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Vitaliの集合って,
X:={r mod Q ; r∈[0,1]}とする時,
選択公理を仮定すればΠ_{x∈X}(x∩[0,1])≠φである。
この時, ∪_{x∈X}(x∩[0,1])をVitaliの集合と呼ぶ。
という解釈で問題ないでしょうか?
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No.22878 2020/11/16(Mon) 04:20:52
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☆ Re: Vitali / 黄桃 |
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この書き方では、てこさんがどのような解釈をしているのか他人にはさっぱりわからないので答えようがありません。
「さっぱりわからない」というのは、根本的には、Xはどこの集合かわからない、ということから来ています。
* r mod Q とある以上、XはRの部分集合ではなく、常識的には R/Qの集合。
* そうであれば、xは R/Qの元であり、それとRの部分集合である[0,1]との共通部分x∩[0,1] は何か意味がわからない。
述べられていることを整数全体を3で割った剰余で分類する場合についてあてはめると、次のような質問と同じです。
X:={r mod 3Z; r=0,1,2}とする時、
π{x∈X}(x∩{0,1,2})≠φである。
この時、∪{x∈X}(x∩{0,1,2})を3の剰余類の代表系と呼ぶ。
この解釈で正しいですか？
これでは意味がわかりません。いいたいことは次のようなことでしょう。
Zの2元 x,y に x〜y ⇔ x-y は3で割り切れる で同値関係を定義して、Z/〜 を考える。
Z/〜 は3つの元からなるが、その代表元（各同値関係の代表元）として 0,1,2 (3より小さく0以上の整数）が取れる。
X={0,1,2}とおけば、すべての整数は、3で割った余りがXの元のいずれかである、と分類できる。
Vitaliの集合もこれと同様で、いいたいのは次のようなことでしょう。
Rの元x,yに、x〜y⇔x-y∈Q で同値関係〜を入れ、R/〜を R/Qと書く。Rの元xが属する同値類を<x>とかくことにする。
R/Qの元の１つ<x>について、その代表元としてr∈[0,1]が取れる(例えば r=x-[x] ;[x]はxを越えない最大の整数、とすればよい）。
R/Qのすべての同値類について、このようなrをとり、このようなr全体の集合（[0,1)に含まれる、R/Qの代表元の集合）をXとすれば、
すべての実数xについて、Xの元rであって、x〜r となる rが（xに応じて、それぞれ）ただ１つ存在する
が成立する。このXのことをVitaliの集合と呼ぶ。
(つまり、次を満たすXが存在するので、そのXをVitaliの集合と呼ぶ:R/Q={<x>|x∈X} かつ ∀x∈X x∈[0,1) かつ、r,s∈X,r≠s ならば <r>≠）
＃もちろん、[r] と [r+1/100],[r-1/100000]等々とは同じクラスを表すのでXは全然１つに決まりませんし、
＃R/Qは非可算無限なので、Xの存在に選択公理（Zornの補題）が必要です。
＃Rが実数全体ではなくて、R=Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}であれば、Xは例えば、{0,(√2)-1} となります。
＃実数体RならQに非可算無限個の元を追加しなくてはなりませんが、感じはわかるでしょう。
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No.22883 2020/11/19(Thu) 07:28:40
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