数学の部屋BBS

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質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

★ 極限 / 風邪

引用

n→∞ an→α≠0のとき
∃δ>0;∀n∈N;|an|>=δ を証明してください

No.22777 2020/05/17(Sun) 16:09:42

☆ Re: 極限 / semirp

引用

> n→∞ an→α≠0のとき
> ∃δ>0;∀n∈N;|an|>=δ を証明してください

この命題は偽ですね。∀n∈N; あたりがおかしいです。よって証明はできません。
十分に大きな自然数nであれば |an|>=δ なのですけれども。

一番簡単な反例は、a1=0 で n→∞ で an→α≠0 なる数列でしょうか。

|a1|=0 ですから
任意のnについて
|an|>=δ>0
ということはないでしょう。

No.22779 2020/05/18(Mon) 22:05:33

☆ Re: 極限 / semirp

引用

あっ。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=85502

で回答がありますね。この回答でもよいのではないでしょうか。

No.22780 2020/05/18(Mon) 22:13:10

★ 覆面算 / 田中

引用

手ごたえのある覆面算がありましたのでご紹介します。
これは、ピーターフランクル氏のテレビ講座のテキストに載っていたもので、解答がなく、自力で解こうと取り組みました。一応解けました。
問題
　　A～I は、1～9の整数とする。

　　A/BC+D/EF+G/HI=1 となるA～I を定めよ。

もちろん　上のBCなどは、B*Cではなく、23とか12などの
２桁の数のことです。

No.22767 2020/05/15(Fri) 09:34:04

☆ Re: 覆面算 / 黄桃

引用

覆面算というより小町算の一種ですね（wikipedia の小町算の項は一番狭い意味しかとりあげてませんが）。1-9,あるいは0-9の数字を１つずつ使ってある数を表したり、等式を作ったりする問題も小町算と呼ばれます。

＃「小町算、分数、1 」で検索すると答がでてきます。

ちなみに、中公新書「数理パズル」によれば、
A/B+CDEF/GHIJ=1
という0-9を１つずつ使ってこの形で１を表す例があります。
なお、
AB/CD+EFG/HIJ=1
だと、解は5つあるようです。

No.22768 2020/05/15(Fri) 22:31:55

☆ Re: 覆面算 / 田中

引用

黄桃さま、内容を深めていただきありがとうございました。
当方、このような問題は、新鮮に感じてとても興味がわいた
次第です。どう考えても、1には、ならないだろうという感触
でまとめていくとうまく約分できてぴったり1になる爽快感が
ありました。
最後にあった式の解の1つ

　　56/84+307/921=1

307は、素数です。とても面白いです。

No.22769 2020/05/15(Fri) 23:57:03

☆ Re: 覆面算 / らすかる

引用

> ちなみに、中公新書「数理パズル」によれば、
> A/B+CDEF/GHIJ=1
> という0-9を１つずつ使ってこの形で１を表す例があります。
> なお、
> AB/CD+EFG/HIJ=1
> だと、解は5つあるようです。

これって出題者が（たまたま）見つけた解を書いているだけじゃないですかね？
解は以下のようにたくさんあります。

A/B+CDEF/GHIJ=1の解は
1/2+3485/6970=1　　1/6+7835/9402=1　　3/6+2709/5418=1
1/2+3548/7096=1　　1/7+4362/5089=1　　3/6+2907/5814=1
1/2+3845/7690=1　　2/4+3079/6158=1　　3/6+4851/9702=1
1/2+4538/9076=1　　2/6+3190/4785=1　　4/5+1278/6390=1
1/2+4685/9370=1　　2/7+5940/8316=1　　4/5+1872/9360=1
1/2+4835/9670=1　　2/7+6810/9534=1　　7/9+1208/5436=1
1/2+4853/9706=1　　2/9+5803/7461=1　　7/9+1352/6084=1
1/2+4865/9730=1　　3/6+1485/2970=1
1/4+7365/9820=1　　3/6+2079/4158=1
の25個

