110073
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

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★ 極値 NEW / yayo
二変数関数f(x,y)の極値を求める際、ヘッシアンがゼロになってしまう時どうすればいいのかがわかりません。

1) (1/5)x^5 -(1/4)x^4 +(1/5)y^5 -(1/4)y^4
-(1/2)(x^2)(y^2)
2) (1/4)x^4 +(1/3)y^3 +(1/2)(x^2)(y^2) -2x^2 -y^2
3) 2x^4 -(3x^2)y +y^2

うまく式変形をするんだと思うのですが、さっぱりです・・
よければ考え方を教えてください。よろしくおねがいします。
No.16845 2012/02/08(Wed) 01:54:11
★ 閉包 / なべ
また,閉包についての問題の解答を添削してほしいのですが,

X:dを距離とする距離空間
A:Xの部分集合
B_(ε)(x)={y∈X|d(y,x)<ε}

[1]x∈A~
[2]a_n→xなるAの点列{a_n}が存在する
(x∈X,A~はAの閉包)

[1]と[2]は同値である.

[2]⇒[1]
任意の正数εに対し,あるNが存在し,n≧Nなる任意のnについて
d(a_n,x)<ε よって a_n∈B_(ε)(x)(n≧N)
a_n∈Aなので,x∈A~が言えた.

[1]⇒[2]
対偶を示す.
d(a_n,x)≧εより
a_nはB_(ε)(x)の要素でない.すなわち
B_(ε)(x)∩(X-A)^o≠φ
これで xがA~の要素でないことが言えた.

((X-A)^o:普遍集合XからAを除いた集合の内部)

[1]⇒[2]の証明が特に不安です.どうかよろしくお願いします.
No.16843 2012/02/07(Tue) 00:49:07
☆ Re: 閉包 / deep make
[1]⇒[2]
nを任意の自然数とする.
x∈A~ より, ε＝1/n に対し,
B_(ε)(x)∩A≠φ なので,
a_n∈B_(ε)(x)∩A がとれる.
この数列{a_n}はAの点列で, a_n→x を満たす.

[2]⇒[1]
任意の正数εに対し,ある自然数nが存在し,
d(a_n,x)<ε. ゆえに, a_n∈B_(ε)(x)∩A より,
B_(ε)(x)∩A≠φ なので, x∈A~.
No.16844 2012/02/07(Tue) 01:13:03
★ 各点収束 / ダイスケ

f_n(x):[0,2]→R で

f_n(x)=1-n|x-(1/n)| (|x-(1/n)|≦1/n のとき)
f_n(x)=0 (それ以外のとき )

と定まった連続関数列の各点収束性を示したいのですが,うまく示すことが出来ません.

f=0 に各点収束すると思うのですが,
そうすると各点収束の定義から,
∀ε,∀x∈[0,2],∃N,∀n;n≧N⇒|fn-f|<ε
でf=0とすると
とくに 0<x≦1/n のとき fn=nx なので
|nx|=nx<n*(1/n)=1までは示せるんですが...

教えてください.よろしくお願いします.
No.16840 2012/02/06(Mon) 16:42:42
☆ Re: 各点収束 / 黄桃
収束先は合ってます。

でも、
>|nx|=nx<n*(1/n)=1までは示せるんですが
こういう見方をしてはうまくいかないでしょう。

具体例で考えてみましょう。
例えば x=1/100 とします。
n=10, n=100, n=200, n=1000 の時、f_n(1/100) がどうなるか、考えてみてください。
f_n(x)のグラフを考える時に、x方向の変化ではなくて、xを止めてnを増加する方向の変化によって f_n(x)がどうなるか、考えてください。

具体例でイメージがつかめたら一般の場合を考えましょう。
私には x=0 か 0<x≦2 かで場合わけが必要にみえます。
x=0の場合は定義式に直接代入すればよさそうです。
x>0 の場合、例えば 1/100<x　なら、nがある数より大きい時には f_n(x)が十分0に近い（もっといえば0になっている）ことが言えるでしょう。これが1/100<x だけでなく、x>0 のすべてのxについて言えれば証明終わりです。
No.16841 2012/02/06(Mon) 23:13:38
☆ Re: 各点収束 / ダイスケ
良いアドバイスありがとうございます.たしかにxを固定すると,nがあるNより大きいときf_n(x)=0となっていますね.

