100923
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
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★ 変な連立一次方程式 / 結城比呂
変な連立方程式ですみませんが・・・

3x + 2y - z = 4x ･････?@
2x + 3y - z = 4y ･････?A
2x - y + 3z = 4z ･････?B

?A-?B 4y - 4z = 4y - 4z
?@より x = 2y - z

　この連立方程式は?A-?Bの結果より
y = z. ∴x = y = z
とすべきなのでしょうか。それとも?A-?Bではyとzの関係はわからないので、yとzは任意の実数をとれると見なし
y = s, z = t
として
x = 2s - t
とすべきなのでしょうか？
No.22933 2021/04/21(Wed) 20:23:06
☆ Re: 変な連立一次方程式 / らすかる
どちらも違います。

> この連立方程式は?A-?Bの結果より
> y = z. ∴x = y = z
> とすべきなのでしょうか。
?A-?Bの結果は恒等式ですから、この結果からy=zとは求まりません。

> それとも?A-?Bではyとzの関係はわからないので、yとzは任意の実数をとれると見なし
> y = s, z = t
> として
> x = 2s - t
> とすべきなのでしょうか？
?A-?Bではわかりませんが?@と?Aまたは?@と?Bから関係式が出ますので
yとzは任意の実数はとれません。

?A-?Bが恒等式なので?Aと?Bは同値、よって?Bは無視してよい。
?@-?Aから
x-y=4x-4y
3x=3y
∴x=y
?@+?A×2から
7x+8y-3z=4x+8y
3x-3z=0
3x=3z
∴x=z
よって解は
(x,y,z)=(t,t,t)　（tは任意の実数）
No.22934 2021/04/21(Wed) 22:32:32
☆ Re: 変な連立一次方程式 / 結城比呂
>?A-?Bの結果は恒等式ですから、この結果からy=zとは求まりません。

>?A-?Bが恒等式なので?Aと?Bは同値、よって?Bは無視してよい。

　ありがとうございます。すごく勉強になります。
No.22935 2021/04/21(Wed) 23:28:43
★ (No Subject) / あい
｜0 1 1|
｜0 0 1| に対してAⁿ,ただしn;自然数
｜0 0 0|

途中式含め、回答・解説お願いします
No.22931 2021/04/20(Tue) 21:05:13
☆ Re: / ヨッシー
Ａが
(0 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0)
という３×３の行列なのですね？

だとすると、
Ａ^2、Ａ^3 は求められますか？
No.22932 2021/04/21(Wed) 11:36:20
☆ Re: / あい
なるほど、解けました
ありがとうございました
No.22936 2021/04/22(Thu) 10:52:14
★ 写像 / ばあ
大学一年です。大学の授業で出された問題がわからないので教えてください。
問題は以下の通りです。

次を満たす写像f:N→Nを具体的に構成せよ。
(1)単射であるが、全射でない。
(2)全射であるが、単射でない。
(3)全射でも単射でもない。
(4)恒等写像以外で、全単射となる。

自然数の集合のN書き方がわからないのでNでの表記ですがすみません。
(1)はf(x)=2xかな？って思うのですが合ってますでしょうか？
他の2、3、4はさっぱりわからないです。
No.22930 2021/04/20(Tue) 18:26:26
☆ Re: 写像 / 教える君
http://proofcafe.org/k27c8/math/math/set_theory/page/surjective_and_injective/

全射と単射は上のサイトが分かりやすい。単純に考えればいいのです。(1)も含めて解説いたします。

(1)
f(n)=2n。それこそ1対1対応ですが、でも例えばf(n)=3とかf(n)=5となるnは存在しないでしょう。

(2)
f(n)=[(n/3)+1]([]はガウス記号)。それこそf(n)=2となるnはn=1,2があります。つまり1対1対応ではない。ちなみにガウス記号は高校でも出てきます。[n]と言われたらnを超えない最大の整数です。ただし、f(n)=k(kは自然数)となるnはn=3k-2,3k-1,3k-3(ただし3k-3はk≧2の時のみ)があります。全射ですね。

(3)
これは初等関数でいけますよ。f(n)=cos2nπです。それこそf(n)1に対応するnは全ての自然数だから単射でないし、cos2nπは常に1なので全射ですらないです。

(4)
色々やり方はあるのだろうけど、n≦2の時はf(n)=3-n,n≧3の時はf(n)=nとすれば既に恒等写像ではないよね。f(1)=2となるし。でも全単射だよね。

このようにテキトーに考えればいいのです。


(4)
No.22940 2021/04/28(Wed) 12:28:28
★ (No Subject) / あ
lim(n→∞）ⁿ√a＝１（a＞０）、lim(n→∞）aⁿ/n！＝０（a＝実数）を用いてよい
（１）lim(n→∞）ⁿ√（５ⁿ＋３ⁿ）
（２）lim(ｎ→∞）１０ⁿ/√ｎ！

