101015
数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ 格子点の存在範囲？ / てー
次の問題の解説をお願いします。解法がわからず，苦戦しています。

a,b を a + b ≦ 0 を満たす実数の定数とする。
関数 f(x) = x - (ax^2 + b)/√(1 - x^2)
は，最大値 M を持っている。
(1) M を a を用いて表せ。
(2) y = f(x) と y = x で囲まれた領域 (境界線を含む) に格子点が 5 個あるような a の範囲を求めよ。
No.22788 2020/05/24(Sun) 15:10:10
★ 極限 / 風邪
n→∞ an→α≠0のとき
∃δ>0;∀n∈N;|an|>=δ を証明してください
No.22777 2020/05/17(Sun) 16:09:42
☆ Re: 極限 / semirp
> n→∞ an→α≠0のとき
> ∃δ>0;∀n∈N;|an|>=δ を証明してください


この命題は偽ですね。∀n∈N; あたりがおかしいです。よって証明はできません。
十分に大きな自然数nであれば |an|>=δ なのですけれども。

一番簡単な反例は、a1=0 で n→∞ で an→α≠0 なる数列でしょうか。

|a1|=0 ですから
任意のnについて
|an|>=δ>0
ということはないでしょう。
No.22779 2020/05/18(Mon) 22:05:33
☆ Re: 極限 / semirp
あっ。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=85502

で回答がありますね。この回答でもよいのではないでしょうか。
No.22780 2020/05/18(Mon) 22:13:10
★ 覆面算 / 田中
手ごたえのある覆面算がありましたのでご紹介します。
これは、ピーターフランクル氏のテレビ講座のテキストに載っていたもので、解答がなく、自力で解こうと取り組みました。一応解けました。
問題
　　A〜I は、1〜9の整数とする。

　　A/BC+D/EF+G/HI=1 となるA〜I を定めよ。

もちろん　上のBCなどは、B*Cではなく、23とか12などの
２桁の数のことです。
No.22767 2020/05/15(Fri) 09:34:04
☆ Re: 覆面算 / 黄桃
覆面算というより小町算の一種ですね（wikipedia の小町算の項は一番狭い意味しかとりあげてませんが）。1-9,あるいは0-9の数字を１つずつ使ってある数を表したり、等式を作ったりする問題も小町算と呼ばれます。

＃「小町算、分数、1 」で検索すると答がでてきます。

ちなみに、中公新書「数理パズル」によれば、
A/B+CDEF/GHIJ=1
という0-9を１つずつ使ってこの形で１を表す例があります。
なお、
AB/CD+EFG/HIJ=1
だと、解は5つあるようです。
No.22768 2020/05/15(Fri) 22:31:55
☆ Re: 覆面算 / 田中
黄桃さま、内容を深めていただきありがとうございました。
当方、このような問題は、新鮮に感じてとても興味がわいた
次第です。どう考えても、1には、ならないだろうという感触
でまとめていくとうまく約分できてぴったり1になる爽快感が
ありました。
最後にあった式の解の1つ

　　56/84+307/921=1

307は、素数です。とても面白いです。
No.22769 2020/05/15(Fri) 23:57:03
☆ Re: 覆面算 / らすかる
> ちなみに、中公新書「数理パズル」によれば、
> A/B+CDEF/GHIJ=1
> という0-9を１つずつ使ってこの形で１を表す例があります。
> なお、
> AB/CD+EFG/HIJ=1
> だと、解は5つあるようです。

これって出題者が（たまたま）見つけた解を書いているだけじゃないですかね？
解は以下のようにたくさんあります。

A/B+CDEF/GHIJ=1の解は
1/2+3485/6970=1　　1/6+7835/9402=1　　3/6+2709/5418=1
1/2+3548/7096=1　　1/7+4362/5089=1　　3/6+2907/5814=1
1/2+3845/7690=1　　2/4+3079/6158=1　　3/6+4851/9702=1
1/2+4538/9076=1　　2/6+3190/4785=1　　4/5+1278/6390=1
1/2+4685/9370=1　　2/7+5940/8316=1　　4/5+1872/9360=1
1/2+4835/9670=1　　2/7+6810/9534=1　　7/9+1208/5436=1
1/2+4853/9706=1　　2/9+5803/7461=1　　7/9+1352/6084=1
1/2+4865/9730=1　　3/6+1485/2970=1
1/4+7365/9820=1　　3/6+2079/4158=1
の25個

