100935
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ (No Subject) / ぴょん
kを実数とする。f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1について以下の問いに答えよ。
（１）kの値によらずf(3)>0となることを示せ。
　　解決済み
（２）f(n)<0を満たす正の整数nがただ一つ存在するようなkの値の範囲を求めよ。

（２）の解答は0<k≦1となっております。
（１）をヒントにnは１か２だろうと予想はできましたがその先がなかなか進みません。よろしくお願いします。
No.22861 2020/10/14(Wed) 15:08:49
☆ Re: / らすかる
f(n)=2{k-(2n+1)/4}^2+(4n^2-4n-9)/8
n≧3のとき4n^2-4n-9=4(n+2)(n-3)+15＞0なので
kの値によらずf(n)＞0
f(1)=2k^2-3k＜0を解くと0＜k＜3/2
f(2)=2k^2-5k+3＜0を解くと1＜k＜3/2
よって答えは0＜k＜3/2と1＜k＜3/2のどちらか一方のみを
満たすkの範囲すなわち0＜k≦1
（このときf(n)＜0を満たす正の整数nは1）
No.22862 2020/10/14(Wed) 21:12:45
☆ Re: / ぴょん
ご丁寧にありがとうございます。

『よって答えは0＜k＜3/2と1＜k＜3/2のどちらか一方のみを
満たすkの範囲すなわち0＜k≦1』

なぜそうなるのか、もう少し解説して頂けないでしょうか？
No.22863 2020/10/15(Thu) 00:36:01
☆ Re: / らすかる
0＜k＜3/2と1＜k＜3/2を両方とも満たさない
⇔f(1)＜0とf(2)＜0を両方とも満たさない
⇒f(n)＜0を満たす正の整数nが一つも存在しない

0＜k＜3/2と1＜k＜3/2を両方とも満たす
⇔f(1)＜0とf(2)＜0を両方とも満たす
⇒f(n)＜0を満たす正の整数nが二つ存在する

0＜k＜3/2と1＜k＜3/2のどちらか一方のみを満たす
⇔f(1)＜0とf(2)＜0のどちらか一方のみを満たす
⇒f(n)＜0を満たす正の整数nがただ一つ存在する
です。
No.22864 2020/10/15(Thu) 00:58:28
☆ Re: / ぴょん
ありがとうございます。

ちなみに『0＜k＜3/2と1＜k＜3/2のどちらか一方のみ』を数直線上で表すとどのようになるのでしょうか？
No.22865 2020/10/15(Thu) 13:59:49
☆ Re: / らすかる
0＜k＜3/2を数直線の上に（端が○の）太線で描き、
その少し上に1＜k＜3/2を同様に描いて、
「描いた太線が1本である区間」が答えになるように
何らかの印や注釈を付ければ良いと思います。
No.22866 2020/10/15(Thu) 16:33:12
☆ Re: / ぴょん
わかりました！
らすかるさん、ありがとうございました★
No.22869 2020/10/16(Fri) 16:01:52
★ (No Subject) / める
53！は何桁の数になりますか？
感覚的にどのくらい大きな数なのでしょうか
トランプの全ての並べ方です。
No.22856 2020/10/11(Sun) 20:33:11
☆ Re: / らすかる
70桁の数です。具体的には
4274883284060025564298013753389399649690343788366813724672000000000000
≒43無量大数
ギリギリ日本の単位で書ける数ですね。
No.22857 2020/10/11(Sun) 21:31:18
☆ Re: / める
ありがとうございます。
このような大きな数を日常の感覚で体感するにはどうすればいいでしょう？どうしても大きすぎる数に対して感覚が麻痺してしまい、どのくらい大きいのか実感できません。
曖昧な質問で申し訳ありませんが、何かアイディアがあれば教えて下さい。
No.22858 2020/10/11(Sun) 21:59:07
☆ Re: / らすかる
「天文学的」を超えるような巨大な数は、なかなか実感できませんね。
まず分子の数の多さを↓このページで実感して欲しいのですが、
http://www1.kiy.jp/~yoka/essay/E030510.html
「アインシュタインが1回の呼吸ではいた空気の分子を、
あなたは1回の呼吸で18個吸っている」
つまり、地球上の空気の分子はとてつもなく多いですが、
その中にその昔アインシュタインがたった1回の呼吸ではいた空気が
まんべんなくまざっていて、誰もが1回の呼吸ごとに平均18個吸っている、
という話です。アインシュタインを誰に変えても同じですから、事実上
「昔の人全員のはいた空気を毎回吸っている」ことになります。
それだけ分子は細かく、個数がものすごく多いということです。
ちょっと話がそれますが、↓こちらのサイトによると
https://www.nikkei.com/article/DGKKZO83414110Z10C15A2TJN000/
人類の累計は約1000億人らしいです。
一生の呼吸回数を4億回として今までにいた人類がはいた空気分子すべて
（重複は無視）を考えても18×4億×1000億=7.2×10^20個ですから、
1回に吸う分子数2.7×10^22個のたった2.7%にしかなりません。
残りの97.3%は、人間が誰も吸っていない新鮮な(?)空気です。
（人間以外の動物がはいたかも知れませんが）