解答・解説お願いします
No.22925 2021/04/15(Thu) 11:42:47
☆ Re: / らすかる
(1) lim[n→∞][n]√(5^n+3^n)=lim[n→∞]5[n]√{1^n+(3/5)^n}=5
(2) lim[n→∞]10^n/√(n!)=lim[n→∞]√(100^n/n!)=0
となります。
No.22926 2021/04/15(Thu) 15:30:05
☆ Re: / あ
(1)について、lim(n→∞)〔n〕√a=1(a＞0)を使って、はさみうちの法則を使うとどうなりますか？
No.22927 2021/04/15(Thu) 18:52:05
☆ Re: / らすかる
lim[n→∞][n]√(5^n)≦lim[n→∞][n]√(5^n+3^n)
≦lim[n→∞][n]√(5^n+5^n)
lim[n→∞]5≦lim[n→∞][n]√(5^n+3^n)≦lim[n→∞]5[n]√2
5≦lim[n→∞][n]√(5^n+3^n)≦5
でしょうか。
No.22928 2021/04/15(Thu) 23:04:04
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.22929 2021/04/16(Fri) 05:59:20
★ 線形独立と線形従属 / 結城比呂
　実数 t,s に対し
　　(t,s) ≠ (0,0) （t, s が共に0 にはならない）
という条件でベクトル
　　↑a=(-2t,t,s)
を定めるとき、t, s をうまく動かして 3 つの線形独立なベクトルを作ることは可能ですか？
　　↑a1=(-2,1,0)
　　↑a2=(2,-1,0)
　　↑a3=(0,0,1)
などいろいろやっているのですが、どうやっても線形従属になってしまいます。
線形独立なベクトルを作れないのならその理由が知りたいです。
線形代数は、まだ連立一次方程式のところです。
No.22922 2021/04/14(Wed) 22:16:24
☆ Re: 線形独立と線形従属 / らすかる
a1=(-2a,a,b), a2=(-2c,c,d), a3=(-2e,e,f)とすると
cea1=(-2ace,ace,bce)
aea2=(-2ace,ace,ade)
aca3=(-2ace,ace,acf)
cea1-aea2=(0,0,bce-ade)
cea1-aca3=(0,0,bce-acf)
(bce-acf)(cea1-aea2)=(0,0,(bce-acf)(bce-ade))
(bce-ade)(cea1-aca3)=(0,0,(bce-acf)(bce-ade))
(bce-acf)(cea1-aea2)-(bce-ade)(cea1-aca3)=(0,0,0)
整理して
(de-cf)a1+(af-be)a2+(bc-ad)a3=(0,0,0)
ですから、必ず線形従属となります。

というか、具体的に計算しなくても
(x,y,z)で常にy=-2xになるわけですから、実質(y,z)=(0,0)となればよく、変数が3つあれば当然線形従属です。
No.22923 2021/04/14(Wed) 22:41:34
☆ Re: 線形独立と線形従属 / 結城比呂
>(x,y,z)で常にy=-2xになるわけですから、実質(y,z)=(0,0)と
>なればよく、変数が3つあれば当然線形従属です。
　ああ、そうですね。でも計算のところもすごく参考になりました。
No.22924 2021/04/14(Wed) 23:02:16
★ (No Subject) / ぴょん
3.141<π<3.142であることを用いて、区間（π，π＋0.01）に含まれる実数aを１つ求めよ。

解説と解答例をお願い致しますm(__)m
No.22919 2021/04/12(Mon) 13:46:55
☆ Re: / らすかる
3.141＜πから3.142＜π+0.001＜π+0.01なので
π＜3.142＜π+0.01が成り立つ。よってa=3.142は条件を満たす。
No.22920 2021/04/12(Mon) 17:14:28
☆ Re: / ぴょん
ありがとうございました★
No.22921 2021/04/12(Mon) 21:10:39
★ １０人要る！ / 不夜城
ある恒星系の唯一の惑星には知的生命体が居住していました。
我々地球人から見ればこの知的生命体の生殖方法は独特でなんと性が６つもあります。
また、この知的生命体には遺伝的背景が多少異なる種族がありそれは全部で６種族となっています。
この惑星には大きめの衛星が２個あり複雑な軌道を描きながらもなんとか安定的に惑星の回りを巡っているのですけれども、こうした星の巡りとこの知的生命体の睡眠には地球人がまだ解明しきれていない相関関係があることがわかっています。それでも…判明していることを記します。

・６種族のうち（第１の衛星のめぐりにより）ランダムに選ばれた３種族は、全員、同期をとって睡眠してしまう。
・６つある性のうち（第２の衛星のめぐりにより）ランダムに選ばれた３つの性の者は、全員、同期をとって睡眠してしまう。
・睡眠してしまう３つの種族以外の種族であっても睡眠してしまう３つの性の者は睡眠してしまう。
・睡眠してしまう３つの性以外の性の者であっても睡眠してしまう３つの種族の者は睡眠してしまう。
・上記の衛星のめぐりに伴う生理条件で睡眠してしまう者以外は全員目覚めている。