AB/CD+EFG/HIJ=1の解は
10/28+369/574=1　　24/63+507/819=1　　38/95+426/710=1
10/45+287/369=1　　24/96+531/708=1　　39/51+204/867=1
10/45+728/936=1　　27/54+309/618=1　　39/65+284/710=1
10/96+473/528=1　　27/81+306/459=1　　42/87+315/609=1
12/54+609/783=1　　27/81+630/945=1　　45/61+208/793=1
12/60+748/935=1　　29/58+307/614=1　　45/90+138/276=1
12/96+357/408=1　　29/87+310/465=1　　45/90+186/372=1
12/96+735/840=1　　31/62+485/970=1　　45/90+381/762=1
13/26+485/970=1　　32/48+169/507=1　　46/92+185/370=1
13/52+678/904=1　　32/80+417/695=1　　48/96+135/270=1
15/30+486/972=1　　34/51+269/807=1　　48/96+351/702=1
16/32+485/970=1　　35/70+148/296=1　　54/87+231/609=1
17/89+504/623=1　　35/70+481/962=1　　56/84+109/327=1
18/90+276/345=1　　36/81+405/729=1　　56/84+307/921=1
18/90+372/465=1　　36/81+540/972=1　　57/92+140/368=1
19/57+308/462=1　　38/61+207/549=1　　70/96+143/528=1
19/58+273/406=1　　38/76+145/290=1　　74/89+105/623=1
21/96+375/480=1　　38/76+451/902=1
の53個

# こういう小町算の問題に対応する自分用の汎用のプログラムが
# 作ってありますので、簡単に全解が得られます。
No.22770 2020/05/16(Sat) 00:58:27
☆ Re: 覆面算 / semirp
横から失礼いたします。以下の問題は解がひとつになりますか？

問題
　　A〜J は、0〜9の整数とする。

　　AB/CD+EF/GHIJ=1 となるA〜J を定めよ。

上のBCなどは、B*Cではなく、23とか12などの
２桁の数のことです。
No.22771 2020/05/16(Sat) 21:22:37
☆ Re: 覆面算 / らすかる
> AB/CD+EF/GHIJ=1
はい、一つです。
No.22772 2020/05/16(Sat) 21:24:32
☆ Re: 覆面算 / semirp
> > AB/CD+EF/GHIJ=1
> はい、一つです。


らすかるさん。あまりにも素早い御回答に驚きました。おみそれいたしました。

御回答をまことに有り難うございました。
No.22773 2020/05/16(Sat) 21:28:39
☆ Re: 覆面算 / 田中
当方の載せた話題で、多くの皆さんから新しい問題などに接することができました。感謝申し上げます。semirp様の厳しい条件の式・・・。これは無理だろうと思いましたが、プログラムを組んでやってみると、プログラムが動いてからしばらくしてから　ただ1つの解が表示されました。　答えはだだ1つ求まります。　すぐに載せると失礼かと思いますので書きませんが、分母に素数のあるもので、傑作な数でした。わたしの最初に出した問題も、ご要望があれば解答を表示いたします。
No.22774 2020/05/16(Sat) 23:51:33
☆ Re: 覆面算 / semirp
では私からも覆面算を。 ただし解き味は最悪ですけれども。スカッとしません。

30未満の素数をダラダラとつなげた以下の数について。

2357111317192329

これにまつわる覆面算を提示させて頂きます。

2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG

ええとですね、AからIまでしか使っていない点が興味深くまた回文数の和になっているところも興味深いと思われます。

唯一解となるかどうかは未検証です。
No.22775 2020/05/17(Sun) 01:47:53
☆ Re: 覆面算 / らすかる
唯一解でした。
No.22776 2020/05/17(Sun) 03:51:02
☆ Re: 覆面算 / semirp
らすかるさん。
> 唯一解でした。

とのこと、ご検討を有り難うございます。

さて、回文を組み合わせた覆面算の作成ですが、試みとしては失敗作の範疇にはいるかもしれません。

2357111317192329
と
ADEACEFDFECAEDA
とは、11を法として合同であることがすぐに見てとれる筈ですが（注）、それがわかったところで覆面算を解くことに見通しがとりたてて良くなるわけでもなく（狙ったもののうまくいきませんでした）わざわざ回文を取り入れた仕掛けとしては失敗しております。

※注：偶数桁の回文数は11を法として0に合同ですので。
No.22778 2020/05/17(Sun) 20:23:30
☆ Re: 覆面算 / 田中
semirpさんの2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG

これやってみました。ずっと答えが出ませんでしたが、A〜I
の数字は、1から9のことではなく0から9での整数のうちの９個のことでしょうか。その条件ならただ一つ答えができました。
使われていないのは、6　でした。正解でしょうか。
No.22781 2020/05/20(Wed) 13:01:04
☆ Re: 覆面算 / semirp
> semirpさんの2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG
>
> これやってみました。ずっと答えが出ませんでしたが、A〜I
> の数字は、1から9のことではなく0から9での整数のうちの９個のことでしょうか。その条件ならただ一つ答えができました。
> 使われていないのは、6　でした。正解でしょうか。

はい、使われていない数字は 6 でした。

ふりかえりますと、田中さんによる当初のお題が〈問題　　A〜I は、1〜9の整数とする。（以下略）〉だったのですね、当方からの出題ではもう少し細かく意図を説明して出題すべきであったと反省しております。大変失礼いたしました。

