数学の部屋BBS

★ 整数係数の範囲で / スランエーフ

引用

失礼いたします。

x^152+x^138+x^133+x^131+x^130+x^124+x^119+x^117+x^116+x^114+x^112+x^111+x^110+x^109+x^108+x^105+x^103+x^102+x^100+x^98+x^97+x^96+x^95+x^94+x^93+x^92+x^91+x^90+x^89+x^88+x^87+x^86+x^84+x^83+x^82+x^81+x^80+x^79+x^78+x^77+x^76+x^75+x^74+x^73+x^72+x^71+x^70+x^69+x^68+x^66+x^65+x^64+x^63+x^62+x^61+x^60+x^59+x^58+x^57+x^56+x^55+x^54+x^52+x^50+x^49+x^47+x^44+x^43+x^42+x^41+x^40+x^38+x^36+x^35+x^33+x^28+x^22+x^21+x^19+x^14+1

これを整数係数の範囲で因数分解してみよとプリントで配られました。
回答必須ではなくて興味があったらトライしてみなさいとのことでした。また今後も解答は配布予定はないとのことでした。
理詰めで解く方法があるとのことでしたがどうしたら良いでしょうか。
気になっています。

指数の部分だけを抜き出すと階差が左右対称になっていますがこれが鍵になるのでしょうか？

No.22850 2020/09/24(Thu) 06:59:55

☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる

引用

私が手計算で見つけられた因数は
(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)
だけですが、いろいろ調べたところ、与式は円分多項式の積
Φ3(x)^3・Φ6(x)^2・Φ9(x)Φ21(x)Φ33(x)Φ42(x)Φ57(x)Φ63(x)Φ66(x)
であり、
{(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
と表せることはわかりました。
なお、具体的な因数分解結果は
(x^2-x+1)^2・(x^2+x+1)^3・(x^6+x^3+1)・
(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)(x^12+x^11-x^9-x^8+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^20-x^19+x^17-x^16+x^14-x^13+x^11-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^20+x^19-x^17-x^16+x^14+x^13-x^11-x^10-x^9+x^7+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^36-x^35+x^33-x^32+x^30-x^29+x^27-x^26+x^24-x^23+x^21-x^20+x^18-x^16+x^15-x^13+x^12-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^36-x^33+x^27-x^24+x^18-x^12+x^9-x^3+1)
となります。

参考
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E28%2Bx%5E14%2B1%29%28x%5E38%2Bx%5E19%2B1%29%28x%5E42%2Bx%5E21%2B1%29%28x%5E44%2Bx%5E22%2B1%29&lang=ja

No.22851 2020/09/24(Thu) 21:45:11

☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる

引用

私には理詰めで解くのは無理ですが、因数分解に非常に慣れている人ならばひょっとして以下の方法で解けるかも知れません。
（解がわかってから考えた方法で、しかも無理やりの感があります。）
元の式が81項のところ
x^152/x^138=x^14だからx^14-1を掛けてみると
x^166+x^147+x^145+x^144+x^128+x^126+x^125+x^123+x^122+x^107+x^106+x^104+x^101+x^85-x^81-x^65-x^62-x^60-x^59-x^44-x^43-x^41-x^40-x^38-x^22-x^21-x^19-1
と28項に減り、x^166/x^147=x^19だからx^19-1を掛けてみると
x^185+x^164+x^163+x^142+x^141-x^128-x^122+x^120-x^107-x^106-x^101-x^100-x^85-x^84-x^79-x^78+x^65-x^63-x^57+x^44+x^43+x^22+x^21+1
と24項に減り、x^185/x^164=x^21だからx^21-1を掛けてみると
x^206+x^184-x^164+x^162-x^149-x^143-x^142-x^127-x^121-x^120+x^107-x^105+x^101-x^99+x^86+x^85+x^79+x^64+x^63+x^57-x^44+x^42-x^22-1
で24項のまま、x^206/x^184=x^22だからx^22-1を掛けてみると
x^228-x^186-x^171-x^165-x^162+x^129+x^123+x^120+x^108+x^105+x^99-x^66-x^63-x^57-x^42+1
で16項に減る。さらに
x^228/x^186=x^42でx^186の符号が負なのでx^42+1を掛けてみると
x^270-x^213-x^207-x^204-x^186+x^150+x^147+x^141+x^129+x^123+x^120-x^84-x^66-x^63-x^57+1
で16項のまま、同様にx^270/x^213=x^57なのでx^57+1を掛けてみると
x^327-x^264-x^261-x^243-x^213+x^198+x^180+x^177+x^150+x^147+x^129-x^114-x^84-x^66-x^63+1
で16項のまま、x^327/x^264=x^63なのでx^63+1を掛けてみると
x^390-x^324-x^306-x^276-x^264+x^240+x^210+x^198+x^192+x^180+x^150-x^126-x^114-x^84-x^66+1
で16項のまま、x^390/x^324=x^66なのでx^66+1を掛けてみると
x^456-x^372-x^342-x^330-x^324+x^258+x^246+x^240+x^216+x^210+x^198-x^132-x^126-x^114-x^84+1
で16項のまま。
ここで今までの式をよく眺めてみると、最後の式は
x^22-1まで掛けた式と見比べて次数がすべて2倍になっていることに気づく。
(x^42+1)(x^57+1)(x^63+1)(x^66+1)を掛けて次数が2倍になったということは、
{(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}{(x^42+1)(x^57+1)(x^63+1)(x^66+1)}
=(x^84-1)(x^114-1)(x^126-1)(x^132-1)
のようになったのかも知れないので、試しに(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)を
展開すると、x^22-1まで掛けた式に一致する。
従って(与式)={(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
であることがわかる。
これは円分多項式の積であり
x^14-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ7(x)Φ14(x)
x^19-1=Φ1(x)Φ19(x)
x^21-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ7(x)Φ21(x)
x^22-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ11(x)Φ22(x)
x^42-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)Φ7(x)Φ14(x)Φ21(x)Φ42(x)
x^57-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ19(x)Φ57(x)
x^63-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ7(x)Φ9(x)Φ21(x)Φ63(x)
x^66-1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)Φ11(x)Φ22(x)Φ33(x)Φ66(x)
だから、与式の因数分解は
(与式)={(x^42-1)(x^57-1)(x^63-1)(x^66-1)}/{(x^14-1)(x^19-1)(x^21-1)(x^22-1)}
=Φ3(x)^3・Φ6(x)^2・Φ9(x)Φ21(x)Φ33(x)Φ42(x)Φ57(x)Φ63(x)Φ66(x)
=(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)・(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^20-x^19+x^17-x^16+x^14-x^13+x^11-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^12+x^11-x^9-x^8+x^6-x^4-x^3+x+1)
(x^36-x^35+x^33-x^32+x^30-x^29+x^27-x^26+x^24-x^23+x^21-x^20+x^18-x^16+x^15-x^13+x^12-x^10+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1)
(x^36-x^33+x^27-x^24+x^18-x^12+x^9-x^3+1)
(x^20+x^19-x^17-x^16+x^14+x^13-x^11-x^10-x^9+x^7+x^6-x^4-x^3+x+1)
となる。