さて。この惑星にある最大の図書館の警備員の人数には１０人が必要だそうです。治安がすこぶる良いので警備員のうち誰かひとりでも目覚めていれば良いのですが、そのために１０人要るのでした。

どの種族のどの性から何人づつ警備員として雇えばよいのかについて考えてみてください。

難しければ最初は１２人で考えてみてください。

また、９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがあることを示してください。
No.22914 2021/04/05(Mon) 00:10:54
☆ Re: １０人要る！ / Dengan kesaktian Indukmu
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1

縦軸に6つの種族、横軸に6つの性をプロットしました。 0 は雇わない、 1 は雇うものとします。
（寝てしまう警備員として）任意の3行およびに任意の3列を選択したときに、それらに含まれる警備員は常に 9 人以下となります。寝てしまう警備員が9人以下ですから、起きている警備員が１人以上いることになります。

> ９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがあることを示してください。

鳩ノ巣原理？
No.22915 2021/04/07(Wed) 17:05:32
☆ Re: １０人要る！ / らすかる

> ９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがある

人数が多い種族３つを選べば必ず６人以上含まれる(※)ので
残りは３人以下となり、「３つの性」で全員選択可能。

(※)
もし選んだ３種族の合計が５人以下とすると少なくとも１つの種族は１人しかいない。
残り４人以上で３種族なので選んでいない種族で２人以上の種族があり
「人数が多い種族を選ぶ」と矛盾。
No.22917 2021/04/07(Wed) 22:29:53
☆ Re: １０人要る！ / Dengan kesaktian Indukmu
らすかるさんによる解説を拝見いたしまして、
先だって私が回答した解を改善すべきと感じました。
次のようにすると本質が見えやすくなります。

0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
No.22918 2021/04/10(Sat) 19:56:05
★ 解説をお願いします。 / てー
問題で行き詰まっていますので，助言や解説をお願いします。

[問題]
t>0とする。座標平面上の点P(t,1)と直線l:y=ax(a>0)を考える。直線l上の点Qからx軸に下した垂線をQHとする。ただし，点Qは原点O以外の点とする。このとき，点Pに対して，PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるように直線lの傾きaを決める。

(1)　aをtを用いて表せ。
(2)　PQ=QHを満たす直線l上の点Qの座標をtを用いて表せ。
(3)　(2)の点Qに対して，△OQHの面積をSとする。tがt>0の範囲を動くとき，Sの最小値とそのときの点Qの座標を求めよ。

点Hのx座標をsとおいて，sについての２次方程式を作りました。PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるためにはこの２次方程式が重解をもつことであるから，判別式を計算して，
a=-t+√(1+t^2) と出しました。また，このとき，s=√(1+t^2) となったので，点Qの座標が
(√(1+t^2)，1+t^2 - t√(1+t^2))と計算できました。

ただ，このまま，(3)を解こうとしても出てくる面積Sが単調なグラフとなるため，最小値を持たないようになりました。どこが間違っているのかがわからないため，解説をお願いします。
No.22912 2021/03/10(Wed) 12:06:55
☆ Re: 解説をお願いします。 / てー
すいません。判別式で計算ミスが見つかったので，やり直してみます。すいませんでした。
No.22913 2021/03/10(Wed) 12:54:57
★ (No Subject) / ジョン
２次の正方行列AがA^2-3A+2E=0,A≠kEｗみたしている。A-pEの逆行列が存在しないような実数pの値を求めよ。

p=1,2となっています。どのように導くのか途中式ををよろしくお願いします。
No.22910 2021/03/01(Mon) 09:51:15
☆ Re: / ヨッシー
　Ａ^2−３Ａ＋２Ｅ＝０
より、
　(Ａ−Ｅ)(Ａ−２Ｅ)＝０
ここで、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列があれば、それを、
左ないし右から掛けて、
　Ａ−２Ｅ＝０　または　Ａ−Ｅ＝０
となり、Ａ≠kＥ に矛盾します。
よって、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列はなく、ｐ＝１，２　は条件を満たします。

それ以外のｐについて、
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝Ａ^2−３Ａ−(p^2−3p)Ｅ
Ａ^2−３Ａ＝−２Ｅ　より
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝−(p^2−3p＋2)Ｅ
ｐ≠１，２ より p^2−3p＋2≠０
よって、
　Ａ−pＥ の逆行列として、−(Ａ＋(p−3)Ｅ)/(p^2−3p＋2)
が存在します。

よって、条件を満たすのは　ｐ＝１，２ のみ。
No.22911 2021/03/01(Mon) 21:33:07
★ A Counterfeit Coin Puzzle / ktakada
Given a two pan fair balance and 15 identically looking coins out of which two coins may be defective. How can we trace which coins, if any, are odd two and also determine whether there are lighter or heavier in 6 trials in the worst case?

よろしくおねがいします
No.22909 2021/01/21(Thu) 22:23:52
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