,コンピュータなどを活用して極限の存在を確認させることが大切である。
# なお, を前提とする場合には,対数関数の導関数を定義にしたがって求めることができる。さら
# に,指数関数が対数関数の逆関数であることから,対数関数を基にして指数関数の導関数を求める
# こともできる。


指導要領に従う限り、
lim_(x→∞)(e^x-1)/x = 1を求める事は指導要領範囲外ということになります。
ただ、全ての大学が指導要領に沿って出題するかどうかは、私にはわかりません。

No.22226 2019/02/14(Thu) 16:44:53

訂正 Re: 極限についての質問 / camusPlague
直前の書き込みはオペミスにより、パスワードを入力する前に書き込まれました。
従って、削除したいのですが出来ません。

> lim_(x→0)(e^x-1)/x = 1を求める事は
> 指導要領範囲外ということになります。



# lim_(x→0)(e^x-1)/x = 1をあなたのたのやり方で求める事は
# 指導要領範囲外ということになります。

指導要領に従えば、
# lim[x→0]{log(1+x)/x}=1
を求めてから、y=log(1+x)とおいて、
# lim[y→0]{(e^y-1)/y }= 1
を求める事は出来ますね。

No.22227 2019/02/14(Thu) 16:51:24

Re: 極限についての質問 / あほうどり
ありがとうございます。

lim_(x→0)(e^x-1)/x=1
については、
eの定義。lim_(x→0)(1+x)^(1/x)=e。より
logをとって、lim_(x→0)log(1+x)/x=log(e)=1
で,y=log(1+x)と変換するという手順ということですね。

あと、平均値の定理は習うと思うのですが、これより
(e^x-e^0)/(x-0)=e^c
となるcが0<=x<=0に存在する。ので
はさみうちでx→0のときc→0で成立するでもよいでしょうか。

No.22229 2019/02/16(Sat) 22:54:38

Re: 極限についての質問 / camusPlague
> (e^x-e^0)/(x-0)=e^c
> となるcが0<=x<=0に存在する。

これは、関数e^xの導関数がe^xである事を前提にしているので、
この段階では使えないと思います。

初期の段階では高等技法は避けさるを得ないようです。

No.22230 2019/02/17(Sun) 08:45:49
複素微分 / さまよえる日本人
 変な質問ですみませんが、複素関数
  f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ・・・・・ u≠0、v≠0
は、2つの実数関数 u と v の組で表されるので、実数で微分したり積分したりすることはできると思いますが、
  g(z) = u(x,y) ・・・・・ v = 0
  h(z) = iv(x,y) ・・・・・ u = 0
は C-R の方程式を満たさないから、h や g を複素数で微分することは不可能なのですよね?

No.22220 2019/01/29(Tue) 13:23:17

Re: 複素微分 / camusPlague
> C-R の方程式を満たさないから、h や g を複素数で微分することは不可能

これが定義ですね。

No.22221 2019/01/30(Wed) 17:56:58
質問 / 学生
このサイトの
https://drive.google.com/file/d/1Q5ULw2a7RSzPneOUOL3lsjqhDPoJHazN/edit
問題3(1)って
x=rcosθ、y=rsinθで変数変換する。
その際ヤコビ行列式はrになるので
与えられた式は
∫[0→2π]dθ(∫[a→b]dr)で答えは2π(b-a)じゃないんですか?答えは2πらしいのですが…

No.22216 2019/01/20(Sun) 13:35:23

Re: 質問 / 学生
僕の答えは2π(b-a)になったのですが、その問題の解答は2πになってるので解答が、間違いじゃないかなと思って聞きました
No.22217 2019/01/20(Sun) 13:36:50

Re: 質問 / camusPlague
2π(√b-√a)でしょうね。
No.22218 2019/01/21(Mon) 13:37:01

Re: 質問 / 学生
ありがとうございます!!
No.22219 2019/01/21(Mon) 19:42:55
(No Subject) / あすなろ
 高校数学確率の問題です。

 A が赤玉 1 個、B が白玉 1 個、C が青玉 1 個持っている。コイン投げでコインの表が出れば A と B の持ち玉を交換し、裏が出れば B と C の持ち玉を交換する。
 N回コインを投げて繰り返したとき A、B、C が赤玉を持っている確率 A[n]、B[n]、C[n] を求める。

n = 1のとき
・表が出た場合、その確率は 1/2 であり、B が赤玉を持つことになるから
  B[1] = 1/2
・裏が出た場合、その確率は 1/2 であり、A が赤玉を持つことになるから
  A[1] = 1/2
したがって
  A[1] = 1/2,  B[1] = 1/2,  C[1] = 0.

n = 2のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[2] = A[1]*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[2] = A[1]*(1/2) = 1/4.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[2] = B[1]*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[2] = B[1]*(1/2) = 1/4.
 したがって
  A[2] = 2/4,  B[2] = 1/4,  C[2] = 1/4.

