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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ 解説をお願いします。 / てー
問題で行き詰まっていますので，助言や解説をお願いします。

[問題]
t>0とする。座標平面上の点P(t,1)と直線l:y=ax(a>0)を考える。直線l上の点Qからx軸に下した垂線をQHとする。ただし，点Qは原点O以外の点とする。このとき，点Pに対して，PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるように直線lの傾きaを決める。

(1)　aをtを用いて表せ。
(2)　PQ=QHを満たす直線l上の点Qの座標をtを用いて表せ。
(3)　(2)の点Qに対して，△OQHの面積をSとする。tがt>0の範囲を動くとき，Sの最小値とそのときの点Qの座標を求めよ。

点Hのx座標をsとおいて，sについての２次方程式を作りました。PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるためにはこの２次方程式が重解をもつことであるから，判別式を計算して，
a=-t+√(1+t^2) と出しました。また，このとき，s=√(1+t^2) となったので，点Qの座標が
(√(1+t^2)，1+t^2 - t√(1+t^2))と計算できました。

ただ，このまま，(3)を解こうとしても出てくる面積Sが単調なグラフとなるため，最小値を持たないようになりました。どこが間違っているのかがわからないため，解説をお願いします。
No.22912 2021/03/10(Wed) 12:06:55
☆ Re: 解説をお願いします。 / てー
すいません。判別式で計算ミスが見つかったので，やり直してみます。すいませんでした。
No.22913 2021/03/10(Wed) 12:54:57
★ (No Subject) / ジョン
２次の正方行列AがA^2-3A+2E=0,A≠kEｗみたしている。A-pEの逆行列が存在しないような実数pの値を求めよ。

p=1,2となっています。どのように導くのか途中式ををよろしくお願いします。
No.22910 2021/03/01(Mon) 09:51:15
☆ Re: / ヨッシー
　Ａ^2−３Ａ＋２Ｅ＝０
より、
　(Ａ−Ｅ)(Ａ−２Ｅ)＝０
ここで、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列があれば、それを、
左ないし右から掛けて、
　Ａ−２Ｅ＝０　または　Ａ−Ｅ＝０
となり、Ａ≠kＥ に矛盾します。
よって、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列はなく、ｐ＝１，２　は条件を満たします。

それ以外のｐについて、
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝Ａ^2−３Ａ−(p^2−3p)Ｅ
Ａ^2−３Ａ＝−２Ｅ　より
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝−(p^2−3p＋2)Ｅ
ｐ≠１，２ より p^2−3p＋2≠０
よって、
　Ａ−pＥ の逆行列として、−(Ａ＋(p−3)Ｅ)/(p^2−3p＋2)
が存在します。

よって、条件を満たすのは　ｐ＝１，２ のみ。
No.22911 2021/03/01(Mon) 21:33:07
★ A Counterfeit Coin Puzzle / ktakada
Given a two pan fair balance and 15 identically looking coins out of which two coins may be defective. How can we trace which coins, if any, are odd two and also determine whether there are lighter or heavier in 6 trials in the worst case?

よろしくおねがいします
No.22909 2021/01/21(Thu) 22:23:52
★ 三角形と円の関係について / 寝屋川のムウマ
y=ax^2の放物線のグラフとx^2+(y-a)^2=r^2のグラフがあります。
この時、交点はどことどこになります。
No.22908 2021/01/16(Sat) 17:14:27
★ 大学数学 重積分 / chatty0811
(1)∫∫D (2x + 3y)dxdy,D:0≤x≤1,2≤y≤4
(2)∫∫D xdxdy,D:y≤x≤3,0≤y≤3
(3)∫∫D sinxdxdy,D:0≤x≤π,0≤y≤sinx
(4)∫∫D 1/{(x−1)(y−2)}dxdy,Dは(2,3),(3,3),(3,6),(2,6)を頂点とする長方形の周および内部
(5)∫∫D (1+1/x)^2dxdy,Dは(2,1),(3,1),(3,2)を頂点とする三角形の周および内部
(6)∫∫D e^(2x+y+1)dxdy,D:x≥0,y≥0,x/2+y/4≤1
(7)∫∫D (1−x−2y)dxdy,Dは３直線y=x,x=0,y=−2x+3に囲まれた三角形の周および内部
(8)∫∫D (x^2+y^2)dxdy,D:1≤x^2+y^2≤4
(9)∫∫D xdxdy,D:x^2+y^2≤1,0≤y≤2x
(10)∫∫D e^(−x^2−y^2/9)dxdy,D:x≥0,y≥0
No.22907 2021/01/09(Sat) 02:59:14
★ 微分方程式 / かず
(m+mx)dv/dt=T-kv^2

