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数学の部屋BBS
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★ ７人の死刑囚と８色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
とあるパズルをみかけて感激しましたのでご紹介させてください。なお文面は変えてあります。オリジナルの問題：引用元については後日ご案内いたします。（答えがわかってしまいますので。）

とある独裁国。この国では死刑の方法は縛り首か電気椅子かのどちらかであり、死刑囚はどちらで処刑してもらいたいかについてを希望することができる。
また、かねてよりの独裁者による命令があり、賢い死刑囚には恩赦が与えられて解放されることになっている。
とある刑務所には７人のとても賢い死刑囚がいる。
彼らの処刑予定日は明日だ。
縛り首による死刑か、電気椅子による死刑か、はたまた賢さを認めて恩赦を与えるべきなのか、彼らの処分を決定するために刑務所長が次のようなテストを考えた。

８色の帽子を用意する。黒、赤、橙、黄、緑、青、藍、紫の色の帽子が１つづつあり、死刑囚たちはこのことを教えられる。
処刑の前に死刑囚たちはいったん１室に集められ、目隠しをされ、帽子をかぶらせられ、そして目隠しをはずされる。死刑囚たちは自分以外の帽子の色は見ることができるが、自分の帽子の色は見ることができない。また黒色の帽子が誰かは不明だがランダムに決められた１人にかぶせられたと教えられる。残りの７色のうち６色がランダムに選ばれ黒色の帽子をかぶらせられた者以外の６人の死刑囚にランダムにかぶらせられたと教えられる。１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。
死刑囚同士の間では、互いの帽子の色を教えあうようないかなるコミュニケーションも禁じられる。
ついで、各死刑囚のなかで縛り首を希望するものは縛り首準備室に全員移動し、電気椅子を希望するものは電気椅子準備室に全員移動する。
その後、ひとりづつそれぞれの処刑の準備室から処刑室に移動させられた死刑囚は、処刑の直前にもしも自分にかぶらせられた帽子の色について論理的にひとつに特定したことを説明できれば、賢さが認められて晴れて恩赦を受けられる。

以上のようなテストを決めた刑務所長は、明日に処刑予定の７人の死刑囚を所長室に集めてテスト内容を説明する。
また、本日中であるならば死刑囚たちは自分達が恩赦を受けられるように事前に取り決めを交わしておくことが許されている。

死刑囚全員が恩赦を確実に受けられるような取り決めは存在するだろうか。


このような素晴らしいパズルを作問された方に感謝するとともに、本掲示板の閲覧者の皆様にご紹介したく、投稿させていただいた次第です。
No.22736 2020/03/23(Mon) 23:06:41
☆ Re: ７人の死刑囚と８色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
オリジナルの問題：引用元によれば以下の文面（１）を文面（２）に変更したときには、死刑囚全員が恩赦を確実に受けられるような取り決めは存在せず、確率７/８で死刑囚全員が恩赦を受ける取り決めがあります。

（１）>また黒色の帽子が誰かは不明だがランダムに決められた１人にかぶせられたと教えられる。残りの７色のうち６色がランダムに選ばれ黒色の帽子をかぶらせられた者以外の６人の死刑囚にランダムにかぶらせられたと教えられる。１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。


（２）>８色のうち７色がランダムに選ばれ７人の死刑囚にランダムにかぶらせられたと教えられる。１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。


この、確率７/８という値はかなり良い確率でして、下記のパズルとその解答での確率１/２よりも命が助かる確率が大きいです。

稲葉直貴氏による《９９人の囚人》
( inabapuzzle.com/hirameki/suuri_ans6.html )


この１/２と７/８との差がどこに起因しているかというと、縛り首を選ぶか電気椅子を選ぶかという意思表示が可能という設定をもちいて、自分がみている状況から作り出す１ビット分の情報を他の死刑囚に公知できるからなのですね。
No.22737 2020/03/25(Wed) 17:16:16
☆ Re: ７人の死刑囚と８色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
No.22736 2020/03/23(Mon) 23:06:41 でご案内させて頂いたパズルについて、まずは私が感激した解法を書きます。これとは別の解法もありますので後日ご案内いたします。比較して頂ければ幸いです。

