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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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★ 平行四辺形の記号 NEW / 水の流れ
三角形ABCを△ABCと記号で書きますが
平方四辺形ABCDを記号で
□（実際は平行四辺形の形）ABCD
というふうに書くことは決まっているのでしょうか？
No.11286 2010/03/11(Thu) 21:22:09
☆ Re: 平行四辺形の記号 NEW / deep make
一部の人(先生)が使ってはいますが, 三角形の記号△ほど一般的でもないので,
あまり公式な場(一般模試等)での使用は控えたほうがいいと思います。
No.11287 2010/03/11(Thu) 22:28:31
☆ Re: 平行四辺形の記号 NEW / Pたごらす
中学校教科書に載っているので、公式に使用して大丈夫です。

「書くことは決まっているのでしょうか」というのが、
書かなければいけないのか、という意味なら答えはNO。
「平行四辺形ABCD」と漢字表記でもOKです。
No.11289 2010/03/12(Fri) 01:59:41
☆ Re: 平行四辺形の記号 NEW / 我疑う故に存在する我
教科書に書いてあるからと云って
何らの説明もなく公式の場で使って良いとは限らない。
「∵」等も要注意。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
にも間違った解説があるから要注意。
No.11291 2010/03/12(Fri) 09:46:52
★ 微分法　数3 / アポロン
連続かつ微分可能な関数f(x)、g(x)について、すべての実数xに対し、f(x)＞g(x)とする。この時以下の命題の真偽を答えなさい。また偽の場合はその反例を示しなさい。
(1)g'(x)≧0ならば、f'(x)＞0
(2)g'(x)≧0かつg(x)=0なるxが存在するならば、f(x)=0となるxは高々一つしかない。

両方とも偽だと思いますが、反例が見つからないです。お願いします。
No.11277 2010/03/11(Thu) 01:10:52
☆ Re: 微分法　数3 / rtz
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=724
いちれい。
No.11278 2010/03/11(Thu) 02:48:12
☆ Re: 微分法　数3 NEW / シャロン
(1) 反例
f(x)=e^(-x) (>0)
g(x)=-e^(-x) (<0)


g'(x)=e^(-x)≧0かつf'(x)=-e^(-x)<0
No.11282 2010/03/11(Thu) 17:28:55
★ (No Subject) / サム
高２の文系です。ある問題集で勉強していたのですがこの問題がさっぱりわからず、先生に聞いても、解答を見てもわかりません。どなたかわかりやすくお願いします。

１からｎまでの数字を１つずつ書いたｎ枚のカードがある。ただしｎ≧２とする。
このｎ枚のカードから１枚選び、その数字をX1とする。そのカードを元に戻し、あらためて１枚選び、その数字をX2とする。X1とX2の小さくないほうの数字をYとする。Yの期待値を求めよ。
No.11276 2010/03/10(Wed) 22:24:38
☆ Re: / rtz
Y＝kであるのは、
X[1]＝kでX[2]＝k+1〜n、その逆、X[1]＝X[2]＝k
いずれかのみ。


それより
＞先生に聞いても(中略)わかりません。
の方が両方の意味でマズイと思いますが。
No.11279 2010/03/11(Thu) 02:56:28
☆ Re: NEW / りぃ
＞X1とX2の小さくないほうの数字をYとする
このことの表わし方が不明でしょうか？
一度、問題集の解答を書き込みください
No.11288 2010/03/11(Thu) 22:42:58
★ 背理法?? / ban
「nを整数とするとき，n^2が3の倍数ならば，nは3の倍数である」は偽だと思うのですが，背理法を使うと次のように証明できてしまいます．

「n^2が3の倍数のとき，nは3の倍数でない」とすると矛盾がおこることを示せばよい．
nは3の倍数でないので，整数kを用いて n=3k±1 とおくことができる．このとき，
n^2=3(3k^2±2k)+1
となるから，n^2は3の倍数でななくなり，n^2が3の倍数であることに矛盾する．
よって，n^2が3の倍数ならば，nは3の倍数である．