0<x≦2のとき
N=2/xとすると,n≧Nならば
2/n≦2/N=xとなり,f_n(x)=0

非常に助かりました.感謝します.
No.16842 2012/02/07(Tue) 00:20:47
★ なんで主値やリーマン面という概念を考えるのかがよくわかりません / Tommy
なんで主値やリーマン面という概念を考えるのかがよくわかりません。
f∈Map(C＼{0},C);C∋∀x+yi→f(x+yi):=(x+yi)^{1/2}は
±(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
と二つの値を取るので,fは対応であって写像ではないですがこのfを
f∈Map(C＼{0},2^C);C∋∀x+yi→f(x+yi)
:={±(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))}
という風に像がCの部分集合と考えればfは写像になりますよね。
そこで主値やリーマン面という概念が無いと何が困るのでしょうか?
No.16839 2012/02/06(Mon) 09:32:18
☆ Re: なんで主値やリーマン面という概念を考えるのかがよくわかりません NEW / Tommy
単に写像になるようにしたいのであればfは
f∈Map(((C＼{0})×{0})∪({0}×(C＼{0})),C);
f(x+yi,0):=+(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
f(0,x+yi):=-(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1 x/√(x^2+y^2))/2))
と定義すればいいのではないでしょうか。
これだとfは写像(1価関数)になりますよね?
No.16846 2012/02/08(Wed) 10:11:39
☆ Re: なんで主値やリーマン面という概念を考えるのかがよくわかりません NEW / camusPlague
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011365205
に、以下のような説明があります。
> 多価関数を1価関数のように扱うために
> 複素平面を沢山用意して切り貼りしているだけです。
たくさん用意するのは、定義域ですけどね。

> 単に写像になるようにしたい
発想は単純かもしれないけれど、奥は深いですね。
岩波書店に“田村二郎著・リーマン面”があります。。
No.16847 2012/02/08(Wed) 17:22:01
☆ ↑ NEW / camusPlague
失礼
> “田村二郎著・リーマン面”
　　　↓
# “ワイル著・田村二郎訳・リーマン面”
No.16848 2012/02/08(Wed) 21:27:12
★ 線形変換 / senke
3次元ベクトルがa与えられたものとする。
このとき、ベクトルにx対してa×xを対応させる変換は線形変換か？
線形変換である場合は、その変換に対応する行列を答えよ。
ただしaは
|1|
|2| である。
|3|
線形変換がよくわからないので説明もお願いします。
No.16831 2012/02/04(Sat) 21:25:04
☆ Re: 線形変換 / deep make
a×vが3次元ベクトルの外積を表していると解釈します。
このとき, 定義にしたがって計算すると, v＝(x,y,z)と置くとき,
a×v＝(1,2,3)×(x,y,z)＝(2z-3y,3x-z,y-2x) を得ます。

「T : ベクトルv対してa×vを対応させる変換」とするとき,
Tが線型変換であることを示すには,
u,v : ベクトル, c : スカラーに対し, 以下の２つ

(1) T(u+v)＝T(u)＋T(v)
(2) T(cu)＝cT(u)

を示すことになります。

変換に対応する行列とは, そのベクトル空間の基底の取り方に依存します。

特に指定されていないので, この場合,
基底として(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を取るとすると,
a×v＝(1,2,3)×(x,y,z)＝(2z-3y,3x-z,y-2x)＝A(x,y,z)
を満たす行列Aが対応する行列になります。

(注意)
表示の都合上どのベクトルも行ベクトルであるかのように書いてありますが,
これらはみな列ベクトルを表すものとする。
No.16832 2012/02/04(Sat) 22:04:11
★ 閉包 / なべ
集合の閉包に関する等式を証明したのですが,正しいか確信できません.添削してください.