第一に注意しておきたいことは、パズルの設定によって７人の死刑囚のうち１人は黒色の帽子をかぶっていることです。
またそれ故、ある１人の死刑囚の視点では他の６人の死刑囚の帽子が黒色ではないことから、自分が黒色の帽子をかぶっていることを確実に知ることができます。と同時にこの黒色の帽子をかぶっている死刑囚は、１色ぶん余らせられた帽子の色について確実に知ることができます。

第二に注意しておきたいことは、
黒以外の色の帽子をかぶっている死刑囚にとっては、自分がかぶっている帽子の色と１色ぶん余らせられた帽子の色との２色について確実には知ることができないことです。２色のうちどちらが自分がかぶっている帽子の色なのかを独力では知り得ないのですね。

仮に黒色の帽子の死刑囚が、自身が知っている「１色ぶん余らせられた帽子の色」を他の死刑囚全員に知らせることが出来れば他の死刑囚は自身がかぶっている帽子の色を知ることになり、全員が恩赦を受けることが可能となります。
しかしながら設定されたルールでは互いの帽子の色を教えあうようないかなるコミュニケーションも禁じられていますのでなんとか抜け道を考えることとなります。この抜け道については少なくとも２通りあり、今回は簡明かつ感銘をうける抜け道をご紹介いたします。

事前取り決めにおいて、帽子の色に点数をあてがいます。
黒=0、赤=1、橙=2、黄=3、緑=4、青=5、藍=6、紫=7 としましょう。
各死刑囚は自分の持ち点を次のように計算します。すなわち。
黒色の帽子の死刑囚は、「１色ぶん余らせられた帽子の色」の点数の２倍を持ち点とします。
帽子の色が黒ではない死刑囚は、「１色ぶん余らせられた帽子の色」の点数と「自分がかぶっている帽子の色」の点数の和を自分の持ち点とします。
各死刑囚は自分の持ち点が７以下ならば縛り首を希望し持ち点が８以上ならば電気椅子を希望します。
それぞれの処刑の準備室に全員がはいった後に各死刑囚は電気椅子を希望した死刑囚の人数を知ることができます。（ある意味において黒色の帽子の死刑囚は既に知っていましたが。）この人数が「１色ぶん余らせられた帽子の色」の点数と等しくなっています。ゆえに死刑囚たちは「自分がかぶっている帽子の色」の点数を確実に知ることができたということになります。
以上の事前取り決めにより確率１００％で全員が恩赦をうけることができます。

各死刑囚がそれぞれ１ビットの情報を持ち寄ることで解決する
この素敵な解法は以下から学びました。

id:iwdsts さんによる太陽のブログ：2018-10-29：論理クイズ：100人の囚人 https://iwdsts-suntitle.hatenablog.com/entry/2018/10/29/195243


ここまでで解法のひとつ、私が感銘を受けた簡明な解法をご案内いたしました。
もうひとつの解法は奇順列と偶順列とを使う方法ですがこちらは先にご案内した解法に比べてステップが大変です。尤もパズルの設定では各死刑囚は極めて賢いので大丈夫なのでしょうけれども。
No.22741 2020/03/26(Thu) 23:16:52
☆ Re: ７人の死刑囚と８色の帽子 / 黄桃
こういう類の問題は設定を明確にしてほしいです。