この証明のどこが誤りなのでしょうか．
よろしくお願いいたします．
No.11263 2010/03/10(Wed) 12:56:00
☆ Re: 背理法?? / Pたごらす
元の命題が真です。
偽だと思う、のが間違いです。

反例を探してみてください。
No.11264 2010/03/10(Wed) 13:42:27
☆ Re: 背理法?? / deep make
３が素数であるという所が大事なところです。

これが合成数(例えば4)だとすると,
「nを整数とするとき，n^2が4の倍数ならば，nは4の倍数である」は偽となります。

(反例)
n^2＝4,36,100,…は4の倍数だが, n＝2,6,10,…は4の倍数でない。
No.11265 2010/03/10(Wed) 14:57:40
☆ Re: 背理法?? / らすかる
「合成数ならば偽」ではないですね。例えば6なら真です。
「素数であるかどうか」は重要ではないと思います。
No.11267 2010/03/10(Wed) 16:24:43
☆ Re: 背理法?? / deep make
すみません。確かにらすかるさんの言うとおりです。
二乗数の因子を持てばよいの…かな。
No.11269 2010/03/10(Wed) 17:37:40
☆ Re: 背理法?? / ban
皆様

ご回答ありがとうございます．
納得いたしました．
No.11281 2010/03/11(Thu) 15:25:31
★ (No Subject) / sff
三次関数F(X)=X^3-3AX+Bについて
(1)この関数が極値を持つ条件はF'(X)=Oが異なる２つの実数解をもてばよいと解説にあったのですが、ひとつの実数解では不十分ですか？

(2）F(X)がX=αで極大,X=βで極小となるとき、F(α)-F(β)
(3)(2)のα、βに対して(α,f(α))(β,f(β))の中点をＰとするとき、Ｐは曲線y=f(x)上にあることを示す。

(2)(3)が全く理解できませんでした。ご教授お願いします。
No.11259 2010/03/10(Wed) 10:39:05
☆ Re: / deep make
(1)F'(X)が(−０＋)又は(＋０−)と変わる所が極値です。
F'(X)が１つの実数解しか持たないとすると,
(−０−), (＋０＋)なので極値を持ちません。
No.11266 2010/03/10(Wed) 15:03:50
☆ Re: / sff
> (1)F'(X)が(−０＋)又は(＋０−)と変わる所が極値です。
> F'(X)が１つの実数解しか持たないとすると,
> (−０−), (＋０＋)なので極値を持ちません。

F'(X)が０であるということは極値を持っていませんか？傾き０なので？違うのでしょうか？
No.11268 2010/03/10(Wed) 16:33:38
☆ Re: / deep make
極値の定義を復習しましょう。

例えば F(X)=X³ は極値を持ちません。

因みに,
(＋０−) ⇒ 極大値, (−０＋) ⇒ 極小値
No.11270 2010/03/10(Wed) 17:54:20
☆ Re: / sff
2つ持っていなければならないのは、三次関数だからですか？

二次関数であれば、一個でないとおかしいですよね。
No.11271 2010/03/10(Wed) 21:03:26
☆ Re: / deep make
今回の解説文は,
(1)「この関数が極値を持つ条件は(F'(X)のグラフを考えれば)
F'(X)=Oが異なる２つの実数解をもてば極値を持つ」ということです。

確かにF(X)が三次関数ならば,
「F'(X)=Oが異なる２つの実数解をもてば極値を持つ」は正しいです。

しかし, 例えばF(X)が五次関数のときは,
F'(X)=0が異なる２つの実数解を持ったからといって極値を持つとは限りません。

大事なのはF'(X)が(＋０−), (−０＋) となることです。
No.11273 2010/03/10(Wed) 21:49:42
☆ Re: / sff
なるほど。
では、この問題で５次関数の場合はどのように解くのですか？この条件では無理なことなのでしょうか？
No.11280 2010/03/11(Thu) 09:51:44
☆ Re: NEW / deep make
ｎ次関数は無限回微分可能な関数なので, 次の定理が成り立ちます。