解法の概略を以下に示します。

第一段階
和の10^15の位が2であることから、Aは 1 ないし 2 であるとわかります。どちらであるか。
仮にAが1ならば10^14の位の計算で繰り上がりが発生していることになります。 10^14の位の計算には、10^13の位の計算による最大2の繰り上がりを加味したとしても、
B+A+2 = 13
で、これを満たす(B,A=1)の組み合わせはありません。
10^13の位の計算による繰り上がりが1であれば
B+A+1 = 13
ですからこれもありえません。
従って
A=2
が確定しました。

第二段階
10^0の位の計算結果が9ですから
G=5
が確定します。

第三段階
10^13の位の計算結果が5です。
10^13の位にはCDGが並んでいますから、G=5(確定済み)を考えると、必ず10^14への繰り上がりが発生することとなります。
10^14の位の計算結果が3ですから、先の繰り上がりによる寄与を考えると
B=0
が確定します。

※このB=0が早めにわかることが大きくて、実質的に多くの各桁の和が３数ではなく２数の和を考えればよくなり、また、繰り上がりも2について意識しなくてすむようになります。一挙に場合分けが少なくてすむようになり、あとは簡単な数合わせとなります。


第四段階
10^11の位に注目して H を確定させます。
それには10^10の位の計算結果が1になっているこっから確実にここから繰り上がりを受けていることを意識して
B+A+H+1=11
を見いだし、
0+2+H+1=11
から
H=8
を確定します。

第五段階
10^8の位に注目して F を確定させます。
10^7の位から確実に繰り上がりが発生していることを指摘してもよいですが、
B+H+F(+1)=3(+10)
0+8+F(+1)=3(+10)
で、F not= 5 (∵G=5) で
F=4
を確定してもいいですね。

第六段階
10^12の位に注目して E を確定させます。
H=8 なので E not= 8 です。
すると
B+E+E+1=7
から
E=3
が確定します。

第七段階
10^1の位に注目して D を確定させます。明らかに
B+D+E=12
ですから
0+D+3=12
すなわち
D=9
が確定します。

第八段階
10^13の位に注目して C を確定させます。
10^12の位からの繰り上がりは発生していませんから、
C+D+G=15
C+9+5=15
より
C=1
が確定します。

第九段階
ここまでわかればIが7であることは確実です。
実際、10^3の位からの繰り上がりに留意すれば、10^5への位への繰り上がりが無いこともあわせて、
B+C+I+1=9
0+1+I+1=9
となり
I=7
が確定します。

以上が解法の概略です。

最初だけ慎重に検討してB=0までわかれば一本道となっています。

以上となります。
No.22782 2020/05/20(Wed) 22:07:33
☆ Re: 覆面算 / 田中
semirp様
ていねいな、的確な解答ありがとうございます。
自分の場合、数は0も良いのだろうと決めて、
絶対 A=2,G=5,B=0 だろう・・で、突っ走ったら意外うまくとほどけていくのを感じました。
後半、はて、6がないなと思いましたが、あたりまえかと思った次第です。　
偶数桁の回文数が11で割れることなど教えていただきなるほど面白いと感じました。
No.22783 2020/05/21(Thu) 00:36:12
☆ Re: 覆面算 / semirp
調子に乗りましてもう一題をば。

JBBCCCCBBJ+AAFCBCFAA+CICEECIC=ABCDEFGHIJ

同工異曲です。(私の解き方では10^4の位の処理が面倒でした)

※田中さんによる御出題、
A/BC+D/EF+G/HI=1
について、私は降参しました……とほほ。
No.22784 2020/05/22(Fri) 20:41:00
☆ Re: 覆面算 / 田中
解けました.一部分表示します　JBBCCCCBBJ=8001111008

A/BC+D/EF+G/HI=1 の解答

５/３４＋７/６８＋９/１２＝１　です。前の2つの分数がまとまってぴったり1/4になる奇跡が起こるのです。すばらしい。
No.22785 2020/05/23(Sat) 00:21:40
☆ Re: 覆面算 / semirp
> A/BC+D/EF+G/HI=1 の解答
>
> ５/３４＋７/６８＋９/１２＝１　です。前の2つの分数がまとまってぴったり1/4になる奇跡が起こるのです。すばらしい。

おお！！


> 解けました.一部分表示します　JBBCCCCBBJ=8001111008

はい、正解です。
?@
10^0 の位から
A+C=10
がわかります。
（これは後で 10^7 の位を調べるときに【も】使います）

?A
10^9 の位をみると ここには 10^8 の位からの繰り上がりがあることがわかります。 10^8 の位では寄与しているのが表向きには２数です。更に 10^7 の位からの繰り上がり（最小０、最大２、ここではいったんkと表記）もまた寄与している可能性があります。すなわち
B+A+k=10+B
ここでkの値を評価するために 10^7 の位を調べるとそこにはAとCとが登場しています。?@より
A+C=10
ですから、
k not= 0
とわかります。
k は今のところ 1 または 2 です。
kが2でありうるかについて検証していきます。

