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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
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数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ 数列、ガウス記号 / 野菜
連投すみません。

[x]で「xを超えない最大の整数」を表す。
正の整数からなる数列{f(n)}で、
［f(m)/f(n)］=[m/n]をみたすものをすべて求めよ。

nを固定して、m＜nのとき、[m/n]=0であることから、f(m)＜f(n)
よって数列{f(n)}は増加数列であるくらいしか分かりません。
とりあえずf(n)＝an (aは任意の正の整数)が解になるのは分かりますが示せず、それ以外にあるのかも分かりませんでした。
よろしくお願いします。
No.22891 2020/12/14(Mon) 15:19:10
☆ Re: 数列、ガウス記号 / らすかる
[f(uv)/f(u)]=[uv/u]=v から
v≦f(uv)/f(u)＜v+1
よって
vf(u)≦f(uv)＜(v+1)f(u)
辺々整数だから
vf(u)≦f(uv)≦(v+1)f(u)-1
すなわち
vf(u)≦f(uv)≦vf(u)+(f(u)-1) … (1)
(1)でu=1,v=pとすると
pf(1)≦f(p)≦pf(1)+(f(1)-1) … (2)
(1)でu=1,v=pqとすると
pqf(1)≦f(pq)≦pqf(1)+(f(1)-1) … (3)
(1)でu=p,v=qとすると
qf(p)≦f(pq)≦qf(p)+(f(p)-1) … (4)
(4)の左側の不等号から
f(p)≦f(pq)/q … (5)
(3)の右側の不等号から
f(pq)/q≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1) … (6)
(5)と(6)から
f(p)≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1)
これと(2)の左側の不等号を合わせて
pf(1)≦f(p)≦pf(1)+(1/q)(f(1)-1)
これは任意のqに対して成り立たなければならないので
f(p)=pf(1)
従って条件を満たす数列は
f(n)=an（aは任意の正整数）
No.22892 2020/12/14(Mon) 16:46:01
☆ Re: 数列、ガウス記号 / 野菜
どうもありがとうございます。
たいへん納得しました。f(n)=an（aは任意の正整数）を予想して、そこからf(p)=pf(1)を示す方向に持っていくということなのでしょうか。自分には思いつきそうにない解法で、とても参考になりました。
No.22893 2020/12/14(Mon) 17:08:50
☆ Re: 数列、ガウス記号 / らすかる
f(p)はf(1)のp倍以上ですが、f(p)＞pf(1)と仮定した場合に
ひょっとして「f(p)とf(pq)の関係」と「f(1)とf(pq)の関係」に矛盾が生じるのではないかと思ってそれぞれの不等式をとりあえず立てて、その式をいじって何とかならないかと考えました。
No.22894 2020/12/14(Mon) 17:30:19
☆ Re: 数列、ガウス記号 / 野菜
なるほど、どうもありがとうございます。
No.22895 2020/12/16(Wed) 07:13:00
★ 高校1年 数と式 / 野菜
x+(2^(1/3))y+(4^(1/3))z=0 をみたす整数x,y,zをすべて求めよ