さて、分子がとても小さく個数がとてつもなく多いことは
わかったと思いますが、↓こちらのサイトによると
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/4410846.html
人間と比べてとてつもなく大きい地球の原子の数は
大雑把に3×10^50個程度（1〜2桁の誤差あり）らしいです。
53!はこの数の10^19倍ですから、これでもはるかに少ないですね。
上記サイトによると太陽の質量（≒太陽系の質量）が
地球の100万倍、銀河系の恒星の数が2000億個ぐらいなので
銀河系の原子の数にすれば約10^68個程度になり、53!に
だいぶ近づきました。
ということで、53!は大体銀河10個〜100個分の
原子の個数ということになりますね。
（計算が大雑把で誤差を含んでいますので、最後の結果は
1個かも知れませんし1000個かも知れません。）
No.22859 2020/10/11(Sun) 23:00:33
☆ Re: / める
分子、原子の多さには目がくらみます。階乗の大きさについてあらためて驚きました。
また10^70でさえこれほどとてつもない大きさだとすると
10^(10^10)のような数の大きさは途方もなく大きいのですね
いつも本当にありがとうございます。
　
No.22860 2020/10/12(Mon) 18:49:39
★ 整数係数の範囲で / スランエーフ
失礼いたします。

x^152+x^138+x^133+x^131+x^130+x^124+x^119+x^117+x^116+x^114+x^112+x^111+x^110+x^109+x^108+x^105+x^103+x^102+x^100+x^98+x^97+x^96+x^95+x^94+x^93+x^92+x^91+x^90+x^89+x^88+x^87+x^86+x^84+x^83+x^82+x^81+x^80+x^79+x^78+x^77+x^76+x^75+x^74+x^73+x^72+x^71+x^70+x^69+x^68+x^66+x^65+x^64+x^63+x^62+x^61+x^60+x^59+x^58+x^57+x^56+x^55+x^54+x^52+x^50+x^49+x^47+x^44+x^43+x^42+x^41+x^40+x^38+x^36+x^35+x^33+x^28+x^22+x^21+x^19+x^14+1


これを整数係数の範囲で因数分解してみよとプリントで配られました。
回答必須ではなくて興味があったらトライしてみなさいとのことでした。また今後も解答は配布予定はないとのことでした。
理詰めで解く方法があるとのことでしたがどうしたら良いでしょうか。
気になっています。

指数の部分だけを抜き出すと階差が左右対称になっていますがこれが鍵になるのでしょうか？
No.22850 2020/09/24(Thu) 06:59:55
☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる
私が手計算で見つけられた因数は
(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)
だけですが、いろいろ調べたところ、与式は円分多項式の積
Φ3(x)^3・Φ6(x)^2・Φ9(x)Φ21(x)Φ33(x)Φ42(x)Φ57(x)Φ63(x)Φ66(x)
であり、
{(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
と表せることはわかりました。
なお、具体的な因数分解結果は
(x^2-x+1)^2・(x^2+x+1)^3・(x^6+x^3+1)・
(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)(x^12+x^11-x^9-x^8+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^20-x^19+x^17-x^16+x^14-x^13+x^11-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^20+x^19-x^17-x^16+x^14+x^13-x^11-x^10-x^9+x^7+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^36-x^35+x^33-x^32+x^30-x^29+x^27-x^26+x^24-x^23+x^21-x^20+x^18-x^16+x^15-x^13+x^12-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^36-x^33+x^27-x^24+x^18-x^12+x^9-x^3+1)
となります。