B+A+2=10+B
A=8 となります。（同時にC=2となります）
10^7の位から10^8の位へ2だけ繰り上がると仮定していたのですが、10^6の位からの繰り上がりをmとすると
B+A+C+m=20+C
B+8+2+m=20+2
B+m=12
mは最大2ですからBが一桁の数ではなくなり不適です。kが2であるとするとBにあてはまる数がなくなるのでよろしくないということになります。

よって以後はkが1であることを前提に進みます。

B+A+k=10+B
A+1=10
より
A=9 と確定しました。
?@よりC=1も確定しました。
また、10^8の位から1繰り上がることに留意して10^9の位をみれば
J=8と確定します。

?B
10^0の位からの繰り上がりが1なので10^1の位をみれば
B+A+I+1=10+I
または
B+A+I+1=20+I
となりますが
後者は
B+9+I+1=20+I
B+9+1=20
B=10
となり不適、
前者からは
B+A+I+1=10+I
B+9+1=10
B=0
となり、これで確定です。

（続く）
No.22786 2020/05/23(Sat) 14:22:44
☆ Re: 覆面算 / semirp
?C
特徴的な 10^5 の位を解決したいので、その前に 10^4 の位からは繰り上がりがないことをまず示しておきます。
10^4 の位には E と F とが顔を出しています。
F については、これは 0 でも 1 でもありません。(∵B=0,C=1)
また、Eについては、これは 8 でも 9 でもありません。(∵J=8,A=9)
10^3 の位から 10^4 の位への繰り上がりを n とすると（0≦n≦2）
10^4 の位から 10^5 の位への繰り上がりが 1 になるためには以下の不等式を満たさなければなりません。
C+B+E+n=10+F
すなわち
1+0+E+2≧10+F
整理すると
E≧F+7
先に調べた通りF は、0 でも 1 でもなく、Eは、8 でも 9 でもないので
E≧F+7
とはなりえません。
このように 10^4 の位から 10^5 の位への繰り上がりが 1 になると仮定すると E の値が不適となるので、結論として、
10^4 の位から 10^5 の位から繰り上がりは無いことがわかりました。これでようやく 10^5 の位を解決する準備が整いました。
E=C+C+C=3 が確定しました。

?D
10^3の位からの繰り上がりは無いので
C+B+E=1+0+3=4
ゆえに
F=4 が確定しました。

?E
明らかに 10^1 の位から１だけ繰り上がっているので 10^2の位の計算から
B+F+C+1=0+4+1+1=6=H が確定しました。

?F
10^2の位からの繰り上がりはないので
C+C+E=1+1+3=5
G=5 が確定しました。

?G
10^6 の位には 10^5 の位からの繰り上がりがないので以下が成り立ちます。

C+F+I=1+4+I=5+I
この計算結果が
D+10 になる。
∵10^7の位の計算は10^6からの繰り上がりが1であることを要求しているので

5+I=D+10
I=D+5
I=7、D=2 が確定する。


と、以上のように解けます。
No.22787 2020/05/23(Sat) 20:46:08
★ 指数分布の指数という名前について / roswell
今、指数分布を理解しようとしています。
素朴？な (分かっていないだけ？) 疑問で、
指数分布の "指数" という言葉は、何を以て、 *指数* とっているのですか？
確率密度関数 f(x) = λe^(-λx) が、e の指数形式だからですか？
ポアソン分布 は、ポアソンっていう人が考えたからと分かるのですが...
ご教示いただけますでしょうか？
No.22766 2020/05/12(Tue) 00:00:45
★ 図形分割問題。 / 田中
久しぶりに投稿させていただきます。
2つの合同な正方形を、線分で分割し、組みなおすと
２倍の面積をもつ1つの正方形をつくることができます。
(対角線を使えば、簡単)