n = 3 のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[3] = A[2]*(1/2) = (2/4)*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[3] = A[2]*(1/2) = (2/4)*(1/2) = 1/4.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[3] = B[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[3] = B[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
・C が赤玉を持っていて、表が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[3] = C[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 裏が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[3] = C[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 したがって
  A[3] = 3/8,  B[3] = 3/8,  C[3] = 2/8.

n = 4 のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[4] = A[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[4] = A[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[4] = B[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[4] = B[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
・C が赤玉を持っていて、表が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[4] = C[3]*(1/2) = (2/8)*(1/2) = 2/16.
 裏が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[4] = C[3]*(1/2) = (2/8)*(1/2) = 2/16.
 したがって
  A[4] = 6/16,  B[4] = 5/16,  C[4] = 5/16.

 ここまで並べると
  A[1] = 1/2,  B[1] = 1/2,  C[1] = 0/2.
  A[2] = 2/4,  B[2] = 1/4,  C[2] = 1/4.
  A[3] = 3/8,  B[3] = 3/8,  C[3] = 2/8.
  A[4] = 6/16,  B[4] = 5/16,  C[4] = 5/16.
 分子の方が一般化の見通しが立ちません。自然数 k に対し
  A[2k-1] = B[2k-1]
  B[2k] = C[2k]
は成り立ちそうですが。n = 10 くらいまで計算したら、あるいはわかるかも知れませんが、ちょっと芸のない話です(笑)。上記 n = 4 までのデータで A[n]、B[n]、C[n] を推定できますか?

No.22213 2019/01/13(Sun) 12:09:23

Re: / たけちゃん
本問の場合,具体的な値を求めて推定するよりも,
確率漸化式を作ることを考える方が解きやすいと思います.

表が出れば,赤を持っているのがAならBに,BならAに,CならCに推移します.
裏が出れば,赤を持っているのがAならAに,BならCに,CならBに推移します.
よって,
A[n+1]=A[n]/2+B[n]/2…[1]
B[n+1]=A[n]/2+C[n]/2…[2]
C[n+1]=B[n]/2+C[n]/2…[3]
となり,
[2]からB[n+1]=(1-B[n])/2となって,B[n]を求めることができ,
[1]-[3]からA[n+1]-C[n+1]=(A[n]-C[n])/2となって,A[n]-C[n]を求めることができて,
以下は容易であるはずです.

なお,例えばn=2の場合の中で,
「A が赤玉を持っていて、(中略) 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[2] = A[1]*(1/2) = 1/4.」
とあるのは,書き方として誤りです.
A[2]は,2回の操作後に赤玉をAが持っている確率であり,
この段階で求めたA[1]*(1/2)=1/4は,A[2]ではありません.

No.22214 2019/01/13(Sun) 12:31:37

Re: / あすなろ
> A[2]は,2回の操作後に赤玉をAが持っている確率であり,
> この段階で求めたA[1]*(1/2)=1/4は,A[2]ではありません.

 ああ! そうですね!。
  A[2] = 1/4,A[2] = 1/4,したがって A[2] = 2/4
なんておかしいですよね(笑)。
 丁寧な回答、まことにありがとうございました。問題を解くとなると高校数学も難しいですね(^O^)。

No.22215 2019/01/13(Sun) 13:55:17
連結な連続曲線? / Tippy
こんにちは。
f:[0,1] -> C をf(z)=z+i if [0,1/2), z+2i+1 if [1/2,1]

g:[0,1] -> C をg(z)=sin(z)
も双方とも連続ですよね。

前者は視覚的にちぎれてますが後者は視覚的にちぎれてませんよね。これらを区別する言い方はありますか?

前者は非連結な連続曲線、後者は連結な連続曲線とか言ったりしますか?

No.22206 2019/01/11(Fri) 02:35:04

Re: 連結な連続曲線? / camusPlague
lim[z→1/2-0]f(z)=1/2+i
lim[z→1/2+0]f(z)=1/2+2i+1=3/2+2i
従って、lim[z→1/2-0]f(z)≠lim[z→1/2+0]f(z)なので、f(z)はz=1/2で不連続。

一方g(z)=sin(z)はz∈[0,1] で連続。

ですね。

> 前者は非連結な連続曲線
[0,1/2)∪[1/2,1]=[0,1]
[0,1/2)∩[1/2,1]=Φ
非連結とはいえないようです。

No.22207 2019/01/11(Fri) 15:50:03

Re: 連結な連続曲線? / Tippy
すみません間違えました。
f:[0,1/2)u[2/3,1] -> C ; z+I if [0,1/2), z+2i+1 if [2/3,1]
と書きたかったのでした。
これなら、"定義域が非連結な連続曲線"というのでしょうか?