示したい等式:「 (A∪B)~=A~∪B~ 」(Aの閉包はA~と表記した.)

(1)
(A∪B)~⊂A~∪B~ を示す.

a∈(A∪B)~とすると
「任意の正数rに対し,B_(r)(a)∩(A∪B)≠φ」
⇔((B_(r)(a)∩A)∪(B_(r)(a)∩B))≠φ　
⇔((B_(r)(a)∩A)≠φ)∪((B_(r)(a)∩B))≠φ)
⇔(a∈A~)∪(a∈B~)
∴a∈A~∪B~

(2)
A~∪B~⊂(A∪B)~ を示す.

a∈A~∪B~
⇔(a∈A~)∪(a∈B~)
⇔「任意の正数rに対し,
(B_(r)(a)∩A≠φ)∪((B_(r)(a)∩B≠φ))」
⇔B_(r)(a)∩(A∪B)≠φ
∴a∈(A∪B)~

です.よろしくお願いします.
No.16825 2012/02/03(Fri) 19:56:04
☆ 一般 / deep make
B_(r)(a)は, 任意の位相空間に対し定義されているものではありません。
また, (∪,∩)は集合に対し定義されている記号なので,
「(a∈A)∪(a∈B)」といった書き方はしません。
この場合「(a∈A)∨(a∈B)」と書きます。
(∨ : または, ∧ : かつ)

一般の位相空間の場合の証明は, 閉包の定義が,
「集合Aの閉包＝Aを含む最小の閉集合」とするとき,
次のように書けます。

(1)(A∪B)~⊂A~∪B~を示す.

A⊂A~, B⊂B~ より, A∪B⊂A~∪B~.
A~∪B~はA∪Bを含む閉集合なので,
閉集合の定義から, (A∪B)~⊂A~∪B~が成り立つ.

(2)A~∪B~⊂(A∪B)~ を示す。

A⊂(A∪B)⊂(A∪B)~より,
(A∪B)~はAを含む閉集合なので,
閉集合の定義から, A~⊂(A∪B)~.
同様に, B~⊂(A∪B)~も示されるので,
A~∪B~⊂(A∪B)~が成り立つ.

用いているのは, 以下の事実です.
「C : 閉集合, A⊂C ⇒ A~⊂C」.
No.16826 2012/02/03(Fri) 21:24:53
☆ Re: 閉包 / 黄桃
>((B_(r)(a)∩A)≠φ)∪((B_(r)(a)∩B))≠φ)
>⇔(a∈A~)∪(a∈B~)

>(C∩A≠φ)∨(C∩B≠φ)
>⇔(a∈A~)∨(a∈B~)

ここは、まずいでしょう。善意に解釈すれば説明不足、普通に解釈すれば誤りです。

上のなべさんの書き方で説明すれば、B_(r)毎（つまりrを決める毎）に B_(r)∩A≠φかB_(r)∩B≠φかのどちらかが成立するのですから、すべてのrに共通に、B_(r)∩A≠φかB_(r)∩B≠φかが決まるわけではありません。
例えば r=1,1/2,1/3,... とし、r=1 に対してはB_(r)∩A≠φ, r=1/2 に対してはB_(r)∩B≠φ, r=1/3 に対してはB_(r)∩A≠φ…だとしたら、これだけから、∀r>0 B_(r)∩A≠φ　または　∀r>0 B_(r)∩B≠φ　がいえるのでしょうか？
もっといえば、この書き方では (∪i∈I A[i])^~=∪i∈I (A[i]^~) も言えそうですが、これは偽です。

この場合はA,Bの２つの和集合であることがきいてきて言えるのですから、（議論に慣れてきて言わなくても分かる段階ならともかく）今の段階なら、ちゃんと説明しないとダメで、おそらく、誤りと判断されるでしょう。


もう１つ

>(a∈A~)∪(a∈B~)
>⇔「任意の正数rに対し,
>(B_(r)(a)∩A≠φ)∪((B_(r)(a)∩B≠φ))」

ここは、結果的には確かにそうなんですが、上の行は
「任意の正数rに対し(B_(r)(a)∩A≠φ)」かつ「「任意の正数rに対し(B_(r)(a)∩B≠φ」
ですから、⇒は明らかですが、先ほど述べたのと同じ理由で逆向きの成立は明らかではありません。