F(X)のｎ階導関数をF^(n)(X)と書くことにする。

X＝a において,
1≦k≦m-1に対し F^(k)(a)＝0 であって, F^(m)(a)≠0 となるとき,
(1) m が奇数なら a は極値点でない。
(2) m が偶数なら, a は F^(m)(a)>0 なら極小点, F^(m)(a)<0 なら極大点になる。
No.11283 2010/03/11(Thu) 17:31:51
☆ Re: NEW / deep make
今回の三次関数F(X)＝X^3−3AX＋Bに対し,
F^(1)(X)＝F'(X)＝0 が唯一つの実数解を X＝a で持ったとすると,
F'(a)＝F''(a)＝0, F^(3)(a)＝F'''(a)＝6≠0 より,
X＝a は極値点ではなくなります。

二次関数F(X)＝aX^2＋bX＋c に対しては,
F'(X)＝2aX＋b, F''(X)＝2a より,
F'(-b/2a)＝0, F''(-b/2a)＝2a なので,
a>0 なら X＝-b/2a で極小値を,
a<0 なら X＝-b/2a で極大値を持つことがわかります。

つまり, F'(X)＝0 を満たす X＝a に対し,
F''(a), F'''(a),…を計算していくことによって,
極値点かどうかを調べることができます。
No.11284 2010/03/11(Thu) 17:40:25
☆ Re: (No Subject) NEW / ssf
詳しい解説ありがとうございます。
助かりました。
No.11292 2010/03/12(Fri) 11:19:33
★ (No Subject) / sff
a>0とする。関数f(x)=|x^3-3a^2x|の-1≦x≦1における最大値をM(a)とするとき
(1)M(a)をaを用いて表す

という問題で解説を読んでもわからないのでお願いしました。
解説では増減表を書いて極大値の2a^3を満たすxをaの範囲によって考慮し、答えを導いています。
1,0<2a≦1 2,0<a≦1<2a 3,1<a
の３パターンで2と3のパターンがわかりません。

わかりづらい文章申し訳ありません。
No.11258 2010/03/10(Wed) 10:22:15
★ (No Subject) / k
3+5a (a→0) =3ですよね。

では、正の整数kに対し　S(k)＝［-1,1/k）と定義するとき
　o∈∩(k∈N) S(k)が成り立つことを示せ。

という問題にとりかかったとき　1/kは０に収束するので
∩(k∈N) ＝｛x|-1≦ｘ＜0｝よって成り立たないと考えたのですが。
∩(k∈N) ＝｛x|-1≦ｘ≦0}となるようです。なぜか、教えてください
No.11252 2010/03/09(Tue) 22:55:21
☆ Re: / ghenu
x∈∩{λ∈Λ}A_λ ⇔ ∀λ∈Λ x∈A_λ
で定義されるので。
No.11254 2010/03/09(Tue) 23:39:08
☆ Re: / k
x∈∩{λ∈Λ}A_λ
の∧は「かつ」ですか、それとも集合ですか？
なんか、馬鹿なこと聞いてたらごめんなさい。
No.11255 2010/03/09(Tue) 23:53:58
☆ Re: / ghenu
λ in Λ（ラムダ）ということです。
No.11262 2010/03/10(Wed) 11:49:01
★ 代数の問題です / ぶーぶ
　Gを群とし、HをGの部分群とする。
任意のGの元aに対し、a^2がHの元となるならば、HはGの正規部分群となる。

