24539
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

Name
Mail
URL
Subject
Color
Cookie / Pass
ユニタリ行列の例 / Miki
2×2のユニタリ行列の例をググって見たのですが

(u_11,u_12)
(u_21,u_22)

でu_11=u_22,u_21=u_12形のものばかりですが
u_11≠u_22,u_21≠u_12となってるようなユニタリ行列ってあるのでしょうか?

No.21913 2018/02/20(Tue) 08:25:14

Re: ユニタリ行列の例 NEW / camusPlague
u_11≠u_22の事例
(1, 0)
(0,-1)

u_21≠u_12の事例
( 0, √(-1))
(-√(-1), 0)

があります。

No.21914 2018/02/20(Tue) 15:45:29

Re: ユニタリ行列の例 NEW / Miki
有難うございます。
全成分が異なってるような例は無いのですね。

No.21915 2018/02/21(Wed) 04:28:31

Re: ユニタリ行列の例 NEW / camusPlague
事例
a^2+b^2+c^2+d^2=1
となる実数a,b,c,d(b≠0,c≠0)
を用いて

(a+bi,-c+di)
(c+di,a-bi)

> …無いのですね。
この事を確認する事が数学であり、確認すべきはあなたです。

No.21916 2018/02/21(Wed) 11:10:14
アテナ / アテナ
連立方程式の解が無い時
4x−3y=6
ax−y=3a
aはどうやって求めるんですか?答えと解説お願いします

No.21910 2018/02/10(Sat) 16:39:01

Re: アテナ / らすかる
解がないということは平行
平行であるためには4:(-3)=a:(-1)からa=4/3
a=4/3のとき第2式は4x-3y=12となり
4x-3y=6と一致しないので、a=4/3が答え

No.21911 2018/02/10(Sat) 17:35:13
質問です。 / てふら
すべての自然数nについて,数列{a(n)}が,a(1)=1/2,a(n+1)=a(n)×{a(n)-1}+1を満たすとする。ただし,(1/2)≦a(n)<1とする(証明済み)。

いま,S(n)=Σ[k=1,n](1/a(k))とするとき,
S(n)={2a(n+1)-1}/{1-a(n+1)}
となることを証明せよ。

これに対して,a(n)=a(n-1)×{a(n-1)-1}+1より

a(n)-1=a(n-1)×{a(n-1)-1}=…
   =a(n-1)a(n-2)a(n-3)…a(1)×{a(1)-1}
=-(1/2)×{a(n-1)a(n-2)a(n-3)…a(1)}

から,数列{a(n)}の一般項を求めてから,式整理をしようと思ったのですが,思ったようにいきません。

@この方法から求めてもいいのか。
A別のやり方があれば,教えていただければと思います。

No.21907 2018/02/07(Wed) 13:44:36

Re: 質問です。 / camusPlague
> a(n)=a(n-1)×{a(n-1)-1}+1より
1/{1-a(n)}=1/[-a(n-1)×{a(n-1)-1}]=1/{1-a(n-1)}-1/a(n-1)
1/a(n-1)=1/{1-a(n-1)}-1/{1-a(n)}

つまり
1/a(n)=1/{1-a(n)}-1/{1-a(n+1)}
右辺をn=1〜nの和を取れば良いと思います。
符号を間違えているかもしれませんが、ご容赦下さい。

> S(n)={2a(n+1)-1}/{1-a(n+1)}
少しばかり違うかもしれません。

No.21908 2018/02/07(Wed) 14:54:22

Re: 質問です。 / てふら
部分分数分解の形で解けそうですね。

助かりました。チャレンジしてみます。

No.21909 2018/02/07(Wed) 21:26:02
(No Subject) / コルム
次の問題の4つの範囲なのかがわかりません。教えていただけると幸いです。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10185575600

No.21901 2018/02/03(Sat) 21:42:43
証明なんですが / おほほ
(A1+A2+A3+………+An)^2≦A1^3+A2^3+………+An^3
Anは自然数です
上の不等式を示したいのですが上手くいきません。
帰納法だと思うのですが・・・

No.21896 2018/02/03(Sat) 18:31:08

Re: 証明なんですが / らすかる
n=2,A1=A2=1のとき成り立ちません。
No.21897 2018/02/03(Sat) 19:01:24

Re: 証明なんですが / たけちゃん
蛇足ながら,A[1],A[2],…,A[n]が「異なる」自然数であるならば,
不等式は成立します.

これの証明は,
「一般性を失わずにA[1]<A[2]<…<A[n]の仮定をおくことができること」
に注意したうえで,nについての数学的帰納法によって可能です.
試みるのもよいかもしれません.