＃コミュニケーション不可とありますが、取り決めにしたがって動くのは一種のコミュニケーションでしょう。

1. テスト内容は本日知らされた。
2. 全員取り決めを守り全員の釈放を目的とする（例えば、黒の帽子の人が自分だけ助かるような裏切りをする可能性は考慮しない）。
3. 翌日のルールは以下の通りとする。
(a)準備室への移動自体が唯一の他の死刑囚への伝達可能事項（これ以外のいかなる行為も不許可＝即アウト）。
(b)移動先も死刑囚の（本当の好みとは無関係に）自由
ここまでは、まあそうだろう、と推定できますが、次の2つが曖昧です。
(c)準備室には一人ずつ順に移動か、一斉移動か。1人ずつなら順序は死刑囚の自由か。
(d)各死刑囚が他の死刑囚がどこの準備室に移動したのかは知っているのか（特に(c)で一人ずつ移動する場合）。

関連リンクを読む限り(c)が一斉移動、(d)がYES のようです。それなら、次のようにすればOKです（黒は除かれてないことが既知の場合でもそうでない場合でも同じ）。
(1)色に 0,1,..,7 の番号をつけ円形にならべる。差が1である２つの色、と、0と7は隣同士と定義する。
(2)各自、見えてない２つの色が隣同士なら絞首刑、そうでないなら電気椅子を選ぶ
(2.5) すると、ちょうど2人（除かれた色の隣の色の帽子をかぶった死刑囚）が絞首刑、残りが電気椅子を選ぶことになる。
(3)絞首刑を選んだ死刑囚は、同室になった相手の色の隣で、自分が見てない色が取り除かれた色とわかる。
(4)電気椅子を選んだ死刑囚は、絞首刑を選んだ2人の死刑囚の間の色（両方の色のとなりである色）が除かれた色とわかる。
(5)除かれた色がわかったので自分の色がわかる。

(c)が一人ずつで順番は自由、(d)が自分より前に移動した死刑囚はYES,自分より後はNO、だとすれば、最初の問題（黒は使われる）では次のような解があります
（2番目の問題、あるいは、最初の問題でも順序指定で黒でない帽子の人が最初になると、最初の人はまったく情報がないので決定不可能）。
(0)上と同じように番号をつける。ただし、今度は円形に並べず、小さい番号が下、大きい番号は上と呼ぶことにする。
(1)絞首刑が上、電気椅子が下と定義する。
(2)黒の帽子の人は除かれた色がわかるので、その色が半分より上か下かにしたがって(1)のように移動する（除かれた色が4以上なら上＝絞首刑に移動）
(3)(2)で黒の帽子の人が上に移動したとすると、下、つまり0-3の番号はすべて見える、となるので、0-3の色の帽子を被った人（少なくとも3人いる）は自分の色がわかる（他の3つが見えていて、残りの１つだけが見えないから）。
　　よって、除かれた色がわかるので、その色が4-7 の中で上半分なら絞首刑、下半分なら電気椅子を選んで移動。
(4) (3)で例えば下＝電気椅子を選んだとすれば、除かれた色は4か5, であり、6,7は見える、とわかったので、6,7の色の人（少なくとも一人いる）は自分の色がわかる。
　　　したがって除かれた色がわかる。そして、それが4,5のいずれかであることを上か下かで最後の一人に教えることができる。

＃黒が除かれてないのは既知だから、運が良ければ(3)の段階で（残った候補が黒ともう１色となって確定）全員自分の色がわかる。
No.22743 2020/03/28(Sat) 11:56:39
☆ Re: ７人の死刑囚と８色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
黄桃さま。

出題の不備についてのご指摘をまことに有り難うございます。
仰る通りです。

また、素晴らしい解法をご教示くださいましてまことに有り難うございます。

お教え頂いた方法のひとつを使えば、先日の私の投稿（No.22737 2020/03/25(Wed) 17:16:16）に於ける下記の文はヌルイということになります。

《オリジナルの問題：引用元によれば以下の文面（１）を文面（２）に変更したときには、死刑囚全員が恩赦を確実に受けられるような取り決めは存在せず、確率７/８で死刑囚全員が恩赦を受ける取り決めがあります。

