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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
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を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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★ このサイトについて NEW / 名無し
このサイトはもう更新されていないのですか？
似たようなサイトがあれば教えてほしいです．
No.23212 2025/06/24(Tue) 19:51:40
★ 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / 算数にチャレンジ
ある８ケタの整数があります。

　この整数を、左から何ケタ目で区切ったとしても、区切りの左側の整数は、左から偶数番目の整数の合計と、奇数番目の整数の合計について、その差が１以下になっている。

　例えば４ケタの数であれば、例えば１２２１は、区切る位置が、

左から１ケタ目のとき　→　１　　　なので成立
左から２ケタ目のとき　→　１２　　なので、２−１＝１で成立
左から３ケタ目のとき　→　１２２　なので、（１＋２）ー２＝１で成立
左から４ケタ目のとき　→　１２２１なので、（１＋２）ー（２＋１）＝０で成立

というわけで、条件を満たします。

　では、このような８ケタの整数は、何通り考えられるでしょうか。
掲示板の漸化式がわからない。
No.23204 2025/05/29(Thu) 21:04:26
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / らすかる
n桁の整数で「右から」奇数番目の桁の合計をO、
偶数番目の桁の合計をEとしたとき、
O-E=-1となる整数の個数をa[n]
O-E=0となる整数の個数をb[n]
O-E=1となる整数の個数をc[n]
とすると
a[n]個に含まれる整数に0を追加するとc[n+1]個に含まれる整数となり、
a[n]個に含まれる整数に1以上を追加すると条件を満たさず、
b[n]個に含まれる整数に0を追加するとb[n+1]個に含まれる整数となり、
b[n]個に含まれる整数に1を追加するとc[n+1]個に含まれる整数となり、
b[n]個に含まれる整数に2以上を追加すると条件を満たさず、
c[n]個に含まれる整数に0を追加するとa[n+1]個に含まれる整数となり、
c[n]個に含まれる整数に1を追加するとb[n+1]個に含まれる整数となり、
c[n]個に含まれる整数に2を追加するとc[n+1]個に含まれる整数となり、
c[n]個に含まれる整数に3以上を追加すると条件を満たさない。
またa[1]=b[1]=0,c[1]=1だから、
a[1]=b[1]=0, c[1]=1
a[n+1]=c[n]
b[n+1]=b[n]+c[n]
c[n+1]=a[n]+b[n]+c[n]
という漸化式が立てられる。
これにより順次計算すると
左からn:a[n],b[n],c[n]として
1:0,0,1
2:1,1,1
3:1,2,3
4:3,5,6
5:6,11,14
6:14,25,31
7:31,56,70
8:70,126,157
よって求める答えは
70+126+157=353通り。
No.23205 2025/06/02(Mon) 16:22:45
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / 算数にチャレンジ
いろいろありがとうございます。
残念ながらよくわかりません。左から奇遇を計算しているのですが、ここでは右から？
また最初のくだり、a[n]個に含まれる整数に0を追加するとc[n+1]個に含まれる整数となり、からわかりません。
No.23206 2025/06/04(Wed) 17:00:53
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / らすかる
ある桁数の数全体の偶数桁奇数桁の差を調べるのは左からでも右からでも同じですよね。
なので桁数の偶奇で分けなくて良いように右からにしています。

5桁の数の右から4桁をとるなどと考えているわけではありません。
例えば4桁の数で条件を満たす1222は
右から数えて奇数桁の和は2+2=4、偶数桁の和は1+2=3なのでO-E=1
この数の右に「0」を加えた12220は右から数えて奇数桁の和は1+2+0=3、偶数桁の和は2+2=4なのでO-E=-1
のような考え方です。
（つまり「0」を右側に加えるとO-Eの符号が反転する）