一般に
(a)「∀x (P(x)∨Q(x))」
と
(b)「(∀xP(x))∨(∀xQ(x))」
は同値ではありません。
(b)⇒(a)はいえますが、(a)⇒(b)は言えません。

例えば、xが整数全体の集合を動くとし、P(x)=「xが偶数」, Q(x)=「xが奇数」とすれば
(a) すべての整数は偶数か奇数かのどちらかである（当たり前だから真）
(b) 「すべての整数は偶数である」か（そんなことない）、「すべての整数は奇数である」か（これもちがう）のどちらかが成立する（どちらも成立しないから偽）
ですから、同値でないのはお分かりでしょう。

(a)と(b)の微妙な違いに気づいていないか、(a)と(b)が同値であると勘違いしているか、のいずれの答案と判断されると思います。
No.16828 2012/02/04(Sat) 04:17:06
☆ 削除とお詫び / deep make
黄桃さんのおっしゃる通り, 誤りでした。
No.16827 は削除させていただきます。

触点の性質を用いるより, 閉包の定義から一般的な方法
(No.16826)で証明した方が簡単ですね。
No.16829 2012/02/04(Sat) 14:07:24
☆ Re: 閉包 / なべ
非常に勉強になりました。ありがとうございます。
No.16830 2012/02/04(Sat) 15:47:22
★ 定積分 / koko
こんにちは。よろしくお願いします。

(1)lim[n→∞]Σ[k=1～ｎ](k/n^2)log(1+k/n)を求めよ。

(2)∫[0～1](2x+2)/(x^2+x+1)dxを求めよ。

(3)ｎを自然数とし，mをｎ以下の自然数とする。
(a)Σ[k=0～ｎ](1+x)^kをxの多項式として整理したときのx^mの係数を，ただ一つの2項係数を含む式で表せ。
(b)Σ[k=0～ｎ]x^(n-k)(1+x)^kをxの多項式として整理したときのx^mの係数を，ただ一つの2項係数を含む式で表せ。

(1)は区分求積ということは分かるのですが，その後の計算が止まってしまい出来ませんでした。（2)はいろいろしましたが出来ませんでした。（3）はどうすればいいのか分からなかったです。どなたかご教授お願いします。
No.16823 2012/02/02(Thu) 13:00:06
☆ こんな答になるようです / 元吉
(1) ∫[0～1]xlog(x+1)dxを
部分積分の公式∫(u')vdx＝uv－∫u(v')dxを用いて計算します。
このとき、u'＝xをみたすuの選び方を工夫しないと、後の計算が大変になってしまいます。
u＝(1/2){(x^2)－1}とすれば
∫xlog(x+1)dx＝(1/2){(x^2)－1}log(x+1)－(1/2)∫{(x^2)－1}/(x＋1)dx
＝(1/2){(x^2)－1}log(x+1)－(1/2)∫(x－1)dx
(2) ∫[0～1](2x+2)/(x^2+x+1)dx
＝∫[0～1](2x+1)/(x^2+x+1)dx＋∫[0～1]１/(x^2+x+1)dx
ここで
∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx＝∫(x^2+x+1)'/(x^2+x+1)dx＝log(x^2+x+1)＋C
より、１番目の定積分はlog3
いっぽう２番目の定積分は
∫[0～1]１/(x^2+x+1)dx
＝(4/3)∫[0～1]１/[{(2/√3)(x＋(1/2))}^2＋1]dx
　　(2/√3)(x＋(1/2))＝tanθとおくと
　　x＝0のときtanθ＝1/√3より、θ＝π/6
　　x＝1のときtanθ＝√3より、θ＝π/3
　　dx＝(√3/2){(tanθ)^2＋１}dθ
　　これらから
∫[0～1]１/(x^2+x+1)dx＝{(2√3)/3}∫[π/6～π/3]dθ＝(√3)π/9
(3) 二項係数nＣrを、(n，r)とかくことにし、２つの基本的な公式
(n，r)＝(n，n-r)・・・(i)
(n-1，r-1)＋(n-1，r)＝(n，r)・・・(ii)
を用います。
(a) 例えばn＝5，m＝2のときの係数は
(2，2)＋(3，2)＋(4，2)＋(5，2)
　(i)より
＝(2，0)＋(3，1)＋(4，2)＋(5，3)
　(2，0)＝(3，0)＝1より
＝(3，0)＋(3，1)＋(4，2)＋(5，3)
　最初の２項は(ii)より(4，1)になるので
＝(4，1)＋(4，2)＋(5，3)
　同様に最初の２項は(5，2)になり
＝(5，2)＋(5，3)＝(６，3)
一般の場合は
(m，m)＋(m+1，m)＋(m+2，m)＋・・・＋(n，m)
＝(m，0)＋(m+1，1)＋(m+2，2)＋・・・＋(n，n-m)
＝(n+1,n-m)＝(n+1,m+1)
(b) x^mの係数は
(n-m，0)＋(n-m+1，1)＋(n-m+2，2)＋・・・＋(n，m)
　(a)と同じように計算すれば
(n+1，m)になります。
No.16824 2012/02/03(Fri) 13:03:00
☆ Re: 定積分 / koko
こんにちは。
1と2は分かりました。ありがとうございました。