（１）>また黒色の帽子が誰かは不明だがランダムに決められた１人にかぶせられたと教えられる。残りの７色のうち６色がランダムに選ばれ黒色の帽子をかぶらせられた者以外の６人の死刑囚にランダムにかぶらせられたと教えられる。１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。


（２）>８色のうち７色がランダムに選ばれ７人の死刑囚にランダムにかぶらせられたと教えられる。１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。》

確率７/８ではなく確率１で死刑囚全員が恩赦を受ける事前取り決めがある、ということになります。

私が実際に死刑囚ならば賢さが足りない故に１/８の確率で訪れる死を免れませんでした。
No.22744 2020/03/30(Mon) 18:53:21
☆ Re: ７人の死刑囚と８色の帽子 / ハンニバル・フォーチュン
解ける形でシェイプアップいたしました。

とある独裁国。
かねてよりの独裁者による命令があり、賢い死刑囚には恩赦が与えられて解放されることになっている。
とある刑務所には７人のとても賢い死刑囚がいる。
彼らの処刑予定日は明日だ。
死刑にすべきか、はたまた賢さを認めて恩赦を与えるべきなのか、彼らの処分を決定するために刑務所長が次のようなテストを考えた。

８色の帽子を用意する。黒、赤、橙、黄、緑、青、藍、紫の色の帽子が１つづつあり、７人の死刑囚たちはこのことを教えられる。
処刑の前に死刑囚たちはいったん１室に集められ、目隠しをされ、それぞれ帽子をかぶらせられ、そして目隠しをはずされる。死刑囚たちは自分以外の帽子の色は見ることができるが、自分の帽子の色は見ることができない。また、１色ぶん帽子が余るが、それが何色なのかについては死刑囚には教えられない。
死刑囚同士の間では、【互いの帽子の色を直接的に教えあうような】いかなるコミュニケーションも禁じられる。
刑務所長がこう言う。
「私が手を叩く。そこで、７人の中で真っ先に処刑されたい者は右手を、最後に処刑されたい者は左手を、即座に手を挙げるように。それぞれの希望者がひとりづつならば２人の希望はかなえられる。これがお前たち死刑囚がお互いの意思を伝え会う唯一の機会である。」

また、その後に刑務所長は紙と鉛筆とを配り、こうも言う。
「おのおの、自分の帽子の色について推定せよ。【互いの帽子の色を直接的に教えあうような】いかなるコミュニケーションも禁じられる。１色だけを紙に書け。全員が正解を書けば恩赦が全員に与えられる。」

以上のようなテストを決めた刑務所長は、明日に処刑予定の７人の死刑囚を所長室に集めてテスト内容を説明する。
また、本日中であるならば死刑囚たちは自分達が恩赦を受けられるように事前に取り決めを交わしておくことが許される。

死刑囚全員が恩赦を確実に受けられるような取り決めは存在するだろうか。（刑務所長はそうであると目論んでいる。）
No.22745 2020/03/31(Tue) 23:26:33
★ とある性質を持つ三角数の非存在について / かっちい
悩んでおります。

kを正の整数とします。

2k が三角数のときに、

3(5k(5k +1)/2 -3k(3k +1)/2)

もまた三角数となるような k は果たしてどれほどあるのでしょうか。


なにかヒントになるようなアイデアがあれば嬉しいです。

何卒宜しくお願いいたします。
No.22732 2020/03/10(Tue) 23:01:56
★ (No Subject) / Y.AOKI
数学の部屋　http://math.a.la9.jp/　に
『あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？』を載せました。試してみてください。
No.22728 2020/03/10(Tue) 20:27:25
☆ Re:あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？ / かっちい
> 数学の部屋　http://math.a.la9.jp/　に
> 『あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？』を載せました。試してみてください。