AB/CD+EFG/HIJ=1の解は
10/28+369/574=1　　24/63+507/819=1　　38/95+426/710=1
10/45+287/369=1　　24/96+531/708=1　　39/51+204/867=1
10/45+728/936=1　　27/54+309/618=1　　39/65+284/710=1
10/96+473/528=1　　27/81+306/459=1　　42/87+315/609=1
12/54+609/783=1　　27/81+630/945=1　　45/61+208/793=1
12/60+748/935=1　　29/58+307/614=1　　45/90+138/276=1
12/96+357/408=1　　29/87+310/465=1　　45/90+186/372=1
12/96+735/840=1　　31/62+485/970=1　　45/90+381/762=1
13/26+485/970=1　　32/48+169/507=1　　46/92+185/370=1
13/52+678/904=1　　32/80+417/695=1　　48/96+135/270=1
15/30+486/972=1　　34/51+269/807=1　　48/96+351/702=1
16/32+485/970=1　　35/70+148/296=1　　54/87+231/609=1
17/89+504/623=1　　35/70+481/962=1　　56/84+109/327=1
18/90+276/345=1　　36/81+405/729=1　　56/84+307/921=1
18/90+372/465=1　　36/81+540/972=1　　57/92+140/368=1
19/57+308/462=1　　38/61+207/549=1　　70/96+143/528=1
19/58+273/406=1　　38/76+145/290=1　　74/89+105/623=1
21/96+375/480=1　　38/76+451/902=1
の53個

# こういう小町算の問題に対応する自分用の汎用のプログラムが
# 作ってありますので、簡単に全解が得られます。

No.22770 2020/05/16(Sat) 00:58:27

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

横から失礼いたします。以下の問題は解がひとつになりますか？

問題
　　A～J は、0～9の整数とする。

　　AB/CD+EF/GHIJ=1 となるA～J を定めよ。

上のBCなどは、B*Cではなく、23とか12などの
２桁の数のことです。

No.22771 2020/05/16(Sat) 21:22:37

☆ Re: 覆面算 / らすかる

引用

> AB/CD+EF/GHIJ=1
はい、一つです。

No.22772 2020/05/16(Sat) 21:24:32

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

> > AB/CD+EF/GHIJ=1
> はい、一つです。

らすかるさん。あまりにも素早い御回答に驚きました。おみそれいたしました。

御回答をまことに有り難うございました。

No.22773 2020/05/16(Sat) 21:28:39

☆ Re: 覆面算 / 田中

引用

当方の載せた話題で、多くの皆さんから新しい問題などに接することができました。感謝申し上げます。semirp様の厳しい条件の式・・・。これは無理だろうと思いましたが、プログラムを組んでやってみると、プログラムが動いてからしばらくしてから　ただ1つの解が表示されました。　答えはだだ1つ求まります。　すぐに載せると失礼かと思いますので書きませんが、分母に素数のあるもので、傑作な数でした。わたしの最初に出した問題も、ご要望があれば解答を表示いたします。

No.22774 2020/05/16(Sat) 23:51:33

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

では私からも覆面算を。ただし解き味は最悪ですけれども。スカッとしません。

30未満の素数をダラダラとつなげた以下の数について。

2357111317192329

これにまつわる覆面算を提示させて頂きます。

2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG

ええとですね、AからIまでしか使っていない点が興味深くまた回文数の和になっているところも興味深いと思われます。

唯一解となるかどうかは未検証です。

No.22775 2020/05/17(Sun) 01:47:53

☆ Re: 覆面算 / らすかる

引用

唯一解でした。

No.22776 2020/05/17(Sun) 03:51:02

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

らすかるさん。
> 唯一解でした。

とのこと、ご検討を有り難うございます。

さて、回文を組み合わせた覆面算の作成ですが、試みとしては失敗作の範疇にはいるかもしれません。

2357111317192329
と
ADEACEFDFECAEDA
とは、11を法として合同であることがすぐに見てとれる筈ですが（注）、それがわかったところで覆面算を解くことに見通しがとりたてて良くなるわけでもなく（狙ったもののうまくいきませんでした）わざわざ回文を取り入れた仕掛けとしては失敗しております。

※注：偶数桁の回文数は11を法として0に合同ですので。

No.22778 2020/05/17(Sun) 20:23:30

☆ Re: 覆面算 / 田中

引用

semirpさんの2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG

これやってみました。ずっと答えが出ませんでしたが、A～I
の数字は、1から9のことではなく0から9での整数のうちの９個のことでしょうか。その条件ならただ一つ答えができました。
使われていないのは、6　でした。正解でしょうか。