参考
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E28%2Bx%5E14%2B1%29%28x%5E38%2Bx%5E19%2B1%29%28x%5E42%2Bx%5E21%2B1%29%28x%5E44%2Bx%5E22%2B1%29&lang=ja
No.22851 2020/09/24(Thu) 21:45:11
☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる
私には理詰めで解くのは無理ですが、因数分解に非常に慣れている人ならばひょっとして以下の方法で解けるかも知れません。
（解がわかってから考えた方法で、しかも無理やりの感があります。）
元の式が81項のところ
x^152/x^138=x^14だからx^14-1を掛けてみると
x^166+x^147+x^145+x^144+x^128+x^126+x^125+x^123+x^122+x^107+x^106+x^104+x^101+x^85-x^81-x^65-x^62-x^60-x^59-x^44-x^43-x^41-x^40-x^38-x^22-x^21-x^19-1
と28項に減り、x^166/x^147=x^19だからx^19-1を掛けてみると
x^185+x^164+x^163+x^142+x^141-x^128-x^122+x^120-x^107-x^106-x^101-x^100-x^85-x^84-x^79-x^78+x^65-x^63-x^57+x^44+x^43+x^22+x^21+1
と24項に減り、x^185/x^164=x^21だからx^21-1を掛けてみると
x^206+x^184-x^164+x^162-x^149-x^143-x^142-x^127-x^121-x^120+x^107-x^105+x^101-x^99+x^86+x^85+x^79+x^64+x^63+x^57-x^44+x^42-x^22-1
で24項のまま、x^206/x^184=x^22だからx^22-1を掛けてみると
x^228-x^186-x^171-x^165-x^162+x^129+x^123+x^120+x^108+x^105+x^99-x^66-x^63-x^57-x^42+1
で16項に減る。さらに
x^228/x^186=x^42でx^186の符号が負なのでx^42+1を掛けてみると
x^270-x^213-x^207-x^204-x^186+x^150+x^147+x^141+x^129+x^123+x^120-x^84-x^66-x^63-x^57+1
で16項のまま、同様にx^270/x^213=x^57なのでx^57+1を掛けてみると
x^327-x^264-x^261-x^243-x^213+x^198+x^180+x^177+x^150+x^147+x^129-x^114-x^84-x^66-x^63+1
で16項のまま、x^327/x^264=x^63なのでx^63+1を掛けてみると
x^390-x^324-x^306-x^276-x^264+x^240+x^210+x^198+x^192+x^180+x^150-x^126-x^114-x^84-x^66+1
で16項のまま、x^390/x^324=x^66なのでx^66+1を掛けてみると
x^456-x^372-x^342-x^330-x^324+x^258+x^246+x^240+x^216+x^210+x^198-x^132-x^126-x^114-x^84+1
で16項のまま。
ここで今までの式をよく眺めてみると、最後の式は
x^22-1まで掛けた式と見比べて次数がすべて2倍になっていることに気づく。
(x^42+1)(x^57+1)(x^63+1)(x^66+1)を掛けて次数が2倍になったということは、
{(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}{(x^42+1)(x^57+1)(x^63+1)(x^66+1)}
=(x^84-1)(x^114-1)(x^126-1)(x^132-1)
のようになったのかも知れないので、試しに(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)を
展開すると、x^22-1まで掛けた式に一致する。
従って(与式)={(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
であることがわかる。
これは円分多項式の積であり
x^14-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ7(x)Φ14(x)
x^19-1=Φ1(x)Φ19(x)
x^21-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ7(x)Φ21(x)
x^22-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ11(x)Φ22(x)
x^42-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)Φ7(x)Φ14(x)Φ21(x)Φ42(x)
x^57-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ19(x)Φ57(x)
x^63-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ7(x)Φ9(x)Φ21(x)Φ63(x)
x^66-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)Φ11(x)Φ22(x)Φ33(x)Φ66(x)
だから、与式の因数分解は
(与式)={(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
=Φ3(x)^3・Φ6(x)^2・Φ9(x)Φ21(x)Φ33(x)Φ42(x)Φ57(x)Φ63(x)Φ66(x)
=(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)・(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^20-x^19+x^17-x^16+x^14-x^13+x^11-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^12+x^11-x^9-x^8+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^36-x^35+x^33-x^32+x^30-x^29+x^27-x^26+x^24-x^23+x^21-x^20+x^18-x^16+x^15-x^13+x^12-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^36-x^33+x^27-x^24+x^18-x^12+x^9-x^3+1)
(x^20+x^19-x^17-x^16+x^14+x^13-x^11-x^10-x^9+x^7+x^6-x^4-x^3+x+1)
となる。
No.22852 2020/09/25(Fri) 13:56:30
☆ Re: 整数係数の範囲で / スランエーフ
　
らすかる様
　
本当に有り難うございます。