No.22208 2019/01/12(Sat) 01:08:14

Re: 連結な連続曲線? / camusPlague
> f:[0,1/2)u[2/3,1] -> C ; z+I if [0,1/2), z+2i+1 if [2/3,1]
> …
> …"定義域が非連結な連続曲線"というのでしょうか?


このような言い回し私はした事がありませんが、表現は正しいですね。

No.22209 2019/01/12(Sat) 17:48:00

Re: 連結な連続曲線? / Tippy
どうも有難うございます。
No.22211 2019/01/13(Sun) 11:39:42
複素数に興味有り!? / ドーラ
愚問かもしれませんがお許しください。

a+ib∈C (但しa,b∈R) にて虚部の符号を逆転させたa-ibはa-ibの'共役'と呼びますが
実部の符号を逆転させた-a+ibはa-ibの??
と何か呼び方はあるのでしょうか?

No.22202 2019/01/08(Tue) 09:04:21

Re: 複素数に興味有り!? / らすかる
-a+ib=-(a-ib)ですから符号を反転したものですね。
私はこの用語は使ったことがありませんが、
「反数」と言うみたいです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E6%95%B0

No.22203 2019/01/08(Tue) 09:51:11

Re: 複素数に興味有り!? / ハンニバル
もしかしたらドーラさんは以下のようにお聞きになりたかったのではないでしょうか。

「実部の符号を逆転させた-a+ibはa+ibの??
と何か呼び方はあるのでしょうか?」

No.22204 2019/01/08(Tue) 11:10:09

Re: 複素数に興味有り!? / ドーラ
皆様失礼致しました。ハンニバル様の質問を尋ねたかったのでした。
-a+biはa+biの何と言うのでしょうか?

No.22205 2019/01/08(Tue) 22:47:04

Re: 複素数に興味有り!? / ハンニバル
とりあえず。

複素共役数の反数ではあるのですよね。

特別な名前については私にはわからないのですが。


No.22210 2019/01/13(Sun) 11:04:48

Re: 複素数に興味有り!? / ドーラ
なるほどです。有難うございます。
No.22212 2019/01/13(Sun) 11:42:19
(No Subject) / Sisa
Nイコール1と8以外でも、成り立ちますか?
No.22196 2019/01/06(Sun) 22:29:25

Re: / らすかる
成り立ちます。
(しかも成り立つようなnは無数にあります。)

# 新規記事にしてしまうとつながりがわからなくなります。
# Resを押して書き込みましょう。

No.22197 2019/01/06(Sun) 23:02:07

Re: / Sisa
すいません。例えば、1と8以外で教えてください。
No.22198 2019/01/06(Sun) 23:37:09

Re: / Sisa
失礼しました。35の2乗が、見つかりました。無限にあることに挑戦します。
No.22199 2019/01/07(Mon) 00:00:17

Re: / らすかる
(a[0],b[0])=(0,1), (a[1],b[1])=(1,1),
(a[k+2],b[k+2])=(2b[k+1]-a[k],4a[k+1]-b[k])
とすると(a[1],b[1]),(a[2],b[2]),(a[3],b[3]),…は
(1,1),(2,3),(5,7),(12,17),(29,41),(70,99),(169,239),(408,577),…
のような数列になりますが、
(2(a[1])^2,(b[1])^2)=(2,1)
(2(a[2])^2,(b[2])^2)=(8,9)
(2(a[3])^2,(b[3])^2)=(50,49)
(2(a[4])^2,(b[4])^2)=(288,289)
(2(a[5])^2,(b[5])^2)=(1682,1681)
・・・
のように|2(a[k])^2-(b[k])^2|=1となりますので、
2(a[k])^2と(b[k])^2のうち小さい方をnとすれば
n(n+1)/2=(a[k]b[k])^2となり、
問題の条件を満たす数列 1,8,49,288,1681,… が得られます。

ちなみに
lim[k→∞]2(a[k])^2/(b[k])^2=1
ですから、
lim[k→∞]b[k]/a[k]=√2
となり、この数列は√2に収束する近似分数の分母分子を表しています。

なお、答えの数列 1,8,49,288,1681,… は
c[0]=0, c[1]=1, c[k+2]=6c[k+1]-c[k]+2
という一つの漸化式で表すことができます。

No.22200 2019/01/07(Mon) 03:15:29

Re: / si-sa
態々ありがとうございます。
漸化式を求めることができるのですね。
きりがないですが、二乗+1にも3乗にも挑戦してみたいです。

No.22201 2019/01/07(Mon) 17:44:19
証明 / si-sa-
 1からnまでの和が、二乗の形になるのは、n=8の時に限ることを示してください。
No.22194 2019/01/06(Sun) 19:10:44

Re: 証明 / らすかる
成り立ちませんので示すのは不可能です。
No.22195 2019/01/06(Sun) 20:35:55
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