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3次元ベクトルがa与えられたものとする。 このとき、ベクトルにx対してa×xを対応させる変換は線形変換か? 線形変換である場合は、その変換に対応する行列を答えよ。 ただしaは |1| |2| である。 |3| 線形変換がよくわからないので説明もお願いします。
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No.16831 2012/02/04(Sat) 21:25:04
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☆ Re: 線形変換 / deep make |
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a×vが3次元ベクトルの外積を表していると解釈します。 このとき, 定義にしたがって計算すると, v=(x,y,z)と置くとき, a×v=(1,2,3)×(x,y,z)=(2z-3y,3x-z,y-2x) を得ます。
「T : ベクトルv対してa×vを対応させる変換」とするとき, Tが線型変換であることを示すには, u,v : ベクトル, c : スカラーに対し, 以下の2つ
(1) T(u+v)=T(u)+T(v) (2) T(cu)=cT(u)
を示すことになります。
変換に対応する行列とは, そのベクトル空間の基底の取り方に依存します。
特に指定されていないので, この場合, 基底として(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を取るとすると, a×v=(1,2,3)×(x,y,z)=(2z-3y,3x-z,y-2x)=A(x,y,z) を満たす行列Aが対応する行列になります。
(注意) 表示の都合上どのベクトルも行ベクトルであるかのように書いてありますが, これらはみな列ベクトルを表すものとする。
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No.16832 2012/02/04(Sat) 22:04:11
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