この式からvがv0からv1まで変わるときの移動距離は、

Sとすると、
S=(m+mx)/2k　×　log　vo^2-T/k /v1^2-T/k

になることが理解できません。
No.22906 2021/01/07(Thu) 16:04:48
★ 確率 / まい
大学1年の者です。お願いします！

ランダムに配置された4と5の数字の列がある。45が最初に現れるまでの数字の数をXとし、55が最初に現れるまでの数字の数をYとする。XとYの数の期待値の大きさの関係は何？

問題が分かりにくいのですが、例えば、4444445554だったら45が出るまでの数の大きさ、X＝5のような感じです。
No.22905 2020/12/31(Thu) 20:36:00
★ (No Subject) / はるか
iを個人を識別するための添え字とする。Y iは1か0しかとらないダミー変数とする。Y i＝1となる確率をpiとする。x iを連続量の独立変数とし、ロジスティック回帰モデルを、
pi＝1/1+exp(-(a0+a1xi))
とする。
jを選択肢を識別するための添字とし、kを独立変数を識別するための添字とする。個人iの選択肢jの選択確率をpijとする。xijkを個人iにおける。選択肢jよk番目の独立変数を表すものとする。さらにβkは全ての個人並びに選択肢において共通のパラメータとし、選択肢jの確定的効用を、
Uji=β1xij1+β2xij2
とする。
xij1を、選択肢1のとき0、選択肢2のとき1もなるダミー変数とし、xij2を、連続量の独立変数とし、選択肢1の選択確率はロジットモデルに従うと仮定し、
pi1=exp(Ui1)/exp(Ui1)+exp(Ui2)
と表す。ここで選択肢は2つのみとする。
piとpi1を比較し相違点を整理して説明しなさい。
No.22904 2020/12/29(Tue) 16:00:57
★ ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
[ ]をガウス記号とします。
正の実数 a,b,c について
[ (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ]
を求めよという問題があります。答えは 1 なのだそうです。 何かスッキリした方法はありますでしょうか。
No.22900 2020/12/23(Wed) 15:27:58
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) > (a/(a+b+c))+(b/(a+b+c))+(c/(a+b+c))=((a+b+c)/(a+b+c))=1
ですから
1<(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
はわかります。

(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))<2
を示したいのですが迷路に入ってしまっています。
No.22901 2020/12/23(Wed) 15:40:51
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / らすかる
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)
={a(b+c)(c+a)+b(c+a)(a+b)+c(a+b)(b+c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
={2(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=1+(a^2b+b^2c+c^2a+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=2-(ab^2+bc^2+ca^2+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
なので1より大きく2より小さい。
No.22902 2020/12/23(Wed) 20:34:14
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
本当にありがとうございます、らすかる様。

教えてくださいました式から以下に気がつきました。

(a^2*b+b^2*c+c^2*a+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a))+(a*b^2+b*c^2+c*a^2+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a)) = 1

気持ちとしては対称性の片割れどうしを加えているように。

これをヒントに以下のように考えてみました。

既に示しました通りに
1 < (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...?@
がいえます。同様にして
1 < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a)) ...?A
がいえます。
?Aの両辺に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
を加えますと
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a))+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...?C
?Cの右辺は 3 に等しいので
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 3
故に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 2
を示すことができました。

対称性の片割れを意識することで解決できました。

らすかる様、有り難うございました。
No.22903 2020/12/24(Thu) 09:11:17
★ メダルを量る / 今日が誕生日な人です
今23:24の時刻ですが今日が誕生日の者です。

某所でみつけたパズルです。すごく面白く思いましたのでひっそりとこちらで布教します。

タイプ１のメダルの重さは 9.99 グラムです。
タイプ２のメダルの重さは 10 グラムです。
タイプ３のメダルの重さは 10.01 グラムです。
これらのメダルのタイプを識別するためにはその重量以外には手掛かりがないものとします。
あなたの友人が１５個の互いに見分けのつかない箱を用意します。
あなたの友人はそのうち５個の箱には１箱あたり６０枚のタイプ１のメダルを入れます。
あなたの友人はそのうち５個の箱には１箱あたり６０枚のタイプ２のメダルを入れます。
あなたの友人はそのうち５個の箱には１箱あたり６０枚のタイプ３のメダルを入れます。
あなたの友人はあなたに見えないようにこれら１５個の箱の中からランダムに５個の箱を選び他の１０個の箱を隠してしまいます。こうして選ばれた５個の箱があなたの目の前に置かれました。
さて、0.01グラム単位で量ることができる重量計があります。この重量計を１回だけ使って、５個ある箱のそれぞれに入っているメダルのタイプを確定する方法を見いだしてください。