まさかこんな形になるなんて驚いています。 円分多項式の存在や、それをこのように使えるなど初めて知りました。

そして……
>私が手計算で見つけられた因数は
>(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)
>だけですが

とのこと、らすかる様の眼力に舌をまきました。


さて。
咀嚼に時間がかかっていますけれども御教示から今のところ以下がポイントなのかと思っています。

・円分多項式は整数係数を持つ　
・円分多項式は既約である　
・よって与式を円分多項式の積の形で表現できれば、因数分解が完了する。


また、らすかる様による御解答を拝見しながら以下を思い付きました。

与式は81項からなること、
与式のうち次数が少ない部分を抜き出すと
x^22+x^21+x^19+x^14+1
であること、
与式の最高次数の項の指数が 152 で、これは
76=22+21+19+14
の２倍であること。
これらを鑑みて与式は
(x^{2a}+x^22+1)(x^{2b}+x^21+1)(x^{2c}+x^19+1)(x^{2d}+x^14+1)
ただし a,b,c,d は a+b+c+d=76を満たす整数、
の形になってはいまいかと推理できます。

トライアンドエラーの結果ですが

与式は
(x^44+x^22+1)(x^42+x^21+1)(x^38+x^19+1)(x^28+x^14+1)
と等しいことが得られました。その上

(x^{2k}+x^k+1)={(x^k)^3-1}/(x^k-1)
ですから、分母も分子も円分多項式の積になっていますので〔確かめてはいませんが多分約分がうまくいって分母は消えるのでしょう〕

上記のような方針でうまくいきそうな気がしてきました。

高次の円分多項式を求めるために、これから以下のサイトの命題 2.3.16を参考にして計算していきたいと存じます。

2.3.5 円分多項式｜高校生／社会人のための整数論入門
http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node33.html


らすかる様、本当に有り難うございました。
No.22853 2020/09/26(Sat) 15:15:59
☆ Re: 整数係数の範囲で / スランエーフ
> 高次の円分多項式を求めるために、これから以下のサイトの命題 2.3.16を参考にして計算していきたいと存じます。
>
> 2.3.5 円分多項式｜高校生／社会人のための整数論入門
> http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node33.html
>

自分でもやってみることはもちろんですけれども、参考になるPDFがみつかりました。

150次までの円分多項式表 red cat 平成22年3月30日
http://guppy.eng.kagawa-u.ac.jp/~kagawa/OpenCampus/Programs/Java/util/cyclotomic.pdf
No.22854 2020/09/26(Sat) 17:18:51
☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる
円分多項式を得たいのであれば
↓こういうサイトを使うと任意の結果が得られますし、乗算なども一発です。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Cyclotomic%5B66%2C+x%5D&lang=ja
No.22855 2020/09/26(Sat) 17:43:46
★ 球面上の写像 / tossy
1)単位球面SからSへの連続写像 f: S→S が、
　Sの任意の大円 G⊂S 上において、f: G→G 全射のとき、
　f: S→S も全射と言えますか？