例えば3桁では
a[3]=1に含まれるものは 120 ((1+0)-2=-1)
b[3]=2に含まれるものは 110 と 121
c[3]=3に含まれるものは 100 と 111 と 122
ですが、
a[3]に含まれる 120の右に0を追加した1200はc[4]に含まれ、
a[3]に含まれる 120の右に1以上を追加すると「差が1以下」という条件を満たさず、
b[3]に含まれる 110の右に0を追加した1100はb[4]に含まれ、
b[3]に含まれる 110の右に1を追加した1101はc[4]に含まれ、
・・・などのようになりますね。
No.23207 2025/06/05(Thu) 19:31:09
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / 算数にチャレンジ
ありがとうございます。右から計算すると、桁数の偶奇で分けなくて良いように右からにしていますと言われています。右からも奇遇の計算をしていると思うのですが。私は、どうも左からとの差がわからないようです。
No.23208 2025/06/09(Mon) 16:08:16
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / らすかる
左からにして解答を作ってみればわかると思います。
左から奇数番目の桁の合計をO、偶数番目の桁の合計をEとして
前と同じように
O-E=-1となる整数の個数をa[n]
O-E=0となる整数の個数をb[n]
O-E=1となる整数の個数をc[n]
とすると
a[n]に含まれる整数の右側に「1」を追加した場合
例えばnが奇数ならば
12110のような数（O=1+1+0=2、E=2+1=3）であり
これに「1」を追加して121101にするとO=2、E=4となり条件を満たしません。
ところがnが偶数ならば
1211のような数（O=1+1=2、E=2+1=3）であり
これに「1」を追加して12111にするとO=3、E=3となり条件を満たします。
よって「a[n]の右に1を追加した結果」はnの偶奇によって
変わり、解答が複雑になります。
No.23209 2025/06/10(Tue) 08:53:54
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / 算数に
ありがとうございます。
右からの発想はとても自分にはできません。どういった感じでそういう考えがでてくるのですか。
No.23210 2025/06/11(Wed) 17:21:29
☆ Re: 奇数偶数に関係なく交代和のみで漸化式を？ / らすかる
例えば
(x-1)^2=x^2-2x+1
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
・・・
(x-1)^n=x^n-nx^(n-1)+(nC2)x^(n-2)-…
のような式を書くことを考えます。上記は何も問題ありませんが
(-x+1)^2=x^2-2x+1
(-x+1)^3=-x^3+3x^2-3x+1
・・・
(-x+1)^n=○
○の式はnの偶奇で正負が変わるので書こうと思っても困りますよね。
しかし
(-x+1)^n=1-nx+(nC2)x^2-…
のように逆向きに書けば問題ありません。
例があまりよくないかも知れませんが、これと似たような発想です。

つまり元の問題では、左からの偶奇にすると
整数が奇数桁のとき、次に追加する桁は偶数番目
整数が偶数桁のとき、次に追加する桁は奇数番目
のように偶奇が交互に足されて偶奇の場合分けが必要になりますので
逆向きに考えようと思った、ということです。
No.23211 2025/06/11(Wed) 18:31:15
★ コラッツ予想 / 成清　愼
そういうことだったのか！難解注意！よろしくご査収の上ご批評賜りたく
No.23203 2024/12/10(Tue) 22:55:43
★ 積を最大にする問題 / める
1から9までの数を一回ずつ使って、５桁と４桁の数を作り、積を最大にしたいです。最大になるのは94321×8765のときで正しいでしょうか？
また、0から９までの数を一回ずつ使って５桁×5桁の計算をするとき、積が最大になるのは96420×87531のときで正しいでしょうか？
どうすればそれぞれ最大であることが示せますか？
No.23198 2024/10/06(Sun) 21:29:30
☆ Re: 積を最大にする問題 / らすかる
9????×8??? とすると
97/90＜87/80なので7は8の次に置いた方がよい
9????×87?? で
96/90＞876/870なので6は9の次に置いた方がよい
96???×87?? で
965/960＜875/870なので5は7の次に置いた方がよい
96???×875? で
964/960＞8754/8750なので4は6の次に置いた方がよい
964??×875? で
9643/9640＜8753/8750なので3は5の次に置いた方がよい
964??×8753 となるので残りの2と1を大きい順に入れて
96421×8753 が最大

8????×9???として同様に考えると
87531×9642 となり、
87531×9642＞96421×8753なので
最大は87531×9642

0を含めた5桁×5桁のときも同様に考えて
87531×96420
が最大
No.23199 2024/10/07(Mon) 21:09:24
☆ Re: 積を最大にする問題 / める
解答ありがとうございます。
質問なのですが、どうして97/90と87/80の大小比較で7の位置がわかるのでしょうか…？
No.23200 2024/10/11(Fri) 21:22:42
☆ Re: 積を最大にする問題 / らすかる
97000×8000 は 90000×8000 の 97/90倍
90000×8700 は 90000×8000 の 87/80倍
から
97000×8000よりも90000×8700の方が大きい
ということがわかるため、7は8の次に入れた方がお得ですね。
これで納得できなければ、「6と7の位置」をセットで考えて
97000×8600 と 96000×8700
でどちらが大きいか考えれば、7を「8の次」、6を「9の次」に
した方がよいことがわかるのではないでしょうか。
No.23202 2024/10/15(Tue) 05:42:07
★ 四色問題のよりシンプルな解法について / yangmask
四色問題のよりシンプルな解法について考察しました。
以下のページにまとめたのですが、よければ、どなたかご批評頂ければ嬉しく思います。

https://sites.google.com/view/yangmask-suugaku/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6
No.23197 2024/06/27(Thu) 12:11:21
★ (No Subject) / 北岳(小学6年)
角A=60°の△ABCの辺ABをa,辺ACをb,辺BCをcとしたとき、△ABCを組み合わせることで

a^2+b^2=ab+c^2

がわかったのですが、これを満たす整数の組を作り出すにはどうすればよいのでしょうか。
No.23195 2024/05/09(Thu) 13:14:50
☆ Re: / らすかる
適当な自然数m,nを決めて
a=n(4m+n)
b=4m(m+n)
c=4m^2+2mn+n^2
とすれば、その式を満たします。
a,b,cが互いに素である解を知りたい場合は、
算出されたa,b,cを最大公約数で割って下さい。
No.23196 2024/05/11(Sat) 16:21:25
★ (No Subject) / 野菜
合っているかどうか確認ください。