No.22781 2020/05/20(Wed) 13:01:04

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

> semirpさんの2357111317192329=ABCBBBBBBBBBBCBA+ADEACEFDFECAEDA+GEHDIHAAHIDHEG
>
> これやってみました。ずっと答えが出ませんでしたが、A～I
> の数字は、1から9のことではなく0から9での整数のうちの９個のことでしょうか。その条件ならただ一つ答えができました。
> 使われていないのは、6　でした。正解でしょうか。

はい、使われていない数字は 6 でした。

ふりかえりますと、田中さんによる当初のお題が〈問題　　A～I は、1～9の整数とする。（以下略）〉だったのですね、当方からの出題ではもう少し細かく意図を説明して出題すべきであったと反省しております。大変失礼いたしました。

解法の概略を以下に示します。

第一段階
和の10^15の位が2であることから、Aは 1 ないし 2 であるとわかります。どちらであるか。
仮にAが1ならば10^14の位の計算で繰り上がりが発生していることになります。 10^14の位の計算には、10^13の位の計算による最大2の繰り上がりを加味したとしても、
B+A+2 = 13
で、これを満たす(B,A=1)の組み合わせはありません。
10^13の位の計算による繰り上がりが1であれば
B+A+1 = 13
ですからこれもありえません。
従って
A=2
が確定しました。

第二段階
10^0の位の計算結果が9ですから
G=5
が確定します。

第三段階
10^13の位の計算結果が5です。
10^13の位にはCDGが並んでいますから、G=5(確定済み)を考えると、必ず10^14への繰り上がりが発生することとなります。
10^14の位の計算結果が3ですから、先の繰り上がりによる寄与を考えると
B=0
が確定します。

※このB=0が早めにわかることが大きくて、実質的に多くの各桁の和が３数ではなく２数の和を考えればよくなり、また、繰り上がりも2について意識しなくてすむようになります。一挙に場合分けが少なくてすむようになり、あとは簡単な数合わせとなります。

第四段階
10^11の位に注目して H を確定させます。
それには10^10の位の計算結果が1になっているこっから確実にここから繰り上がりを受けていることを意識して
B+A+H+1=11
を見いだし、
0+2+H+1=11
から
H=8
を確定します。

第五段階
10^8の位に注目して F を確定させます。
10^7の位から確実に繰り上がりが発生していることを指摘してもよいですが、
B+H+F(+1)=3(+10)
0+8+F(+1)=3(+10)
で、F not= 5 (∵G=5) で
F=4
を確定してもいいですね。

第六段階
10^12の位に注目して E を確定させます。
H=8 なので E not= 8 です。
すると
B+E+E+1=7
から
E=3
が確定します。

第七段階
10^1の位に注目して D を確定させます。明らかに
B+D+E=12
ですから
0+D+3=12
すなわち
D=9
が確定します。

第八段階
10^13の位に注目して C を確定させます。
10^12の位からの繰り上がりは発生していませんから、
C+D+G=15
C+9+5=15
より
C=1
が確定します。

第九段階
ここまでわかればIが7であることは確実です。
実際、10^3の位からの繰り上がりに留意すれば、10^5への位への繰り上がりが無いこともあわせて、
B+C+I+1=9
0+1+I+1=9
となり
I=7
が確定します。

以上が解法の概略です。

最初だけ慎重に検討してB=0までわかれば一本道となっています。

以上となります。

No.22782 2020/05/20(Wed) 22:07:33

☆ Re: 覆面算 / 田中

引用

semirp様
ていねいな、的確な解答ありがとうございます。
自分の場合、数は0も良いのだろうと決めて、
絶対 A=2,G=5,B=0 だろう・・で、突っ走ったら意外うまくとほどけていくのを感じました。
後半、はて、6がないなと思いましたが、あたりまえかと思った次第です。　
偶数桁の回文数が11で割れることなど教えていただきなるほど面白いと感じました。

No.22783 2020/05/21(Thu) 00:36:12

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

調子に乗りましてもう一題をば。

JBBCCCCBBJ+AAFCBCFAA+CICEECIC=ABCDEFGHIJ

同工異曲です。(私の解き方では10^4の位の処理が面倒でした)

※田中さんによる御出題、
A/BC+D/EF+G/HI=1
について、私は降参しました……とほほ。

No.22784 2020/05/22(Fri) 20:41:00

☆ Re: 覆面算 / 田中

引用

解けました.一部分表示します　JBBCCCCBBJ=8001111008

A/BC+D/EF+G/HI=1 の解答

５/３４＋７/６８＋９/１２＝１　です。前の2つの分数がまとまってぴったり1/4になる奇跡が起こるのです。すばらしい。

No.22785 2020/05/23(Sat) 00:21:40

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

> A/BC+D/EF+G/HI=1 の解答
>
> ５/３４＋７/６８＋９/１２＝１　です。前の2つの分数がまとまってぴったり1/4になる奇跡が起こるのです。すばらしい。