No.21898 2018/02/03(Sat) 20:28:19

Re: 証明なんですが / おほほ
失礼しました。A1<A2<A3<・・・<An です。
No.21899 2018/02/03(Sat) 21:00:23

Re: 証明なんですが / たけちゃん
A[1]<A[2]<…を前提として,
(A[1]^3+A[2]^3+…+A[n]^3)-(A[1}+A[2]+…+A[n])^2=x[n]とおくと,
x[n+1]=x[n]+A[n+1]^3-2A[n+1](A[1]+A[2]+…+A[n])-A[n+1]^2
=x[n]+A[n+1](A[n+1]^2-A[n+1]-2(A[1]+A[2]+…+A[n]))です.
A[1]+A[2]+…+A[n]≦1+2+3+…+A[n]=A[n](A[n]+1)/2≦(A[n+1]-1)A[n+1]/2
に注意して,数学的帰納法の証明を考えてみましょう.

No.21900 2018/02/03(Sat) 21:34:27

たけちゃんさん、ありがとうございます / おほほ
最後の2行なんですけど
A[1]+A[2]+…+A[n]≧1+2+3+…+n=n(n+1)/2
ではないんですか?
その後もよくわからないんですが・・・。

No.21902 2018/02/04(Sun) 09:29:29

Re: 証明なんですが / たけちゃん
目標は,「x[n]≧0を前提にx[n+1]≧0を示すこと」であり,
「A[n+1]^2-A[n+1]≧2(A[1]+A[2]+…+A[n])」が示せれば完成です.
(数学的帰納法の証明の書き方によっては,nでなくkの式になりますが.)

A[1]+A[2]+…+A[n]≧1+2+…+nはもちろん成立しますが,上の目的には,
「A[1]+A[2]+A[3]+…+A[n]がある式より大きいこと」は役に立ちません.

「A[1]+A[2]+A[3]+…+A[n]がある式より小さいこと」が有用であり,
集合{A[1],A[2],…,A[n]}が{1,2,…,A[n]}の部分集合であることから
A[1]+A[2]+…+A[n]≦1+2+…+A[n]となることを用いればうまくいきます.

また,A[n+1]≧A[n]+1にも注意しましょう.

No.21903 2018/02/04(Sun) 10:30:07

Re: 証明なんですが / おほほ
A[1]+A[2]+A[3]+…+A[n]が1+2+3+・・・+A[n]の部分和
という解釈でいいんでしょうか?

ところで、1+2+3+…+A[n]=A[n](A[n]+1)/2 は?
n個の自然数 A[1],A[2],…,A[n] なので個数はn個では?

No.21904 2018/02/04(Sun) 11:03:21

Re: 証明なんですが / たけちゃん
「部分和」という用語は無限級数についてのものなので,ここでは不適当ですが,
「一部分の和」というつもりであればその通りです.
また,1+2+3+…+A[n]はn個の和ではなく,A[n]個の和です.

A[1]=1,A[2]=3,A[3]=5,A[4]=7であり,n=3である場合について例示すると,
A[1]+A[2]+A[3]=1+3+5≦1+2+3+4+5=5*6/2≦6*7/2=(A[4]-1)A[4]/2
となります.

No.21905 2018/02/04(Sun) 11:19:40

Re: 証明なんですが / おほほ
分かりました。
具体的に例示していただいて
わかりやすかったです。
ありがとうございました。

No.21906 2018/02/04(Sun) 13:43:22
複素指数関数の積について / あすなろ
 z = x + iy(x, y は実数)のとき複素指数関数を

  e^z = e^(x+iy) = e^x(cosy + isiny) ……(#)

で定義したとき

  z1 = x1 + iy1,  z2 = x2 + iy2

について

  e^(z1+z2) = e^z1*e^z2

が成り立つことを示す。

  e^z1*e^z2
 = e^(x1+iy1)*e^z2(x2+iy2)
 = e^x1(cosy1 + isiny1)*e^x2(cosy2 + isiny2)
 = e^(x1+x2){ cosy1cosy2 - siny1siny2 + i(siny1cosy2 + siny2cosy1) }
 = e^(x1+x2){ cos(y1+y2) + isin(y1+y2) }
 = e^(x1+x2)*e^i(y1+y2) …… (#1)
 = e^(x1+x2+iy1+iy2)  …… (#2)
 = e^(x1+iy1 + x2+iy2)
 = e^(z1+z2)

 この証明で (#1) から (#2) の変形がわかりません。e^(x1+x2) は実数、e^i(y1+y2) は複素数ですから実数の指数法則は使えないと思うのですが。

No.21893 2018/01/30(Tue) 08:00:41

Re: 複素指数関数の積について / たけちゃん
x1+x2,y1+y2が実数であることに注意して,
e^(i(y1+y2))やe^(x1+x2+i(y1+y2))が何を意味するかを
定義にもどって考えてみましょう.

No.21894 2018/01/30(Tue) 10:52:40

Re: 複素指数関数の積について / あすなろ
> x1+x2,y1+y2が実数であることに注意して,
> e^(i(y1+y2))やe^(x1+x2+i(y1+y2))が何を意味するかを
> 定義にもどって考えてみましょう.