2)上記が全射なら、2つに分解して、、
　単位球面Sから単位円Cへの連続写像 f: S→C が、
　Sの任意の子午線 L⊂S 上において、f: L→C 全射のとき、
　CからLへの全単射を g: C→L とすれば、
　g・f: S→S も全射と言えますか？
No.22849 2020/09/05(Sat) 16:03:54
★ 数学 / 武蔵 2階生

フーリエ展開についての質問
ガウス関数のフーリエ展開ですが、

1.ガウス関数をy＝f(x)とおき、
y＝f(x){0(-a_<x<0,b(x=0),0(0<x<a)}周期2a(2π）
の範囲でのフーリエ展開をせよ。
という問題で、ガウス関数のフーリエ展開の仕方がわかりません。
2.規格化されたガウス関数をフーリエ変換せよ。また、このときの幅をゼロに近づけると、どのようなことが起きるのか考察せよ。

具体的にわかりやすく説明していただけると嬉しいです。
No.22847 2020/08/06(Thu) 03:47:30
★ ベクトル解析 / KK
xyz空間内のスカラー場f,ℊと領域Dについて
∫∫∫D(f∇^2ℊ-ℊ∇^2f)dV=∫∫∂D(f grad ℊ-ℊ grad　f)・dS
を示せという問題も分からなくて困っています。
お願いします！
No.22845 2020/08/03(Mon) 01:57:38
☆ Re: ベクトル解析 / KK
解決しました！
No.22848 2020/08/08(Sat) 03:01:20
★ ベクトル解析 / KK
3次元のスカラー場fとベクトル場uに対し、div(fu)=(grad f)・u+f(div u)が成り立つことを示せという問題が分からなくて困っています。
お願いします！
No.22844 2020/08/03(Mon) 01:40:00
☆ Re: ベクトル解析 / KK
解決したんならよかったです！
No.22846 2020/08/03(Mon) 17:57:47
★ (No Subject) / うる
{fn(z)}∞n=1 を単位円板 ∆ = {z ∈ C||z| <1} 上の正則関数列であると する。 今全ての n と z ∈ ∆ について |fn(z)| ≦ 1 であるとする。
(a)
| f n′ ( z ) | <1/1− |z|
を示せ。
(b) {fn(z)} は広義一様収束部分列を持つことを示せ。

解ける方よろしくお願いします
大学数学です。
No.22843 2020/08/01(Sat) 12:52:19
★ 線形代数の質問 / 坂本梨央奈
連立一次方程式　

ax1 + x2 + x3 + x4 = b
x1 + ax2 + x3 + x4 = b
x1 + x2 + ax3 + x4 = b
x1 + x2 + x3 + ax4 = b

の係数行列を A とし, b ≠ 0とする. このとき
(1) |A| を因数分解せよ.
(2) A が正則であるための a の条件を求めよ.
(3) (2) の条件が成立しているとき, クラメルの公式を用いて
解を求めよ.
(4) A が正則でないとき, 方程式の解は存在するか.
存在する場合は解を求めよ.
No.22840 2020/07/26(Sun) 02:42:46
☆ Re: 線形代数の質問 / ヨッシー
(1)
図↓
　http://yosshy.sansu.org/junk/2020/sakamoto1.gif
(2)
ａ≠１　かつ　ａ≠−３
(3)
|A|＝(a+3)(a-1)^3
図↓
　http://yosshy.sansu.org/junk/2020/sakamoto2.gif
同様に
|A3|＝|A4|＝b(a-1)^3
よって、
　x1＝x2＝x3＝x4＝b/(a+3)
(4)
ａ＝１のとき
　x1 + x2 + x3 + x4 = b
を満たす任意の x1, x2, x3, x4

ａ＝−３ のとき
　ｂ＝０ のとき　x1＝x2＝x3＝x4 を満たす任意の数。
　ｂ≠０ のとき 解なし。
No.22842 2020/07/27(Mon) 21:18:49
★ (No Subject) / レブロン
AはXの有界閉集合であるが、コンパクト集合でない。
このことを満たす距離空間(X,d)と部分集合A⊂X の例をあげよ
No.22839 2020/07/24(Fri) 23:46:56
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