簡単だと思ったのですが解けませんでした。
ご教授下さい。
No.11246 2010/03/09(Tue) 16:36:51
☆ Re: 代数の問題です / 我疑う故に存在する我
先ず H の元の平方元の積全体 A は H の正規部分群で、 H/A はアーベル群。
よって A を含む H の部分群は H の正規部分群。
No.11248 2010/03/09(Tue) 18:35:25
☆ Re: 代数の問題です / 我疑う故に存在する我
追伸　日本語を含みます。
追伸 追伸 追伸 追伸 追伸 です。
追伸 xyx -1y -1 追伸 = 追伸x2 (x -1y) 2
y - 2 追伸 ∈ 追伸 A 追伸
追伸 追伸
追伸 日本語を含みます。
No.11249 2010/03/09(Tue) 18:50:40
☆ Re: 代数の問題です / 我疑う故に存在する我
訂正
先ず G の元の平方元の積全体 A は G の正規部分群で、 G/A はアーベル群。

これは 11249 より分かる。

よって A を含む G の部分群は G の正規部分群。

#最近パソコンの調子が悪い。
No.11250 2010/03/09(Tue) 20:01:32
☆ Re: 代数の問題です NEW / のぼりん
割り込み失礼します。 別解です。

ｇ∈Ｇ、ｈ∈Ｈ のとき、
　　　ｇｈｇ−１＝ｇｈ（ｇｈｈ−１ｇ−１）ｇ−１＝（ｇｈ）２h−１（ｇ−１）２∈Ｈ
です。
No.11285 2010/03/11(Thu) 19:40:09
★ 解析の問題 / ぶーぶ
fは[0,∞)上でC^1級の単調増加関数とする。このとき、lim_[x→∞]f(x)＜∞ならば、点列｛x_n｝で

lim_[n→∞]x_n=∞, lim_[n→∞]x_n・f'(x_n)=0

を満たすものが存在することを示せ。

この問はどのようにして解けばいいてしょうか？
No.11245 2010/03/09(Tue) 16:31:26
☆ Re: 解析の問題 / ghenu
lim{x→∞}xf(x)=0を示せば終わりなので、これを示そう。

fが単調増加だから、f'(x)≧0, ∀x≧0。
limsup{x→∞}xf'(x)＞0とする。
よって、ε＞0と単調増加列(x_n)を、x_n→∞かつx_nf'(x_n)＞ε (∀n)となるようにできる。関数xf'(x)(≧0)は連続だから、各nに対して、x_nをその内部に含む有界区間I_nが取れて、I_n上xf'(x)＞ε。
ゆえに、すべてのI_n上でf'(x)＞ε/x。
各I_n上で積分することにより、f(x)≧εlog(x)+C on I_n(積分の単調性、C:定数)。これにより、f(x_n)≧εlog(x_n)+Cであるが、fの有界性に反する。
No.11253 2010/03/09(Tue) 23:18:17
☆ Re: 解析の問題 / ghenu
すみません。
>f(x)≧εlog(x)+C
の部分をうっかりしていました。Cはnに依存するC_nでなければいけません。lim{x→∞}xf'(x)=0は一般には導けません。

それで、問題を示すにはliminf xf'(x)=0を示せばいいです。
liminf xf'(x)＞0と仮定すると、0＜ε＜liminf xf'(x)に対して、∃a＞0 s.t. [a,∞)上 xf'(x)≧ε。これによってf(x)≧εlog(x)+f(a)-εlog(a) on [a,∞)となります。
No.11261 2010/03/10(Wed) 11:45:48
★ 宿題 / 通りすがり
直線y=2x+kが放物線y=3x+x^2と異なる2点P,Qで交わるとする。
線分PQの中点Mの座標をkで表せ。また、kの変域をもとめよ。

この問題を解と係数の関係を使って解いてください。お願いします。
No.11233 2010/03/09(Tue) 00:21:10
☆ Re: 宿題 / k
中点の座標を(X,Y)とする
与式より
x^2+3x=2x+k
x^2+x-k=0

この二つの解(α,β)の和はα+β=-b/aなので
α+β=-1
Ｘ= -1/2　　代入して
Ｙ= k-1

よって(X,Y)=(-1/2,k-1)
No.11242 2010/03/09(Tue) 13:37:07
☆ Re: 宿題 / deep make
kの範囲は,
上記の x^2＋x−k＝0 の判別式が正となるところになります。
No.11243 2010/03/09(Tue) 13:42:22
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