おお！！

> 解けました.一部分表示します　JBBCCCCBBJ=8001111008

はい、正解です。
?@
10^0 の位から
A+C=10
がわかります。
（これは後で 10^7 の位を調べるときに【も】使います）

?A
10^9 の位をみるとここには 10^8 の位からの繰り上がりがあることがわかります。 10^8 の位では寄与しているのが表向きには２数です。更に 10^7 の位からの繰り上がり（最小０、最大２、ここではいったんkと表記）もまた寄与している可能性があります。すなわち
B+A+k=10+B
ここでkの値を評価するために 10^7 の位を調べるとそこにはAとCとが登場しています。?@より
A+C=10
ですから、
k not= 0
とわかります。
k は今のところ 1 または 2 です。
kが2でありうるかについて検証していきます。

B+A+2=10+B
A=8 となります。（同時にC=2となります）
10^7の位から10^8の位へ2だけ繰り上がると仮定していたのですが、10^6の位からの繰り上がりをmとすると
B+A+C+m=20+C
B+8+2+m=20+2
B+m=12
mは最大2ですからBが一桁の数ではなくなり不適です。kが2であるとするとBにあてはまる数がなくなるのでよろしくないということになります。

よって以後はkが1であることを前提に進みます。

B+A+k=10+B
A+1=10
より
A=9 と確定しました。
?@よりC=1も確定しました。
また、10^8の位から1繰り上がることに留意して10^9の位をみれば
J=8と確定します。

?B
10^0の位からの繰り上がりが1なので10^1の位をみれば
B+A+I+1=10+I
または
B+A+I+1=20+I
となりますが
後者は
B+9+I+1=20+I
B+9+1=20
B=10
となり不適、
前者からは
B+A+I+1=10+I
B+9+1=10
B=0
となり、これで確定です。

（続く）

No.22786 2020/05/23(Sat) 14:22:44

☆ Re: 覆面算 / semirp

引用

?C
特徴的な 10^5 の位を解決したいので、その前に 10^4 の位からは繰り上がりがないことをまず示しておきます。
10^4 の位には E と F とが顔を出しています。
F については、これは 0 でも 1 でもありません。(∵B=0,C=1)
また、Eについては、これは 8 でも 9 でもありません。(∵J=8,A=9)
10^3 の位から 10^4 の位への繰り上がりを n とすると（0≦n≦2）
10^4 の位から 10^5 の位への繰り上がりが 1 になるためには以下の不等式を満たさなければなりません。
C+B+E+n=10+F
すなわち
1+0+E+2≧10+F
整理すると
E≧F+7
先に調べた通りF は、0 でも 1 でもなく、Eは、8 でも 9 でもないので
E≧F+7
とはなりえません。
このように 10^4 の位から 10^5 の位への繰り上がりが 1 になると仮定すると E の値が不適となるので、結論として、
10^4 の位から 10^5 の位から繰り上がりは無いことがわかりました。これでようやく 10^5 の位を解決する準備が整いました。
E=C+C+C=3 が確定しました。

?D
10^3の位からの繰り上がりは無いので
C+B+E=1+0+3=4
ゆえに
F=4 が確定しました。

?E
明らかに 10^1 の位から１だけ繰り上がっているので 10^2の位の計算から
B+F+C+1=0+4+1+1=6=H が確定しました。

?F
10^2の位からの繰り上がりはないので
C+C+E=1+1+3=5
G=5 が確定しました。

?G
10^6 の位には 10^5 の位からの繰り上がりがないので以下が成り立ちます。

C+F+I=1+4+I=5+I
この計算結果が
D+10 になる。
∵10^7の位の計算は10^6からの繰り上がりが1であることを要求しているので

5+I=D+10
I=D+5
I=7、D=2 が確定する。

と、以上のように解けます。

No.22787 2020/05/23(Sat) 20:46:08

★ 図形分割問題。 / 田中

引用

久しぶりに投稿させていただきます。
2つの合同な正方形を、線分で分割し、組みなおすと
２倍の面積をもつ1つの正方形をつくることができます。
(対角線を使えば、簡単)