では、2つの合同な正三角形で、同様なことは、できるか。
２倍の面積をもつ正三角形は、どのような図形の集まりに
なるでしょう。
No.22761 2020/05/11(Mon) 05:04:50
☆ Re: 図形分割問題。 / らすかる
例えば↓このようにすればできます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/image/tr2totr1.jpg
No.22762 2020/05/11(Mon) 08:19:24
☆ Re: 図形分割問題。 / 田中
自分は、ずーと、数日間考えで、√2の辺をどこにつくるか、など、試行錯誤してました。おそれいりました。らすかる様。ありがとうございます。
No.22763 2020/05/11(Mon) 13:14:59
☆ Re: 図形分割問題。 / らすかる
参考までに、分割線の作図法も考えました。
正三角形ABCにおいて
(1)Cを中心としてA,Bを通る円を描く。
(2)ACの延長と円Cの交点をDとする。
(3)Bを中心としてA,Cを通る円と円Cの交点のうちAでない方をEとする。
(4)線分AEを描き、BCとの交点をFとする。
(4)Eを中心としてDを通る円と線分AEの交点をGとする。
(5)Dを中心としてGを通る円と線分ACの交点をHとし、線分BHを描く。
(6)Fを中心としてBを通る円と線分AFの交点をIとする。
(7)Bを中心としてIを通る円と線分ABの交点をJとする。
(8)Cを中心としてJを通る円と線分ABの新しい交点をKとする。
(9)Kを中心としてJを通る円と線分BHの交点をLとし、線分KLを描く。
(10)Aを中心としてJを通る円と線分ACの交点をMとし、線分JMを描く。
これで線分BH,KL,JMが分割線になります。
No.22765 2020/05/11(Mon) 20:48:29
★ 三角関数の方程式 / あほうどり
東大2020理系第六問を解いていてふと思って考えていた問題なのですが、
sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
はどう解きますか？
X=θ+π/4
と置き換えれば解けますが、少し技巧的な気もしています。
スタンダードな解法を考えています。
皆さんはどう解かれますか？
No.22759 2020/05/10(Sun) 23:51:06
☆ Re: 三角関数の方程式 / らすかる
x=θ+π/4と置き換えるのが最もスタンダードな「模範解答」に思えます。
x=θ+π/4と置き換えると
sin2θ-sin(θ+π/4)=0
sin(2x-π/2)-sin(x)=0
-cos(2x)-sin(x)=0
2(sin(x))^2-sin(x)-1=0
(2sinx+1)(sinx-1)=0
sinx=1,-1/2
x=(2n+1/2)π,(2n+7/6)π,(2n+11/6)π
∴θ=(2n+1/4)π,(2n+11/12)π,(2n+19/12)π

他の方法としては、例えば

sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
sin(2θ)=sin(θ+π/4)
2θ-(θ+π/4)=2nπ, {2θ+(θ+π/4)}/2=(n+1/2)π
これを解いて
θ=(2n+1/4)π,(2n+11/12)π,(2n+19/12)π

とか

sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
sin(2θ)=sin(θ+π/4)
sin(2θ)sin(θ+π/4)≧0(※)
かつ{sin(2θ)}^2={sin(θ+π/4)}^2={1-cos(2θ+π/2)}/2={1+sin(2θ)}/2
(※)かつ2{sin(2θ)}^2-sin(2θ)-1=0
(※)かつ{2sin(2θ)+1}{sin(θ)-1}=0
(※)かつsin(2θ)=1,-1/2
(※)かつ2θ=(2n+1/2)π,(2n+7/6)π,(2n+11/6)π
(※)かつθ=(n+1/4)π,(n+7/12)π,(n+11/12)π
(※)かつθ=(2n+1/4)π,(2n+5/4)π,(2n+7/12)π,(2n+19/12)π,(2n+11/12)π,(2n+23/12)π
∴θ=(2n+1/4)π,(2n+19/12)π,(2n+11/12)π
No.22760 2020/05/11(Mon) 01:05:16
☆ Re: 三角関数の方程式 / あほうどり
sin( )=sin( )の形にしたり,
2θで合わせてみたりしても,確かに解けますね.
ありがとうございます.
No.22764 2020/05/11(Mon) 20:17:31
★ 不定方程式 / su
1151 x^2+7310 x y+1040 x+9455 y^2+2960 y+160=0の整数解を全て求めて下さい；
No.22758 2020/05/10(Sun) 21:09:46
★ ７人の死刑囚と７色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
パズルです。先日の「７人の死刑囚と８色の帽子」とは設定が異なります。

とある独裁国。かねてよりの独裁者による命令があり、賢い死刑囚には恩赦が与えられて解放されることになっている。
とある刑務所には７人のとても賢い死刑囚がいる。
彼らの処刑予定日は明日だ。
賢さを認めて恩赦を与えるべきなのかどうか決定するために刑務所長が次のようなテストを考えた。

７色の帽子を用意する。赤、橙、黄、緑、青、藍、紫の色の帽子が７つづつあり、死刑囚たちはこのことを教えられる。
処刑の前に死刑囚たちはいったん１室に集められ、目隠しをされ、帽子をかぶらせられ、そして目隠しをはずされる。
死刑囚たちが被った帽子の色は、全て異なるかもしれないが、そうである必要はない。（各色ともに帽子は７つづつあるから。）
死刑囚たちは自分以外の帽子の色は見ることができるが、自分の帽子の色は見ることができない。
死刑囚同士の間では、互いの帽子の色を教えあうようないかなるコミュニケーションも禁じられる。
各死刑囚は、自分の帽子の色について推定し紙に書いて、ひとりづつ刑務所長に渡す。もちろん、各死刑囚は他の死刑囚が書いた紙の内容を知るすべはない。
少なくとも１人の死刑囚が自分の帽子の色を紙に書いていれば【全員が恩赦を受けて】死刑は中止になり、刑務所から解放される。