教材の開発を有難うございます。
拝見いたしました。

感想を申し上げます。
感度の既定値が少々高すぎるかも知れません。

「感度が30％から50％だとか，特異度が90％とか99％と言われる」（注１）と、神戸大学で長年長年にわたり公衆衛生学と疫学を講義で教えていらっしゃる中澤港先生（専門は公衆衛生学/国際保健学）が書かれていらっしゃいます。

（注１）実は、COVID-19の場合では、リアルタイムRT-PCRで検査するという方法は確定診断の手段になってしまっていますので、感度も特異度も求められないというのが原理的な側面になってしまっているのです。別途に確定診断の方法があって、それをリファレンスにしてPCRの感度や特異度を求められれば良いのですけれども…ないものねだりなのです。
では何ゆえ、「感度が30％から50％だとか，特異度が90％とか99％と言われる」などとアバウトな感触が出回っているかについては、以下をご参照ください。


http://minato.sip21c.org/2019-nCoV-im3r.html
の検査性能の項に詳しく書いてあります。
No.22729 2020/03/10(Tue) 22:03:15
☆ Re: :あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？ / Y.Aoki
情報ありがとうございます。
初期値はあくまでも初期値でいろいろ試していただくのが趣旨なので、あえて私の主張に不利になるように高めにしました。しかし感度の初期値は５０％でもよかったかもしれませんね。特異度の初期値５％はまあまあですか。
検査性能について　は参考になりました。
No.22730 2020/03/10(Tue) 22:22:27
☆ Re: / Y.Aoki
失礼、特異度の初期値９５％です。
No.22731 2020/03/10(Tue) 22:33:11
☆ Re: / ヨッシー
背後に１億超の非感染者がいるとこういう結果になるのですね。
何はともあれ、青木さんが久々にページ更新されてうれしい限りです。
私も頑張らねば。
No.22733 2020/03/12(Thu) 22:10:11
☆ Re: ヨッシー / Y.Aoki
ヨッシーさん、お久しぶりです。
今後、検査で陽性になって、実際は感染していないのに精神的に落ち込んでしまう人も多いと思うので、もちろん感染している可能性もあるので油断はできませんが、必ずしも感染しているわけではないということを知っていただいて、みんなで頑張っていきたいという思いで、緊急で作らせていただきました。
No.22734 2020/03/13(Fri) 12:43:23
☆ Re: 更新について / 清一
10年以上前息子がよく今週の問題でお世話になっていました。ある時から更新がなされず、金沢在住のため某中学に電話をしたことがあります。その時その中学からは情報が得られませんでした。しかしながら数日前更新されていることに気が付き、目頭が熱くなってきました。状況が好転してきているんですね。
No.22735 2020/03/21(Sat) 12:20:30
★ 対数螺旋は等角曲線？ / める
最近対数螺旋が等角曲線という性質を持つと知りました。
対数螺旋は、極座標表示で、R＝a∧θ
（Rは原点からの距離、aは定数、θは原点からの角度）ととてもシンプルに表示できます。この曲線が等角曲線である（原点から伸ばした直線と同じ角度で常に交わる）という性質は直感的にわかりません。
交点の傾きを求めて、原点から伸ばした直線との傾きとの差をタンジェントで求め、タンジェントの逆数が、θやRによらず一定であることを示すという方針の証明がありましたが、とても形式的でそれで証明してもなぜ等角なのか直感的に納得できませんでした。
対数螺旋の定義式から、感覚的に納得できる等角の証明はないものでしょうか？
No.22725 2020/03/07(Sat) 07:08:04
☆ Re: 対数螺旋は等角曲線？ / らすかる
感覚的にこれで納得できるかどうかはわかりませんが・・・