答えは(0,0,0)のみだと思いますが、2^(1/3)、4^(1/3)が無理数であることはすぐに示せると思いますので、x,y,zいずれかが0になる場合は残りも0になるといえます。
どれも0でないと仮定して背理法を用いて示そうとしたのですが、うまくいきません(移行して両辺を三乗しても立方根が消えないので)。
よろしくお願いします。
No.22888 2020/12/10(Thu) 21:54:00
☆ Re: 高校1年 数と式 / らすかる
x,y,zが互いに素とします。
x+(2^(1/3))y+(4^(1/3))z=0
(2^(1/3))y+(4^(1/3))z=-x
2y^3+4z^3+6yz{(2^(1/3))y+(4^(1/3))z}=-x^3
2y^3+4z^3-6xyz=-x^3
左辺は偶数だからxは偶数
x=2Xとおいて整理すると
4X^3+2z^3-6Xyz=-y^3
左辺は偶数だからyは偶数
y=2Yとおいて整理すると
2X^3+4Y^3-6XYz=-z^3
左辺は偶数だからzは偶数となり仮定と矛盾。
No.22889 2020/12/10(Thu) 23:59:20
☆ Re: 高校1年 数と式 / 野菜
どうもありがとうございます。納得しました。
No.22890 2020/12/11(Fri) 03:27:51
★ 大学課題 / み
f(x,y)=e ^ x−y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. f(x,y)=e ^ x−y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. (3) f (x, y) =e ^ x−y を (x, y) = (1, 0) のまわりで 2 次の項までテイラー展開せよ.
この問題がわかりません。どなたかお願いします
No.22887 2020/12/03(Thu) 15:08:13
★ 畳み込みからのフーリエ係数について / るび
波形h(t)と等間隔インパルス列x(t)=Σ[n=-∞,∞]δ(t-2nT)の畳み込みからフーリエ級数の係数an、bnを求めよ。
ただし、h(t)=-(A/T) t + A (0<=t<=T)
(A/T) t + A(-T<=t<=0)
である。
No.22886 2020/12/03(Thu) 08:20:13
★ 陰関数 / さくら
実数 x, y, z に対して, 関数 f(x, y, z) および g(x, y, z) を
f(x, y, z) = x + y + z,
g(x, y, z) =e^x + e^2y + e^3z − 3
で定義する. このとき陰関数定理により,
x = 0 の近傍で定義された滑らかな関数
y = φ(x)
および z = ψ(x) が存在して
f(x, φ(x), ψ(x))=
g(x, φ(x), ψ(x))= 0, φ(0) = ψ(0) = 0
が成り立つ. 以下の問に答えよ.
(1) 上の記述において陰関数定理が用いられているが, その定理を適用するための仮定が
満たされていることを説明せよ.
(2) φ′(0) および ψ′(0) を求めよ.
(3) φ および ψ を x = 0 のまわりで有限マクローリン展開して
φ(x) = a0 + a1x + a2x^2 +δφ(x)x^2
, limx→0δφ(x) = 0
ψ(x) = b0 + b1x + b2x^2 + δψ(x)x^2
, limx→0δψ(x) = 0
とするとき, 係数 a0, a1, a2, b0, b1, b2 の値を求めよ.

一番からわかりません...。二変数でしかやってこなかったので三変数でのやり方が全くわからないです。一問だけでも教えてくださると助かります！
No.22882 2020/11/19(Thu) 02:03:44
★ 高校1年 集合、論理 / 野菜
以下、横の辺どうし、縦の辺どうしがお互いに平行な長方形のみを考える。n≧2を自然数とする。

n個の長方形があり、どの2つの長方形が重なっている部分の面積も0でないとき、全ての長方形が重なっている部分の面積が0でないことを示せ。

帰納法で考えるのだと思いますが、長方形が凸多角形であることから、k枚の題意をみたす長方形たちに対し、k+1枚目の長方形を、「全ての長方形が重なっている部分」を避けて、全ての長方形と交わるように配置することは不可能である、という感じで説明しようとしましたが、説得力のあるうまい方法が思いつきません。
なにとぞよろしくお願いいたします。
No.22879 2020/11/17(Tue) 14:16:38
☆ Re: 高校1年 集合、論理 / らすかる
長方形と長方形が重なっているとき、重なっている領域の形は長方形。
（x方向とy方向を分けて考えれば証明は簡単）
従って、k個すべての長方形が重なっている部分があればそれも長方形。
このときすべての長方形が重なっている部分がa≦x≦bかつc≦y≦dであったとすると、
（※a≦x≦bのように書くときa＜bとする。以降同じ。）
x方向がa≦x≦eである長方形が少なくとも一つあり(これを長方形1とする)、
x方向がf≦x≦bである長方形が少なくとも一つあり(これを長方形2とする)、
y方向がc≦y≦gである長方形が少なくとも一つあり(これを長方形3とする)、
y方向がh≦y≦dである長方形が少なくとも一つある(これを長方形4とする)。
（一つもなければ重なっている部分の端がそのようになることがあり得ないため）
これに新しくi≦x≦jかつk≦y≦lである長方形を重ねるとき、もし
j≦aとすると長方形1と重ならず、
b≦iとすると長方形2と重ならず、
l≦cとすると長方形3と重ならず、
d≦kとすると長方形4と重ならないので、
「どの2つの長方形とも重なる」ためには
a＜jかつi＜bかつc＜lかつk＜dでなければならない。
このとき以前すべての長方形が重なっていた部分と新しい長方形が
max(a,i)≦x≦min(b,j)かつmax(c,k)≦y≦min(d,l)の部分で
重なっているので、命題は成り立つ。
No.22880 2020/11/17(Tue) 15:25:49
☆ Re: 高校1年 集合、論理 / 野菜
xy平面を導入する、説得力がある説明をどうもありがとうございます。
とても分かりやすかったです、助かりました。
No.22881 2020/11/17(Tue) 16:52:54
★ Vitali / てこ
Vitaliの集合って,