以上のようなテストを決めた刑務所長は、明日に処刑予定の７人の死刑囚を所長室に集めてテスト内容を説明する。
また、本日中であるならば死刑囚たちは自分達が恩赦を受けられるように事前に取り決めを交わしておくことが許されている。

死刑囚全員が恩赦を確実に受けられるような取り決めは存在するだろうか。

※実はこのパズルとその解とが書いてある某パズル本を入手してあります。本質が変わらないようにしながら文面を変え翻案したのちに投稿しております。

私は、独力では解けませんでした（テヘペロ【死語】）
数学力が必要なようです。
No.22756 2020/04/10(Fri) 00:07:10
☆ Re: ７人の死刑囚と７色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
各色に0から6までの数値をあてがいます。たとえば 赤=0、橙=1、黄=2、緑=3、青=4、藍=5、紫=6など。
死刑囚全員の帽子の色の数値の総和Ｓについて刑務所長は知っていますが各死刑囚は知りません。同じことですが Ｔ＝Ｓ％７ （Ｓを７で割ったときの余り）について刑務所長は知っていますが各死刑囚は知りません。仮にＴの値を刑務所長が特定のひとりの死刑囚に教えればその死刑囚は自分の帽子の色を確実に言い当てることができることは明白です。ところが本問においては刑務所長は各死刑囚にＴの値を教えませんから、Ｔの値の取りうる範囲、すなわち、０,１,２,３,４,５,６のうちどれかについてヤマをはって自分の帽子の色の推定値を紙に書き出して刑務所長に渡すしかありません。
死刑囚全員が事前に取り決めをして協調行動をとらない限り【少なくとも誰かひとりが色を言い当てる】事象が発生する確率は、1-(6/7)^7ですからおよそ66%です。
さて、死刑囚たちが事前に取り決めを交わして【少なくとも誰かひとりが色を言い当てる】確率を100％にするためには、【少なくとも誰かひとりが色を言い当てている場合には他の６人は色をはずす】必要があります。こうした協調行動を目的に以下の通りに事前取り決めをします。
囚人たちは０から６までの互いにユニークな番号をつけあいます。この番号をｉとしましょう。
番号ｉの死刑囚は Ｔ＝Ｓ％７＝ｉ と仮定して、自分の帽子の色の数値を計算して紙に書いて刑務所長に渡します。
死刑囚全員の紙が所長に渡されたときに、どれか１枚の紙のみに書かれた帽子の色は、必ず当たっています。Ｔ＝Ｓ％７について７通りの仮定をたてていますからどれかひとつの仮定は当たっています。その当たった仮定のもとで計算した特定のひとりの死刑囚は自分が書いた帽子の色が当たっています。こうして死刑囚全員は恩赦による釈放を勝ち取れます。
No.22757 2020/04/11(Sat) 14:09:38
★ 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
連続する（ある条件を満たす）自然数の立方数の差についていくつか素因数分解をしてみたところ奇妙な現象があらわれました。

n を 非負整数とします。

数列 a(n) を次のように定義します。

a(n) = (2n(n +1) +1)^3 -(2n(n +1))^3

a(n) は連続する２つの非負整数の立方数の差になっていますが、より小さい方の整数は矩形数の２倍（三角数の４倍）となっています。
（ただし今回は 0 は三角数でもあり矩形数でもあると約束しておきます。）

小さめの n についていくつか計算し素因数分解してみました。

a(0) = 1 = (6*0 +1)
a(1) = 61 = (6*10 +1)
a(2) = 469 = (6*1 +1)*(6*11 +1)
a(3) = 1801 = (6*300 +1)
a(4) = 4921 = (6*1 +1)*(6*3 +1)*(6*6 +1)
a(5) = 10981 = (6*13 +1)*(6*23 +1)
a(6) = 21421 = (6*5 +1)*(6*115 +1)
a(7) = 37969 = (6*7 +1)*(6*147 +1)

上記の通り a(n) を素因数分解すると、各素因数はいずれも 6 で割ると 1 あまるようにみえます。

投稿スペースを考えて n = 0 から 7 までを例示しました。他にもいくつか計算しましたが私が非力なためか例外をみつけるにいたっておりません。

不可思議な現象にみえますけれども理由がわからないでいます。

ご教示頂ければ幸いです。
No.22746 2020/04/02(Thu) 21:34:07
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / 陳
a(n)を素因数分解すると、「６で割ると１余る」ことの理由が分からないということについて、解答します。


x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)…(1)

x=y+1とおくと、

(1)式は、3y^2+3y+1となる。

ここで、y=2n(n+1)とおくと、(1)式は６で割って１余る数です。
No.22747 2020/04/03(Fri) 14:08:09
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
陳さん。応答、有り難うございます。