意地悪ヒント：仮に１箱あたり８１枚のメダルが入っていたとしたならばこの問題は易しくなります。３進法を応用すればよいからです。
No.22897 2020/12/17(Thu) 23:23:49
☆ Re: メダルを量る / らすかる
例えば5個の箱から順に19枚、52枚、57枚、59枚、60枚取り出して量れば
243通りのすべての重さが異なりますね。
No.22898 2020/12/18(Fri) 00:54:38
☆ Re: メダルを量る / 昨日が誕生日な人です
ありがとうございます、らすかるさん。

{19,52,57,59,60}
の組で題意を満たしていることを下記のように確認しました。

(p*x^(19)+p^(-1)*x^(-19)+1)*(q*x^(52)+q^(-1)*x^(-52)+1)*(r*x^(57)+r^(-1)*x^(-57)+1)*(s*x^(59)+s^(-1)*x^(-59)+1)*(t*x^(60)+t^(-1)*x^(-60)+1) = p*q*r*s*t*x^247+q*r*s*t*x^228+(q*r*s*t*x^209)/p+p*r*s*t*x^195+p*q*s*t*x^190+p*q*r*t*x^188+p*q*r*s*x^187+r*s*t*x^176+q*s*t*x^171+q*r*t*x^169+q*r*s*x^168+(r*s*t*x^157)/p+(q*s*t*x^152)/p+(q*r*t*x^150)/p+(q*r*s*x^149)/p+(p*r*s*t*x^143)/q+p*s*t*x^138+p*r*t*x^136+p*r*s*x^135+(p*q*s*t*x^133)/r+p*q*t*x^131+p*q*s*x^130+(p*q*r*t*x^129)/s+p*q*r*x^128+(p*q*r*s*x^127)/t+(r*s*t*x^124)/q+s*t*x^119+r*t*x^117+r*s*x^116+(q*s*t*x^114)/r+q*t*x^112+q*s*x^111+(q*r*t*x^110)/s+q*r*x^109+(q*r*s*x^108)/t+(r*s*t*x^105)/(p*q)+(s*t*x^100)/p+(r*t*x^98)/p+(r*s*x^97)/p+(q*s*t*x^95)/(p*r)+(q*t*x^93)/p+(q*s*x^92)/p+(q*r*t*x^91)/(p*s)+(q*r*x^90)/p+(q*r*s*x^89)/(p*t)+(p*s*t*x^86)/q+(p*r*t*x^84)/q+(p*r*s*x^83)/q+(p*s*t*x^81)/r+p*t*x^79+p*s*x^78+(p*r*t*x^77)/s+p*r*x^76+(p*r*s*x^75)/t+(p*q*t*x^74)/r+(p*q*s*x^73)/r+(p*q*t*x^72)/s+p*q*x^71+(p*q*s*x^70)/t+(p*q*r*x^69)/s+(p*q*r*x^68)/t+(s*t*x^67)/q+(r*t*x^65)/q+(r*s*x^64)/q+(s*t*x^62)/r+t*x^60+s*x^59+(r*t*x^58)/s+r*x^57+(r*s*x^56)/t+(q*t*x^55)/r+(q*s*x^54)/r+(q*t*x^53)/s+q*x^52+(q*s*x^51)/t+(q*r*x^50)/s+(q*r*x^49)/t+(s*t*x^48)/(p*q)+(r*t*x^46)/(p*q)+(r*s*x^45)/(p*q)+(s*t*x^43)/(p*r)+(t*x^41)/p+(s*x^40)/p+(r*t*x^39)/(p*s)+(r*x^38)/p+(r*s*x^37)/(p*t)+(q*t*x^36)/(p*r)+(q*s*x^35)/(p*r)+(q*t*x^34)/(p*s)+(q*x^33)/p+(q*s*x^32)/(p*t)+(q*r*x^31)/(p*s)+(q*r*x^30)/(p*t)+(p*s*t*x^29)/(q*r)+(p*t*x^27)/q+(p*s*x^26)/q+(p*r*t*x^25)/(q*s)+(p*r*x^24)/q+(p*r*s*x^23)/(q*t)+(p*t*x^22)/r+(p*s*x^21)/r+(p*t*x^20)/s+p*x^19+(p*s*x^18)/t+(p*r*x^17)/s+(p*r*x^16)/t+(p*q*t*x^15)/(r*s)+(p*q*x^14)/r+(p*q*s*x^13)/(r*t)+(p*q*x^12)/s+(p*q*x^11)/t+(s*t*x^10)/(q*r)+(p*q*r*x^9)/(s*t)+(t*x^8)/q+(s*x^7)/q+(r*t*x^6)/(q*s)+(r*x^5)/q+(r*s*x^4)/(q*t)+(t*x^3)/r+(s*x^2)/r+(t*x^1)/s+x^0+s/(t*x^1)+r/(s*x^2)+r/(t*x^3)