3なのですが，答えを今確認したところ(a)が(n,m+1),(b)が(n,m)でした。

元吉さんの解答で分かったはずでしたが…答えが間違ってるのでしょうか?よろしくお願いします。
No.16834 2012/02/05(Sun) 10:51:57
☆ Re: 定積分 / camusPlague
私も元吉さんと全く同じ結果になりました。

>…答えが間違ってるのでしょうか?…
２対１なので、あなたが間違っている可能性の方が大きいと思いますが、
どこが違っているかは、あなたの解法が不明なので、コメント不能です。
No.16835 2012/02/05(Sun) 16:07:01
☆ Re: 定積分 / koko
私の解答ではなく東進の解答によるものです。
計算過程は全く書いておらず，答えのみでした。
No.16836 2012/02/05(Sun) 17:16:07
☆ Re: 定積分 / camusPlague
私の解法

(3)(a)
x＝0の時、n+1
x≠0の時
{(1+x)^(n+1)-1}/{(1+x)-1}
={(1+x)^(n+1)-1}/x
=∑[k=0,n+1]{(n+1)Ck*(x^k)-1}/x
=∑[k=1,n+1]{(n+1)Ck*(x^k)}/x
=∑[k=1,n+1](n+1)Ck*x^(k-1)
=∑[m=0,n](n+1)C(m+1)*x^m【上の式のk-1をmと置いた】
この式のx=0の時の値は、n+1である。

答：(n+1)C(m+1)

(3(b)x≠0の時
Σ[k=0～ｎ]x^(n-k)(1+x)^k
=(x^n)Σ[k=0～ｎ](1+1/x)^k
=(x^n){(1+1/x)^(n+1)-1}/{(1+1/x)-1}
={x^(n+1)}{(1+1/x)^(n+1)-1}
=(1+x)^(n+1)-x^(n+1)
=∑[m=0,n+1](n+1)Cm*x^m-x^(n+1)
=∑[m=0,n](n+1)Cm*x^m
この式のx=0の時の値は、1である。

答：(n+1)Cm
No.16837 2012/02/05(Sun) 17:47:29
☆ Re: 定積分 / koko
camusPlagueさんありがとうございます。

東進に問い合わせてみます。
お二人ともどうもありがとうございました。
No.16838 2012/02/05(Sun) 22:45:18
★ (No Subject) / アイクリッド
半径aの円が1回転してできたサイクロイドがある
このサイクロイドがy=-x+1に接する時、半径aを求めよ。

