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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
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★ １０人要る！ / 不夜城
ある恒星系の唯一の惑星には知的生命体が居住していました。
我々地球人から見ればこの知的生命体の生殖方法は独特でなんと性が６つもあります。
また、この知的生命体には遺伝的背景が多少異なる種族がありそれは全部で６種族となっています。
この惑星には大きめの衛星が２個あり複雑な軌道を描きながらもなんとか安定的に惑星の回りを巡っているのですけれども、こうした星の巡りとこの知的生命体の睡眠には地球人がまだ解明しきれていない相関関係があることがわかっています。それでも…判明していることを記します。

・６種族のうち（第１の衛星のめぐりにより）ランダムに選ばれた３種族は、全員、同期をとって睡眠してしまう。
・６つある性のうち（第２の衛星のめぐりにより）ランダムに選ばれた３つの性の者は、全員、同期をとって睡眠してしまう。
・睡眠してしまう３つの種族以外の種族であっても睡眠してしまう３つの性の者は睡眠してしまう。
・睡眠してしまう３つの性以外の性の者であっても睡眠してしまう３つの種族の者は睡眠してしまう。
・上記の衛星のめぐりに伴う生理条件で睡眠してしまう者以外は全員目覚めている。

さて。この惑星にある最大の図書館の警備員の人数には１０人が必要だそうです。治安がすこぶる良いので警備員のうち誰かひとりでも目覚めていれば良いのですが、そのために１０人要るのでした。

どの種族のどの性から何人づつ警備員として雇えばよいのかについて考えてみてください。

難しければ最初は１２人で考えてみてください。

また、９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがあることを示してください。
No.22914 2021/04/05(Mon) 00:10:54
☆ Re: １０人要る！ / Dengan kesaktian Indukmu
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1

縦軸に6つの種族、横軸に6つの性をプロットしました。 0 は雇わない、 1 は雇うものとします。
（寝てしまう警備員として）任意の3行およびに任意の3列を選択したときに、それらに含まれる警備員は常に 9 人以下となります。寝てしまう警備員が9人以下ですから、起きている警備員が１人以上いることになります。

> ９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがあることを示してください。

鳩ノ巣原理？
No.22915 2021/04/07(Wed) 17:05:32
☆ Re: １０人要る！ / らすかる

> ９人では足らずに全員が睡眠してしまうことがある

人数が多い種族３つを選べば必ず６人以上含まれる(※)ので
残りは３人以下となり、「３つの性」で全員選択可能。

(※)
もし選んだ３種族の合計が５人以下とすると少なくとも１つの種族は１人しかいない。
残り４人以上で３種族なので選んでいない種族で２人以上の種族があり
「人数が多い種族を選ぶ」と矛盾。
No.22917 2021/04/07(Wed) 22:29:53
☆ Re: １０人要る！ / Dengan kesaktian Indukmu
らすかるさんによる解説を拝見いたしまして、
先だって私が回答した解を改善すべきと感じました。
次のようにすると本質が見えやすくなります。

0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
No.22918 2021/04/10(Sat) 19:56:05
★ 解説をお願いします。 / てー
問題で行き詰まっていますので，助言や解説をお願いします。

[問題]
t>0とする。座標平面上の点P(t,1)と直線l:y=ax(a>0)を考える。直線l上の点Qからx軸に下した垂線をQHとする。ただし，点Qは原点O以外の点とする。このとき，点Pに対して，PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるように直線lの傾きaを決める。

(1)　aをtを用いて表せ。
(2)　PQ=QHを満たす直線l上の点Qの座標をtを用いて表せ。
(3)　(2)の点Qに対して，△OQHの面積をSとする。tがt>0の範囲を動くとき，Sの最小値とそのときの点Qの座標を求めよ。