+(q*t)/(r*s*x^4)+q/(r*x^5)+(q*s)/(r*t*x^6)+q/(s*x^7)+q/(t*x^8)+(s*t)/(p*q*r*x^9)+(q*r)/(s*t*x^10)+t/(p*q*x^11)+s/(p*q*x^12)+(r*t)/(p*q*s*x^13)+r/(p*q*x^14)+(r*s)/(p*q*t*x^15)+t/(p*r*x^16)+s/(p*r*x^17)+t/(p*s*x^18)+1/(p*x^19)+s/(p*t*x^20)+r/(p*s*x^21)+r/(p*t*x^22)+(q*t)/(p*r*s*x^23)+q/(p*r*x^24)+(q*s)/(p*r*t*x^25)+q/(p*s*x^26)+q/(p*t*x^27)+(q*r)/(p*s*t*x^29)+(p*t)/(q*r*x^30)+(p*s)/(q*r*x^31)+(p*t)/(q*s*x^32)+p/(q*x^33)+(p*s)/(q*t*x^34)+(p*r)/(q*s*x^35)+(p*r)/(q*t*x^36)+(p*t)/(r*s*x^37)+p/(r*x^38)+(p*s)/(r*t*x^39)+p/(s*x^40)+p/(t*x^41)+(p*r)/(s*t*x^43)+(p*q)/(r*s*x^45)+(p*q)/(r*t*x^46)+(p*q)/(s*t*x^48)+t/(q*r*x^49)+s/(q*r*x^50)+t/(q*s*x^51)+1/(q*x^52)+s/(q*t*x^53)+r/(q*s*x^54)+r/(q*t*x^55)+t/(r*s*x^56)+1/(r*x^57)+s/(r*t*x^58)+1/(s*x^59)+1/(t*x^60)+r/(s*t*x^62)+q/(r*s*x^64)+q/(r*t*x^65)+q/(s*t*x^67)+t/(p*q*r*x^68)+s/(p*q*r*x^69)+t/(p*q*s*x^70)+1/(p*q*x^71)+s/(p*q*t*x^72)+r/(p*q*s*x^73)+r/(p*q*t*x^74)+t/(p*r*s*x^75)+1/(p*r*x^76)+s/(p*r*t*x^77)+1/(p*s*x^78)+1/(p*t*x^79)+r/(p*s*t*x^81)+q/(p*r*s*x^83)+q/(p*r*t*x^84)+q/(p*s*t*x^86)+(p*t)/(q*r*s*x^89)+p/(q*r*x^90)+(p*s)/(q*r*t*x^91)+p/(q*s*x^92)+p/(q*t*x^93)+(p*r)/(q*s*t*x^95)+p/(r*s*x^97)+p/(r*t*x^98)+p/(s*t*x^100)+(p*q)/(r*s*t*x^105)+t/(q*r*s*x^108)+1/(q*r*x^109)+s/(q*r*t*x^110)+1/(q*s*x^111)+1/(q*t*x^112)+r/(q*s*t*x^114)+1/(r*s*x^116)+1/(r*t*x^117)+1/(s*t*x^119)+q/(r*s*t*x^124)+t/(p*q*r*s*x^127)+1/(p*q*r*x^128)+s/(p*q*r*t*x^129)+1/(p*q*s*x^130)+1/(p*q*t*x^131)+r/(p*q*s*t*x^133)+1/(p*r*s*x^135)+1/(p*r*t*x^136)+1/(p*s*t*x^138)+q/(p*r*s*t*x^143)+p/(q*r*s*x^149)+p/(q*r*t*x^150)+p/(q*s*t*x^152)+p/(r*s*t*x^157)+1/(q*r*s*x^168)+1/(q*r*t*x^169)+1/(q*s*t*x^171)+1/(r*s*t*x^176)+1/(p*q*r*s*x^187)+1/(p*q*r*t*x^188)+1/(p*q*s*t*x^190)+1/(p*r*s*t*x^195)+p/(q*r*s*t*x^209)+1/(q*r*s*t*x^228)+1/(p*q*r*s*t*x^247)


箱にp,q,r,s,tと名前をつけます。pから19個、qから52個、rから57個、sから59個、tから60個のメダルを取り出して計量します。 得られた重量をWとします。また、wを
w=(W-10*247)*100
とします。
先ほどのxについての展開式で
x^w
の項の係数で各箱に入っているメダルのタイプがわかります。たとえばw = -48
のときには該当する項は
((p*q)/(s*t))*x^(-48)
です。この場合には、10.01グラムのメダルが入っている箱がp,qで9.99グラムのメダルが入っている箱がs,tとなります。10グラムのメダルの入っている箱は残りのrとなります。
No.22899 2020/12/18(Fri) 13:49:38
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