X:={r mod Q ; r∈[0,1]}とする時,
選択公理を仮定すればΠ_{x∈X}(x∩[0,1])≠φである。
この時, ∪_{x∈X}(x∩[0,1])をVitaliの集合と呼ぶ。

という解釈で問題ないでしょうか?
No.22878 2020/11/16(Mon) 04:20:52
☆ Re: Vitali / 黄桃
この書き方では、てこさんがどのような解釈をしているのか他人にはさっぱりわからないので答えようがありません。
「さっぱりわからない」というのは、根本的には、Xはどこの集合かわからない、ということから来ています。
* r mod Q とある以上、XはRの部分集合ではなく、常識的には R/Qの集合。
* そうであれば、xは R/Qの元であり、それとRの部分集合である[0,1]との共通部分x∩[0,1] は何か意味がわからない。

述べられていることを整数全体を3で割った剰余で分類する場合についてあてはめると、次のような質問と同じです。

X:={r mod 3Z; r=0,1,2}とする時、
π{x∈X}(x∩{0,1,2})≠φである。
この時、∪{x∈X}(x∩{0,1,2})を3の剰余類の代表系と呼ぶ。
この解釈で正しいですか？

これでは意味がわかりません。いいたいことは次のようなことでしょう。
Zの2元 x,y に x〜y ⇔ x-y　は3で割り切れる　で同値関係を定義して、Z/〜 を考える。
Z/〜 は3つの元からなるが、その代表元（各同値関係の代表元）として 0,1,2 (3より小さく0以上の整数）が取れる。
X={0,1,2}とおけば、すべての整数は、3で割った余りがXの元のいずれかである、と分類できる。

Vitaliの集合もこれと同様で、いいたいのは次のようなことでしょう。

Rの元x,yに、x〜y⇔x-y∈Q で同値関係〜を入れ、R/〜を R/Qと書く。Rの元xが属する同値類を<x>とかくことにする。
R/Qの元の１つ<x>について、その代表元としてr∈[0,1]が取れる(例えば　r=x-[x] ;[x]はxを越えない最大の整数、とすればよい）。
R/Qのすべての同値類について、このようなrをとり、このようなr全体の集合（[0,1)に含まれる、R/Qの代表元の集合）をXとすれば、
すべての実数xについて、Xの元rであって、x〜r となる rが（xに応じて、それぞれ）ただ１つ存在する
が成立する。このXのことをVitaliの集合と呼ぶ。
(つまり、次を満たすXが存在するので、そのXをVitaliの集合と呼ぶ:R/Q={<x>|x∈X}　かつ　∀x∈X x∈[0,1) かつ、r,s∈X,r≠s ならば <r>≠）

＃もちろん、[r] と [r+1/100],[r-1/100000]等々とは同じクラスを表すのでXは全然１つに決まりませんし、
＃R/Qは非可算無限なので、Xの存在に選択公理（Zornの補題）が必要です。

＃Rが実数全体ではなくて、R=Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}であれば、Xは例えば、{0,(√2)-1} となります。
＃実数体RならQに非可算無限個の元を追加しなくてはなりませんが、感じはわかるでしょう。
No.22883 2020/11/19(Thu) 07:28:40
☆ Re: Vitali / てこ
ご回答有難うございます。

> * r mod Q とある以上、XはRの部分集合ではなく、常識的には R/Qの集合。

r mod Q = {x∈R;x-r∈Q}なので r mod Qは2^Rの元だと思ったのですが2^Rの元と思ったら何かまずいんでしょうか?


> X:={r mod 3Z; r=0,1,2}とする時、
> π{x∈X}(x∩{0,1,2})≠φである。
> この時、∪{x∈X}(x∩{0,1,2})を3の剰余類の代表系と呼ぶ。
> この解釈で正しいですか？

はい、そのとおりです。


> R/Qの元の１つ<x>について、その代表元としてr∈[0,1]が取れる(例えば
> r=x-[x] ;[x]はxを越えない最大の整数、とすればよい）。

ここで選択公理が要るのですね。
No.22884 2020/11/22(Sun) 06:31:53
★ 高校1年 整数問題 / 野菜
連続ですみません。

正の整数nに対して、1以上n以下で、nと互いに素なものの個数（オイラーのφ関数）をφ(n)とし、
nの正の約数の個数をd(n)とすると、φ(n)＝d(n)となるnは有限個でしょうか。