点Hのx座標をsとおいて，sについての２次方程式を作りました。PQ=QHを満たす点Qはただ１つに定まるためにはこの２次方程式が重解をもつことであるから，判別式を計算して，
a=-t+√(1+t^2) と出しました。また，このとき，s=√(1+t^2) となったので，点Qの座標が
(√(1+t^2)，1+t^2 - t√(1+t^2))と計算できました。

ただ，このまま，(3)を解こうとしても出てくる面積Sが単調なグラフとなるため，最小値を持たないようになりました。どこが間違っているのかがわからないため，解説をお願いします。
No.22912 2021/03/10(Wed) 12:06:55
☆ Re: 解説をお願いします。 / てー
すいません。判別式で計算ミスが見つかったので，やり直してみます。すいませんでした。
No.22913 2021/03/10(Wed) 12:54:57
★ (No Subject) / ジョン
２次の正方行列AがA^2-3A+2E=0,A≠kEｗみたしている。A-pEの逆行列が存在しないような実数pの値を求めよ。

p=1,2となっています。どのように導くのか途中式ををよろしくお願いします。
No.22910 2021/03/01(Mon) 09:51:15
☆ Re: / ヨッシー
　Ａ^2−３Ａ＋２Ｅ＝０
より、
　(Ａ−Ｅ)(Ａ−２Ｅ)＝０
ここで、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列があれば、それを、
左ないし右から掛けて、
　Ａ−２Ｅ＝０　または　Ａ−Ｅ＝０
となり、Ａ≠kＥ に矛盾します。
よって、Ａ−ＥやＡ−２Ｅに逆行列はなく、ｐ＝１，２　は条件を満たします。

それ以外のｐについて、
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝Ａ^2−３Ａ−(p^2−3p)Ｅ
Ａ^2−３Ａ＝−２Ｅ　より
　(Ａ−pＥ)(Ａ＋(p−3)Ｅ)＝−(p^2−3p＋2)Ｅ
ｐ≠１，２ より p^2−3p＋2≠０
よって、
　Ａ−pＥ の逆行列として、−(Ａ＋(p−3)Ｅ)/(p^2−3p＋2)
が存在します。

よって、条件を満たすのは　ｐ＝１，２ のみ。
No.22911 2021/03/01(Mon) 21:33:07
★ A Counterfeit Coin Puzzle / ktakada
Given a two pan fair balance and 15 identically looking coins out of which two coins may be defective. How can we trace which coins, if any, are odd two and also determine whether there are lighter or heavier in 6 trials in the worst case?

よろしくおねがいします
No.22909 2021/01/21(Thu) 22:23:52
★ 三角形と円の関係について / 寝屋川のムウマ
y=ax^2の放物線のグラフとx^2+(y-a)^2=r^2のグラフがあります。
この時、交点はどことどこになります。
No.22908 2021/01/16(Sat) 17:14:27
★ 大学数学 重積分 / chatty0811
(1)∫∫D (2x + 3y)dxdy,D:0≤x≤1,2≤y≤4
(2)∫∫D xdxdy,D:y≤x≤3,0≤y≤3
(3)∫∫D sinxdxdy,D:0≤x≤π,0≤y≤sinx
(4)∫∫D 1/{(x−1)(y−2)}dxdy,Dは(2,3),(3,3),(3,6),(2,6)を頂点とする長方形の周および内部
(5)∫∫D (1+1/x)^2dxdy,Dは(2,1),(3,1),(3,2)を頂点とする三角形の周および内部
(6)∫∫D e^(2x+y+1)dxdy,D:x≥0,y≥0,x/2+y/4≤1
(7)∫∫D (1−x−2y)dxdy,Dは３直線y=x,x=0,y=−2x+3に囲まれた三角形の周および内部
(8)∫∫D (x^2+y^2)dxdy,D:1≤x^2+y^2≤4
(9)∫∫D xdxdy,D:x^2+y^2≤1,0≤y≤2x
(10)∫∫D e^(−x^2−y^2/9)dxdy,D:x≥0,y≥0
No.22907 2021/01/09(Sat) 02:59:14
★ 微分方程式 / かず
(m+mx)dv/dt=T-kv^2