では、2つの合同な正三角形で、同様なことは、できるか。
２倍の面積をもつ正三角形は、どのような図形の集まりに
なるでしょう。

No.22761 2020/05/11(Mon) 05:04:50

☆ Re: 図形分割問題。 / らすかる

引用

例えば↓このようにすればできます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/image/tr2totr1.jpg

No.22762 2020/05/11(Mon) 08:19:24

☆ Re: 図形分割問題。 / 田中

引用

自分は、ずーと、数日間考えで、√2の辺をどこにつくるか、など、試行錯誤してました。おそれいりました。らすかる様。ありがとうございます。

No.22763 2020/05/11(Mon) 13:14:59

☆ Re: 図形分割問題。 / らすかる

引用

参考までに、分割線の作図法も考えました。
正三角形ABCにおいて
(1)Cを中心としてA,Bを通る円を描く。
(2)ACの延長と円Cの交点をDとする。
(3)Bを中心としてA,Cを通る円と円Cの交点のうちAでない方をEとする。
(4)線分AEを描き、BCとの交点をFとする。
(4)Eを中心としてDを通る円と線分AEの交点をGとする。
(5)Dを中心としてGを通る円と線分ACの交点をHとし、線分BHを描く。
(6)Fを中心としてBを通る円と線分AFの交点をIとする。
(7)Bを中心としてIを通る円と線分ABの交点をJとする。
(8)Cを中心としてJを通る円と線分ABの新しい交点をKとする。
(9)Kを中心としてJを通る円と線分BHの交点をLとし、線分KLを描く。
(10)Aを中心としてJを通る円と線分ACの交点をMとし、線分JMを描く。
これで線分BH,KL,JMが分割線になります。

No.22765 2020/05/11(Mon) 20:48:29

★ 三角関数の方程式 / あほうどり

引用

東大2020理系第六問を解いていてふと思って考えていた問題なのですが、
sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
はどう解きますか？
X=θ+π/4
と置き換えれば解けますが、少し技巧的な気もしています。
スタンダードな解法を考えています。
皆さんはどう解かれますか？

No.22759 2020/05/10(Sun) 23:51:06

☆ Re: 三角関数の方程式 / らすかる

引用

x=θ+π/4と置き換えるのが最もスタンダードな「模範解答」に思えます。
x=θ+π/4と置き換えると
sin2θ-sin(θ+π/4)=0
sin(2x-π/2)-sin(x)=0
-cos(2x)-sin(x)=0
2(sin(x))^2-sin(x)-1=0
(2sinx+1)(sinx-1)=0
sinx=1,-1/2
x=(2n+1/2)π,(2n+7/6)π,(2n+11/6)π
∴θ=(2n+1/4)π,(2n+11/12)π,(2n+19/12)π

他の方法としては、例えば

sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
sin(2θ)=sin(θ+π/4)
2θ-(θ+π/4)=2nπ, {2θ+(θ+π/4)}/2=(n+1/2)π
これを解いて
θ=(2n+1/4)π,(2n+11/12)π,(2n+19/12)π

とか

sin(2θ)-sin(θ+π/4)=0
sin(2θ)=sin(θ+π/4)
sin(2θ)sin(θ+π/4)≧0(※)
かつ{sin(2θ)}^2={sin(θ+π/4)}^2={1-cos(2θ+π/2)}/2={1+sin(2θ)}/2
(※)かつ2{sin(2θ)}^2-sin(2θ)-1=0
(※)かつ{2sin(2θ)+1}{sin(θ)-1}=0
(※)かつsin(2θ)=1,-1/2
(※)かつ2θ=(2n+1/2)π,(2n+7/6)π,(2n+11/6)π
(※)かつθ=(n+1/4)π,(n+7/12)π,(n+11/12)π
(※)かつθ=(2n+1/4)π,(2n+5/4)π,(2n+7/12)π,(2n+19/12)π,(2n+11/12)π,(2n+23/12)π
∴θ=(2n+1/4)π,(2n+19/12)π,(2n+11/12)π

No.22760 2020/05/11(Mon) 01:05:16

☆ Re: 三角関数の方程式 / あほうどり

引用

sin( )=sin( )の形にしたり,
2θで合わせてみたりしても,確かに解けますね.
ありがとうございます.

No.22764 2020/05/11(Mon) 20:17:31

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