nを、40以下の数で全て求めてみると、n＝1,3,8,10,18,24,30で成立しました。これより大きくなると、φ(n)の増加のしかたがd(n)よりはるかに大きいので、等しくならないような気がします。証明は可能でしょうか。よろしくお願いします。
No.22875 2020/11/12(Thu) 06:13:18
☆ Re: 高校1年 整数問題 / らすかる
その数列は↓こちらにあり、
http://oeis.org/A020488
このページにこれで終わりと書かれています。
また証明のヒント的なものとして
・いくつかの小さい数（多分n≦12）を除きd(n)＜n^(2/3)が成り立つ
・n＞2に対してφ(n)＞n/(e^γ・loglogn+3/loglogn)が成り立つ
・よって小さい数を除きφ(n)＞d(n)
と書かれています。
y=x^(2/3)とy=x/(e^γ・loglogx+3/loglogx)はx=102.98あたりで交わりますので、
2つの不等式を示して102以下で1,3,8,10,18,24,30しかないことを示せば
証明できると思いますが、不等式の評価は簡単ではなさそうですので
証明はパスしたいと思います。
No.22876 2020/11/12(Thu) 09:49:06
☆ Re: 高校1年 整数問題 / 野菜
どうもありがとうございます。
証明は非常に難しそうですね。もう少し考えてみたいと思います。お手数をおかけしました。
No.22877 2020/11/12(Thu) 15:41:08
★ 高校1年 不等式の証明 / 野菜
0より大きく1より小さい3つの実数x,y,zが、
x^2/(1-x)+y^2/(1-y)+z^2/(1-z)≦3/2
をみたすとき、
1/(1-x)+1/(1-y)+1/(1-z)≦6
を示せ。

x≦y≦zと仮定して一般性を失わないので、この仮定の下で、x^2/(1-x)≦y^2/(1-y)≦z^2/(1-z)であることから
3x^2/(1-x)≦3/2　よってx≦1/2
ここまで考えました。

また、a＝1-x,b＝1-y,c＝1-zとおくと、
0より大きく1より小さい3つの実数a,b,cが、
(1-a)^2/a+(1-b)^2/b+(1-c)^2/c≦3/2
をみたすとき、
1/a+1/b+1/c≦6
を示せばよい、となりますが、意味があるかは分かりません
よろしくお願いします。
No.22872 2020/11/11(Wed) 17:56:52
☆ Re: 高校1年 不等式の証明 / らすかる
(補題1)
x,y,zが正の実数のとき
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2≧0なので
x^3+y^3+z^3≧3xyz
x^3=a,y^3=b,z^3=cとおけば
a+b+c≧3[3]√(abc)

(補題2)
t＞6のとき
(2t-3)(t-6)＞0
2t^2-15t+18＞0
2t^2+18＞15t
∴t+9/t＞15/2

(本題)
a=1/(1-x),b=1/(1-y),c=1/(1-z)とおくと
1より大きい3つの実数a,b,cがa+b+c+1/a+1/b+1/c≦15/2をみたすとき
a+b+c≦6が成り立つことを示せばよい。
対偶をとれば
1より大きい3つの実数a,b,cがa+b+c＞6を満たすとき
a+b+c+1/a+1/b+1/c＞15/2が成り立つことを示せばよい。
補題1から
a+b+c≧3[3]√(abc) … (1)
1/a+1/b+1/c≧3/[3]√(abc) … (2)
(1)の両辺に3/{(a+b+c)[3]√(abc)}を掛けると
3/[3]√(abc)≧9/(a+b+c)
となるので、(2)と合わせて
1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)
従ってa+b+c＞6と補題2を使って
a+b+c+1/a+1/b+1/c≧a+b+c+9/(a+b+c)＞15/2
No.22873 2020/11/11(Wed) 22:49:00
☆ Re: 高校1年 不等式の証明 / 野菜
相加･相乗平均の関係をうまく使えば上手に証明できますね。それと、a＝1-xとおくより、さらにそれの逆数をとることで簡単な形にしていることに、とても納得しました。
どうもありがとうございました。
No.22874 2020/11/12(Thu) 04:13:53
★ 社会人　不偏分散 / Tomoki
biostatistics　標本分散と不偏分散

https://stats.biopapyrus.jp/stats/var.html

標本分散と不偏分散について書かれた上記ページ内の不偏分散について記載されている項目にある、下記式間の変形がなぜなりたつのか理解ができません。
この行間を埋める知識をご教示いただけないでしょうか？


E[(X-μ)^2]
= E[1/n^2((x1-μ) + (x2-μ) + ・・・+(xn-μ))^2]
= 1/n^2ΣE[(xi-μ)^2]


足した数の2乗の期待値が、2乗の期待値のΣになぜ変形できるのか理解できていません。
No.22871 2020/10/24(Sat) 23:23:54
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