 ああ、そうですね。ありがとうございました。

No.21895 2018/01/30(Tue) 11:52:29
さいころの目の積 / のの
解答の式を詳しく教えてください。



【問題】

さいころをn回投げ、k回目に出る目をXkとする。

積X1X2…Xnを3で割ったときの余りが1である確率を求めよ。



【解答】

積X1X2…Xnを3で割ったときの余りをRnとする。

Rn=1となるのは

(i) Rn_1=1かつ、Xn=1または4

(ii)Rn_1=2かつ、Xn=2または5

※※※※ここまでは分かりました※※※※

よって{4^(n-1)×2}/6^n



最後の式がなぜ求まるか教えてください。

No.21890 2018/01/18(Thu) 21:41:41

Re: さいころの目の積 / たけちゃん
【解答】はもう少し説明がほしいところではあります.

R[n]=1となる目の出方の数をa[n],R[n]=2となる目の出方の数をb[n]とすると,
【解答】から,「a[n]=2a[n-1]+2b[n-1]」であることがわかります.…[1]
同様に,R[n]=2となるのは
(iii) R[n-1]=1かつ,X[n]=2または5,(iv) R[n-1]=2かつ,X[n]=1または4
の場合だから,b[n]=2a[n-1]+2b[n-1]であることもわかります.…[2]
a[1]=b[1]=2であることも合わせて,[1],[2]よりa[n]=b[n]が言えて,
[1]から,a[n]=4a[n-1]となります.

これを元に考えてみましょう.

No.21891 2018/01/20(Sat) 05:53:19
(No Subject) / su
すべての実数xに対してx^2−3x+a≧0であることは、a≦9/4であるための□

必要十分条件の何になるか解説お願いします

No.21889 2018/01/18(Thu) 21:11:45

Re: / たけちゃん
「すべての実数xに対してx^2-3x+a≧0が成り立つ」と
「(xが変化するときのx^2-3x+aの最小値)≧0が成り立つ」
は同じことです.
(xが変化するときのx^2-3x+aの最小値)をaで表してみましょう.

No.21892 2018/01/20(Sat) 05:56:43
(No Subject) / aim
1からnの数が記されたカードが2枚ずつあり、この合計2n枚のカードを無作為に一列に並べる。隣り合った同じ数のカードの組を取り出して列を詰め、カードの組を取り出すことを続ける。その結果全てのカードを取り出せる確率P(n)を求めよ。

よろしくお願いします。

No.21886 2017/12/25(Mon) 23:42:37

Re: / らすかる
左から順に見ていき、初めて登場した数字を開きカッコ、
二度目に登場した数字を閉じカッコに置き換える
(ただし数字によってカッコを変える)と、
「2n枚全てのカードが取り出せる列」は
「n組のカッコが正しく対応している列」と同じです。
例えば1を(と)、2を{と}、3を[と]としたとき
122133 → ({})[] → 正しい
123132 → ({[)]} → 正しくない
となります。
次に開きカッコを「右移動」、閉じカッコを「上移動」に置き換えて
(0,0)から1ずつ移動することにすると、
正しくカッコが対応している列は
「(0,0)から(n,n)まで、右移動と上移動でy=xより上にはみ出ずに進む方法」
と一対一に対応し、これは(2n)!/{n!(n+1)!}通りです。
この場合の数はカッコ(数字)を区別していませんので、
区別するとn!・(2n)!/{n!(n+1)!}=(2n)!/(n+1)!通りとなります。
数字の並べ方は全部で(2n)!/(2^n)通りですから、求める確率は
{(2n)!/(n+1)!}÷{(2n)!/(2^n)}=2^n/(n+1)!となります。

No.21887 2017/12/26(Tue) 03:25:45

Re: / aim
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

No.21888 2017/12/26(Tue) 09:18:43
直積集合の命題 / Rebecca
直積集合についての質問です。

Xは集合とし,A_k,B_k⊂Xとする。この時

Π_{k=1..n}(A_k\B_k)=(Π_{k=1..n}A_k)\(Π_{k=1..n}B_k)

はどのようにして示せますか?

No.21883 2017/12/20(Wed) 15:06:31

Re: 直積集合の命題 / camusPlague
反例を挙げます。

n=2
A_1={1,2},B_1={1}
A_2={3,4},B_2={3}
の場合

Π_{k=1,2}(A_k\B_k)={(2,4)}
Π_{k=1,2}(A_k)\Π_{k=1,2}(B_k)={(1,4),(2,3),(2,4)}

等号は成立しません。

No.21884 2017/12/20(Wed) 16:24:09

Re: 直積集合の命題 / Rebecca
有難うございます。納得しました。
No.21885 2017/12/21(Thu) 03:04:20
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
200/200件 [ ページ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 20 >> ]

- HOME - お知らせ(3/8) - 記事検索 - 携帯用URL - フィード - ヘルプ - 環境設定 -

- Skin: Modern v2.0 - Author: ロケットBBS -

Rocket Board Type-X (Free) Rocket BBS