> a(n)を素因数分解すると、「６で割ると１余る」ことの理由が分からないということについて、解答します。
>
>
> x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)…(1)
>
> x=y+1とおくと、
>
> (1)式は、3y^2+3y+1となる。
>
> ここで、y=2n(n+1)とおくと、(1)式は６で割って１余る数です。


陳さんが仰ることは以下と等価であると思います。

a(n) = (2n(n +1) +1)^3 -(2n(n +1))^3 = 12n^4 +24n^3 +18n^2 +6n +1 = 6(2n^4 +4n^3 +3n^2 +n) +1
であるから、 a(n) を 6 で割ると 1 余る。

私が知りたいのは、「a(n) を 6 で割ると 1 余る」理由ではなくて、「a(n) を素因数分解したときに、各素因数（=素数）が悉く 6 で割ると 1 余る」理由なのです。

ある自然数からなる数列、b(n) が 任意の n について 6 で割ると 1 余るとしましょう。

例えば
b(n) = (6n +5)(12n +5)
は、この条件を満たします。

b(2) = 493 = 17*29
ですが、17 や 29 は 1 と合同ではありません。 (mod 6)

a(n) では私が試した限りでは、全ての素因数が 1 と合同のようにみえます。 (mod 6)
No.22748 2020/04/03(Fri) 17:11:54
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / らすかる
理由はわかりませんが、「素因数が6n+1型の素数のみ」は正しいようです。
↓こちらは「素因数が6n+1型の素数のみである数」の列です。
http://oeis.org/A004611
このCOMMENTSの4段落目に
「z^2=x^2+xy+y^2かつgcd(x,y,z)=1を満たすようなz」も同じ数列になる
と書かれていますが、
z=(2n(n+1)+1)^3-(2n(n+1))^3
x=4n(n+1)(3n^2+3n+1)
y=(2n+1)^2
とするとz^2=x^2+xy+y^2が成り立ち、
またこのとき3y^2-2y-4x=1ですから
gcd(x,y,z)=1も満たしています。
従ってz=(2n(n+1)+1)^3-(2n(n+1))^3の値はこの数列に含まれ、
素因数が6n+1型の素数のみであることがわかります。
「素因数が6n+1型の素数のみである数」の集合と
「z^2=x^2+xy+y^2かつgcd(x,y,z)=1を満たすようなz」の集合が
一致することに関してその下に書かれていますが、よくわかりませんでした。
No.22749 2020/04/03(Fri) 19:29:40
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
らすかるさん、大変に貴重な御助言をまことに有り難うございます。
実験にすぎなかったことに肯定的な筋道がたってありがたかったです。
また、お陰様で以下の通り、判明いたしました。

まず第一に、私の思い込みにて、

a(n) = (2n(n +1) +1)^3 -(2n(n +1))^3

なる数列が特殊なのだという先入観がありましたが、実際には、

c(m) = (m +1)^3 -(m)^3

にて、各素因数が 6k+1型 になるのでした。

第２にその確認ですが、以下の通りです。

p が (3m^2 +3m +1) の素因数であるとします。すなわち

3m^2 +3m +1 == 0 (mod p)

ただしここで、明らかに p は 2 でも 3 でもないことに留意しておきます。

このとき

(6m + 3)^2 +3 = 36m^2 +36m +12 = 12(3m^2 +3m +1)

ですから

(6m + 3)^2 +3 == 0 (mod p)

が言えます。

一方、「3 と異なる奇素数 q に対して、q が x^2 +3 を割り切るような整数 x が存在することと、q が 6 を法として 1 に合同であることは同値である。」ことが【平方剰余の相互法則】から導かれます。（注１）

x を、(6m + 3)、q を p と置き換えて考えればよくて、

(3m^2 +3m +1) の素因数である p について

p == 1 (mod 6)

といえることになります。

【注１】平方剰余の相互法則（Wikipedia）
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E7%9B%B8%E4%BA%92%E6%B3%95%E5%89%87

※生まれて初めて平方剰余の相互法則を使いました。存在は知っていましたが頭の片隅で化石になっておりました。

らすかるさん、このたびはまことにありがとうございました。

ところで「素因数が6n+1型の素数のみである数」の集合と「z^2=x^2+xy+y^2かつgcd(x,y,z)=1を満たすようなz」の集合が一致することの証明は私には難物のようです。
No.22750 2020/04/04(Sat) 14:18:26
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
余談ながら、なぜこの変な a(n) を素因数分解しようとしていたかお話させてください。

n = (3(2k +1)^2 -1)/2
n +1 = (3(2k +1)^2 +1)/2

と置いて、n と (n +1) とが互いに素、その和と積とは互いに素、を確認しておいて

2n +1 = 3(2k +1)^2
n(n +1) = (1/4)(9(2k +1)^4 -1)

