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0より大きく1より小さい3つの実数x,y,zが、
x^2/(1-x)+y^2/(1-y)+z^2/(1-z)≦3/2
をみたすとき、
1/(1-x)+1/(1-y)+1/(1-z)≦6
を示せ。
x≦y≦zと仮定して一般性を失わないので、この仮定の下で、x^2/(1-x)≦y^2/(1-y)≦z^2/(1-z)であることから
3x^2/(1-x)≦3/2 よってx≦1/2
ここまで考えました。
また、a＝1-x,b＝1-y,c＝1-zとおくと、
0より大きく1より小さい3つの実数a,b,cが、
(1-a)^2/a+(1-b)^2/b+(1-c)^2/c≦3/2
をみたすとき、
1/a+1/b+1/c≦6
を示せばよい、となりますが、意味があるかは分かりません
よろしくお願いします。
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No.22872 2020/11/11(Wed) 17:56:52
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☆ Re: 高校1年 不等式の証明 / らすかる |
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(補題1)
x,y,zが正の実数のとき
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2≧0なので
x^3+y^3+z^3≧3xyz
x^3=a,y^3=b,z^3=cとおけば
a+b+c≧3[3]√(abc)
(補題2)
t＞6のとき
(2t-3)(t-6)＞0
2t^2-15t+18＞0
2t^2+18＞15t
∴t+9/t＞15/2
(本題)
a=1/(1-x),b=1/(1-y),c=1/(1-z)とおくと
1より大きい3つの実数a,b,cがa+b+c+1/a+1/b+1/c≦15/2をみたすとき
a+b+c≦6が成り立つことを示せばよい。
対偶をとれば
1より大きい3つの実数a,b,cがa+b+c＞6を満たすとき
a+b+c+1/a+1/b+1/c＞15/2が成り立つことを示せばよい。
補題1から
a+b+c≧3[3]√(abc) … (1)
1/a+1/b+1/c≧3/[3]√(abc) … (2)
(1)の両辺に3/{(a+b+c)[3]√(abc)}を掛けると
3/[3]√(abc)≧9/(a+b+c)
となるので、(2)と合わせて
1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)
従ってa+b+c＞6と補題2を使って
a+b+c+1/a+1/b+1/c≧a+b+c+9/(a+b+c)＞15/2
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No.22873 2020/11/11(Wed) 22:49:00
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