～以下、自分の回答～
x=a(α-sinα)
y=a(1-cosα)　媒介変数αを用いてx,yは左のように表せる（０≦α≦２π）

接線の傾きが－1となるαを求めたい
dy/dx=-1　より、
sinα/(1-cosα)=-1　
α=0,3π/2

α=0のとき
x=y=0より、aがいかなる値をとったとしても直線に接する事はない

α=3π/2のとき
x=a(3π/2+1)
y=a　である

これが直線y=-x+1上にあればよいので、
a=-a(3π/2+1)+1
a=2/(3π+4)

正誤判定、間違っていればどこがいけないのか、説明不足である場合等指摘お願いします
No.16822 2012/02/01(Wed) 17:23:26
★ 大学入試問題 / さてら
問.
max(０≦x≦1;f(x))は０≦x≦1におけるf(x)の最大値を表すものとする。max(０≦x≦1;|x^3-x-a|)を最小にする実数aの値を求めよ。
答:a=1/(3√3)
問題に付属していた解説:
f(x)=x^3-xとy=-aのグラフを描いてみれば、a<1/3√3のときmax|x^3-x-a|=-a+｛2/(3√3)｝.a≧1/(3√3)のときmax|x^3-x-a|=a.ゆえに、a=1/(3√3).

以上の問を解説してください。「問題に付属していた解説」の、a<1/3√3、a≧1/(3√3)の場合分けの意味すらわかりません。「問題に付属していた解説」とは別の系統の説明でもかまいませんので、どうかよろしくお願いします。
なお、以上の問題は、早稲田大学理工学部入試問題(75年)のものです。
No.16820 2012/02/01(Wed) 11:41:06
☆ Re: 大学入試問題 / camusPlague
x^3-xの極値を与えるx=1/√3　と定義域の端点x=0,1における|x^3-x-a|の値
から絞り込めば、迷いが少なくて済みます。

h(x)=|x^3-x-a|　とおくと
max(0≦x≦1;|x^3-x-a|)＝max(h(0),h(1/√3),h(1))＝max(|a|,|a+2/(3√3)|)

-a≦0≦a+2/(3√3)　すなわち　-1/(3√3)≦a　なら　
max(|a|,|a+2/(3√3)|)＝|a+2/(3√3)|＝a+2/(3√3)
…a=-1/(3√3)　の場合に最小となる。

上記以外のa　すなわち　-1/(3√3)≧a　なら
max(|a|,|a+2/(3√3)|)＝|a|
…a=-1/(3√3)　の場合に最小となる。
答:a=-1/(3√3)

■
> 問題に付属していた解説:
> f(x)=x^3-xとy=-aのグラフを描いてみれば、
は、
# f(x)=x^3-xとy=aのグラフを描いてみれば、
の間違いのようです。

そのあとの説明は、|x^3-x-a|以外のaを-aに
置き換えれば、正解が得られると思います。
No.16821 2012/02/01(Wed) 17:10:47
★ 整数 / garo
自然数a,bの最大公約数をg,最小公倍数をlとする。
a+b+g+l=abとなる(a,b)の組をすべて求めよ。
No.16817 2012/01/30(Mon) 23:09:46
☆ Re: 整数 / らすかる
a=Ag, b=Bg とおくと l=ABg なので
Ag+Bg+g+ABg=ABg^2
A+B+1+AB=ABg … (1)
A≦AB, B≦AB, 1≦AB なので A+B+1+AB≦4AB ∴g≦4
また A+B+1+AB＞AB なので g＞1
よって 2≦g≦4
(1)を変形すると {(g-1)A-1}{(g-1)B-1}=g … (2)
g=2 のとき (2)から (A-1)(B-1)=2 なので
(A,B)=(2,3),(3,2) すなわち (a,b)=(4,6),(6,4)
g=3 のとき (2)から (2A-1)(2B-1)=3 なので
(A,B)=(1,2),(2,1) すなわち (a,b)=(3,6),(6,3)
g=4 のとき (2)から (3A-1)(3B-1)=4 なので
(A,B)=(1,1) すなわち (a,b)=(4,4)
よって答えは
(a,b)=(4,6),(6,4),(3,6),(6,3),(4,4)
No.16818 2012/01/30(Mon) 23:59:31
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