No.22852 2020/09/25(Fri) 13:56:30

☆ Re: 整数係数の範囲で / スランエーフ

引用

　
らすかる様
　
本当に有り難うございます。

まさかこんな形になるなんて驚いています。円分多項式の存在や、それをこのように使えるなど初めて知りました。

そして……
>私が手計算で見つけられた因数は
>(x^2+x+1)^3・(x^2-x+1)^2・(x^6+x^3+1)
>だけですが

とのこと、らすかる様の眼力に舌をまきました。

さて。
咀嚼に時間がかかっていますけれども御教示から今のところ以下がポイントなのかと思っています。

・円分多項式は整数係数を持つ　
・円分多項式は既約である　
・よって与式を円分多項式の積の形で表現できれば、因数分解が完了する。

また、らすかる様による御解答を拝見しながら以下を思い付きました。

与式は81項からなること、
与式のうち次数が少ない部分を抜き出すと
x^22+x^21+x^19+x^14+1
であること、
与式の最高次数の項の指数が 152 で、これは
76=22+21+19+14
の２倍であること。
これらを鑑みて与式は
(x^{2a}+x^22+1)(x^{2b}+x^21+1)(x^{2c}+x^19+1)(x^{2d}+x^14+1)
ただし a,b,c,d は a+b+c+d=76を満たす整数、
の形になってはいまいかと推理できます。

トライアンドエラーの結果ですが

与式は
(x^44+x^22+1)(x^42+x^21+1)(x^38+x^19+1)(x^28+x^14+1)
と等しいことが得られました。その上

(x^{2k}+x^k+1)={(x^k)^3-1}/(x^k-1)
ですから、分母も分子も円分多項式の積になっていますので〔確かめてはいませんが多分約分がうまくいって分母は消えるのでしょう〕

上記のような方針でうまくいきそうな気がしてきました。

高次の円分多項式を求めるために、これから以下のサイトの命題 2.3.16を参考にして計算していきたいと存じます。

2.3.5 円分多項式｜高校生／社会人のための整数論入門
http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node33.html

らすかる様、本当に有り難うございました。

No.22853 2020/09/26(Sat) 15:15:59

☆ Re: 整数係数の範囲で / スランエーフ

引用

> 高次の円分多項式を求めるために、これから以下のサイトの命題 2.3.16を参考にして計算していきたいと存じます。
>
> 2.3.5 円分多項式｜高校生／社会人のための整数論入門
> http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node33.html
>

自分でもやってみることはもちろんですけれども、参考になるPDFがみつかりました。

150次までの円分多項式表 red cat 平成22年3月30日
http://guppy.eng.kagawa-u.ac.jp/~kagawa/OpenCampus/Programs/Java/util/cyclotomic.pdf

No.22854 2020/09/26(Sat) 17:18:51

☆ Re: 整数係数の範囲で / らすかる

引用

円分多項式を得たいのであれば
↓こういうサイトを使うと任意の結果が得られますし、乗算なども一発です。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Cyclotomic%5B66%2C+x%5D&lang=ja

No.22855 2020/09/26(Sat) 17:43:46