△ABCの各内角をa,b,cとする。
題意のような図が描けたとすると、BCEDは円に内接する四角形なので∠AED＝∠DBC＝b
同様、∠AED＝c
よって△ABC∽△AED
かつ、ADPEは平行四辺形なのでAPはDEの中点を通るので、△AEDに対してAから引いた中線である。
よってAPは、△ABCにおけるAから引いた中線と等角共役になっている。そのような点Pを作図すればよい。

以上より、以下のように作図する。

手順1：ABの中点Mをとり中線AMを引く。
手順2：∠BACの二等分線を引き、BCとの交点をQとする。
手順3：△MAQ≡△NAQとなる点Nを、Mの反対側にとる。
手順4：ANとBCの交点がPである。
No.23191 2024/02/01(Thu) 17:22:21
☆ Re: / らすかる
下の問題(No.23190)の解答ですよね？
合っていると思います。
要は∠BAM=∠CAPとなればよいので、AMを引いた後にAB,AM,ACと交わるように
Aを中心として小さな円を描きAB,AM,ACとの交点をF,G,Hとして、Hを中心として
半径FGの円を描いて最初の円とのGH間の交点とAを結んでBCとの交点をPとする、
ぐらいでもいいですね。
No.23192 2024/02/01(Thu) 21:04:21
☆ Re: / ヨッシー
本質ではないところで、ちょいちょい誤字があります。
>同様、∠AED＝c
は∠ADE ですし、
>手順1：ABの中点Mをとり
は、BCの中点　ですね。

私の考えた方法は、
半直線ＡＢ上に点Ｃ’を、半直線ＡＣ上に点Ｂ’を
　ＡＢ＝ＡＢ’、ＡＣ＝ＡＣ’
となるように取る。
Ｂ’Ｃ’の中点をＭとし、ＡＭとＢＣの交点が求める点Ｐ
というものです。
No.23193 2024/02/08(Thu) 17:30:53
☆ Re: / 野菜
ああ、たしかに皆様の解法のほうがシンプルでいいですね。
誤字、貼り付けミスすみませんでした。どうもありがとうございました。
No.23194 2024/02/09(Fri) 12:55:52
★ 作図題を解いています。 / tephra
次の作図題を解いていますが、作図の仕方はおろか、成り立つような図が描けずに困っています。作図の仕方を教えてください。

△ABCが与えられている。辺BC上に１点Pを求めて、PからAB、ACに平行線を引いてAB、ACとの交点をそれぞれD、Eとする。４点B、C、E、Dが同一円周上にあるように点Pを作図せよ。
No.23190 2023/11/24(Fri) 10:49:18
★ コラッツ予想の証明について / yangmask
ご無沙汰しています。以前、「双子素数」の時にお世話になったyangmask（ヤングマスク）です。

今回は、「コラッツ予想」について考察したのですが、ご検証いただければと思い、再び投稿させていただきました。

＿＿＿＿＿

・・・それで、「コラッツ予想」は以下の方法で、証明が可能ではないでしょうか。

＿＿＿＿＿

１．計算過程において、偶数を ÷2^x する時の x のみを抜き出して数列にすると、その x の発生確率には、法則性があることが分かる。

２．１．の法則性に基づいてシミュレートすると、すべての奇数は必ず、どこかの時点で 、N/2以下になることが分かる。

３．例えば、N=9999以下の奇数はすべて 1 に帰結することが確認されているが、 N=10001については、２．の性質から、必ず、N=10001/2 以下のいずれかの奇数のルートに結合・合流するので、最終的に 1 に至る、と言える。

こうして、N=10001まではすべて 1 に帰結することが分かった。

さらに、N=10003やそれ以降の奇数に対しても、これと全く同じ論理が適用でき、しかも、無限回繰り返すことができる。

すなわち、すべての奇数は最終的に 1 に帰結する、と言える。

また、同時に、すべての奇数がそうであるなら、すべての偶数もそうである。

したがって、コラッツ予想は正しい、と言える。

＿＿＿＿＿

詳しくは、下記リンクのページを見てください。

https://sites.google.com/view/yangmask-kagaku/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E4%BA%88%E6%83%B3

＿＿＿＿＿

まあ、素人考えなので、いたらないところもあると思いますが、ダメ出しも含めて、いろいろご批評いただければ励みになります。
No.23189 2023/07/23(Sun) 18:00:55
★ 微積分学の課題の質問 / しろくま
f(x)=arcsinxのとき
(a) (1-x^2)f"(x)-xf'(x)=0を示せ
(b) (1-x^2)f(n+2)(x)-xf(n+1)(x)=□f(n)(x)となる□を示せ
(b)が分かりません、よろしくお願いします
No.23188 2023/05/21(Sun) 22:53:16
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