この式からvがv0からv1まで変わるときの移動距離は、

Sとすると、
S=(m+mx)/2k　×　log　vo^2-T/k /v1^2-T/k

になることが理解できません。
No.22906 2021/01/07(Thu) 16:04:48
★ 確率 / まい
大学1年の者です。お願いします！

ランダムに配置された4と5の数字の列がある。45が最初に現れるまでの数字の数をXとし、55が最初に現れるまでの数字の数をYとする。XとYの数の期待値の大きさの関係は何？

問題が分かりにくいのですが、例えば、4444445554だったら45が出るまでの数の大きさ、X＝5のような感じです。
No.22905 2020/12/31(Thu) 20:36:00
★ (No Subject) / はるか
iを個人を識別するための添え字とする。Y iは1か0しかとらないダミー変数とする。Y i＝1となる確率をpiとする。x iを連続量の独立変数とし、ロジスティック回帰モデルを、
pi＝1/1+exp(-(a0+a1xi))
とする。
jを選択肢を識別するための添字とし、kを独立変数を識別するための添字とする。個人iの選択肢jの選択確率をpijとする。xijkを個人iにおける。選択肢jよk番目の独立変数を表すものとする。さらにβkは全ての個人並びに選択肢において共通のパラメータとし、選択肢jの確定的効用を、
Uji=β1xij1+β2xij2
とする。
xij1を、選択肢1のとき0、選択肢2のとき1もなるダミー変数とし、xij2を、連続量の独立変数とし、選択肢1の選択確率はロジットモデルに従うと仮定し、
pi1=exp(Ui1)/exp(Ui1)+exp(Ui2)
と表す。ここで選択肢は2つのみとする。
piとpi1を比較し相違点を整理して説明しなさい。
No.22904 2020/12/29(Tue) 16:00:57
★ ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
[ ]をガウス記号とします。
正の実数 a,b,c について
[ (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ]
を求めよという問題があります。答えは 1 なのだそうです。 何かスッキリした方法はありますでしょうか。
No.22900 2020/12/23(Wed) 15:27:58
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) > (a/(a+b+c))+(b/(a+b+c))+(c/(a+b+c))=((a+b+c)/(a+b+c))=1
ですから
1<(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
はわかります。

(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))<2
を示したいのですが迷路に入ってしまっています。
No.22901 2020/12/23(Wed) 15:40:51
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / らすかる
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)
={a(b+c)(c+a)+b(c+a)(a+b)+c(a+b)(b+c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
={2(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=1+(a^2b+b^2c+c^2a+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=2-(ab^2+bc^2+ca^2+abc)/{(a+b)(b+c)(c+a)}
なので1より大きく2より小さい。
No.22902 2020/12/23(Wed) 20:34:14
☆ Re: ３つの数による式の値の整数部 / はまちぶり
本当にありがとうございます、らすかる様。

教えてくださいました式から以下に気がつきました。

(a^2*b+b^2*c+c^2*a+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a))+(a*b^2+b*c^2+c*a^2+a*b*c)/((a+b)*(b+c)*(c+a)) = 1

気持ちとしては対称性の片割れどうしを加えているように。

これをヒントに以下のように考えてみました。

既に示しました通りに
1 < (a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...?@
がいえます。同様にして
1 < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a)) ...?A
がいえます。
?Aの両辺に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a))
を加えますと
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < (b/(a+b))+(c/(b+c))+(a/(c+a))+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) ...?C
?Cの右辺は 3 に等しいので
1+(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 3
故に
(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(c+a)) < 2
を示すことができました。

対称性の片割れを意識することで解決できました。

らすかる様、有り難うございました。
No.22903 2020/12/24(Thu) 09:11:17
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