次に連続する自然数についてそれぞれの立方数を求めて加えたものが、平方数になりえるかについて調べておりました。

n^3 +(n +1)^3
= (2n +1)(n^2 +n +1)
= [3{(2k +1)^2}][3{(2k(k +1) +1)^3 -(2k(k +1) +0)^3}]

(n^3 +(n +1)^3)が平方数となるものを探すために
{(2k(k +1) +1)^3 -(2k(k +1) +0)^3} が平方数であるものを探したいというわけです。(たぶんありません。)

とりあえず素因数分解してパターンを見たかったところで 素因数が 6k+1 で表せることに気がついた、という次第です。

ところで一般に(m +1)^3 -(m)^3が平方数であることもありえて、その場合には
(m +1)^3 -(m)^3 = (t^2 +(t +1)^2)^2 のようなtが存在している、またその形に限ることが知られていまして…

m が 2k(k +1) のタイプのものがみつかるかどうかもあれこれいじっています。

余談を終わります。
No.22751 2020/04/04(Sat) 14:38:09
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
(m +1)^3 -m^3 = (t^2 +(t +1)^2)^2

となるような t について t ≦ 10^7 の範囲での 一覧を下記に示します。

0
2
9
35
132
494
1845
6887
25704
95930
358017
1336139
4986540

今回、あらためまして
t^2 +(t +1)^2 == 1 (mod 6)
であることをたった今、上記の範囲内で検算いたしまして、無事に終わりました。

m に 2k(k +1) で表すことができるものがあるかどうか、考えあぐねております。
No.22752 2020/04/04(Sat) 22:33:19
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
らすかるさんへ。

> ↓こちらは「素因数が6n+1型の素数のみである数」の列です。
> http://oeis.org/A004611


よくみたら A004611(n) は「素因数が 3n+1型 の素数のみである数」ですね。

Divisible only by primes congruent to 1 mod 3.

if a prime p divides n, then p == 1 mod 3.

とありますので。
Also z such that z^2 = x^2 + x*y + y^2 and gcd(x,y,z) = 1.

とあるのも「素因数が 3n+1型 の素数のみである数」の集合と一致する、ということになります。

ところが、
A004611(1) から A004611(55) までは確かに「素因数が 6n+1型 の素数のみである数」になっています。

訳がわかりません……
No.22753 2020/04/06(Mon) 10:13:39
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / らすかる
「3n+1型 の素数」と「6n+1型 の素数」は全く同じ集合ですね。
「3n+2型 の素数」と「6n+5型 の素数」は一致しませんが。
No.22754 2020/04/06(Mon) 11:15:47
☆ Re: 連続する（特殊な）自然数の立方数の差の素因数分解 / かっちい
> 「3n+1型 の素数」と「6n+1型 の素数」は全く同じ集合ですね。
> 「3n+2型 の素数」と「6n+5型 の素数」は一致しませんが。


ごもっともでした。
らすかるさん、有り難うございます。

n > 0 の整数において
3n+1型 が素数ならば それは奇素数なのであって、 3n は偶数、 n = 2m とでもおけば 6m+1型 の素数なのでした。

こんなことも直ぐに判らないようでは本当に馬鹿な私です。
No.22755 2020/04/06(Mon) 13:19:34
★ 高校1年 確率 / 野菜
1〜6が等確率で出るサイコロを用いてすごろくを行うとき、ゴールのnマス手前からぴったりゴールできる(通り過ぎると不可)確率をP(n)とする。
nを限りなく大きくしたとき、どのような値に近づくか。

この問題なのですが、詳細は省略しますが、

　1≦n≦6のとき　P(n)＝(1/6)(7/6)^(n-1)
　n≧7のとき　P(n)＝(1/6)(P(n-6)+P(n-5)+P(n-4)+P(n-3)+P(n-2)+P(n-1))

となるので、n≧7のときはP(n)は前6回の平均なので、nを限りなく大きくしたとき何かの値に近づきそうなのですが。
よろしくお願いします。
No.22738 2020/03/26(Thu) 13:40:02
☆ Re: 高校1年 確率 / らすかる
1回に進む平均マス数は7/2なので、無限の長さの場合に
特定のマスに止まる確率は2/7となります。
従って質問の答えは2/7です。
No.22739 2020/03/26(Thu) 16:11:28
☆ Re: 高校1年 確率 / かっちい
「すごろくが後戻りなしで上がれる確率」 では 煩雑な漸化式を解くやり方でも計算できて、それがらすかるさんによる解法によるものと一致している旨、解説しています。

http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/31_sugoroku.htm
No.22740 2020/03/26(Thu) 16:21:16
☆ Re: 高校1年 確率 / 野菜
>>らすかる様
たしかにサイコロの期待値が7/2なのでそうなりますね。どうもありがとうございました。

>>かっちい様
７項間漸化式と極限の話がとても納得できました。どうもありがとうございました。
No.22742 2020/03/27(Fri) 00:15:46
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