あるθから微小な角度dθだけ増やしたとき、a^(θ+dθ)/a^θ=a^dθ
ですから、θの値にかかわらずrは必ずa^dθ倍になります。
ということは、「原点からa^θまでの距離」と
「原点からa^(θ+dθ)までの距離」の比はθによらず一定ですから
原点、a^θ、a^(θ+dθ)の3点で作られる三角形はすべて相似であり、
「原点とa^θを結ぶ直線」と「a^θとa^(θ+dθ)を結ぶ直線」の角度は
常に一定になります。
No.22726 2020/03/07(Sat) 13:46:17
☆ Re: 対数螺旋は等角曲線？ / める
私の期待していた、感覚的によく納得できる解説でした。
対数螺旋はオウムガイの殻のように、微小な相似の三角形が積み重なったものと捉えられるのですね。そう考えると等角であることがとても自然に納得できました。
いつも親切に教えていただき本当にありがとうございます。
No.22727 2020/03/07(Sat) 19:41:53
★ ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / コルム
次の質問に答えていただけると幸いです。以下のURLです。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11220784871
No.22722 2020/03/02(Mon) 20:46:24
☆ Re: ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / いとをかし
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/76/76-8.pdf
がスッキリまとまっていいのではないですか？
No.22723 2020/03/03(Tue) 12:37:25
☆ Re: ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / コルム
それでは、よくわからなかったので、詳しいものを選んだのです。
教えていただけないでしょうか？すみません。
No.22724 2020/03/03(Tue) 14:52:37
★ (No Subject) / su
F[x, y] = [x/(x^2 + y^2 - 2 y + 1), (1 - y)/(
x^2 + y^2 - 2 y + 1)] による

　円 x^2 + y^2 = 2 の像を求めよ。
No.22721 2020/02/26(Wed) 20:24:01
★ 助けて! / hisao
y= x^2 (0<=x<=1)の曲線の長さを2等分するその曲線上の中点座標（x,y)は?
条件：上記、曲線の長さは、1.47894...と計算済みとする。
No.22713 2020/02/16(Sun) 14:07:15
☆ Re: 助けて! / らすかる
曲線の長さの公式に当てはめて
2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
これより
4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
数値的に解くと
(x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
となります。
No.22714 2020/02/16(Sun) 15:12:33
☆ Re: 助けて! / hisao
> 曲線の長さの公式に当てはめて
> 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> これより
> 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> 数値的に解くと
> (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> となります。

ありがとうございます。
No.22715 2020/02/16(Sun) 16:05:05
☆ Re: 助けて! / hisao
> > 曲線の長さの公式に当てはめて
> > 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> > これより
> > 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> > となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> > 数値的に解くと
> > (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> > となります。
>
>
No.22716 2020/02/16(Sun) 16:05:42
☆ Re: 助けて! / hisao
>解析的には解けません
理解しました。感謝です。

>数値的に解く
どうやったら数値的に解けるのですか。
No.22717 2020/02/16(Sun) 16:14:19
☆ Re: 助けて! / hisao
pythonで(x,y)≒(0.610...,0.373...)表示してみました。
http://30d.jp/20120218toyo/49
No.22718 2020/02/16(Sun) 16:49:21
☆ Re: 助けて! / らすかる
自力でやるならニュートン法など使えば出来ると思いますが、
今回は↓こちらのサイトを使いました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4t%2Asqrt%281%2B4t%5E2%29%2B2log%282t%2Bsqrt%281%2B4t%5E2%29%29%3D2%2Asqrt%285%29%2Blog%282%2Bsqrt%285%29%29&lang=ja
No.22719 2020/02/16(Sun) 18:09:59
☆ Re: 助けて! / hisao
素晴らしい。交点で答えがでる。「ニュートン法」も勉強します。助かりました。
No.22720 2020/02/17(Mon) 10:06:32
★ Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
与太話です。

（１）
オンラインの数列事典、OEIS の A005898 にて
Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3
の説明を読むことが出来ます。
そこには、この数列の各項の全てが合成数であることが示されています。引用しますと、

n^3 + (n+1)^3 = (2n+1)*(n^2+n+1), hence all terms are composite.

というわけです。

さて。
（２）この数列の各項は、【二通りの】「平方数の差」で表現できることも示されています。すなわち。

n^3 + (n+1)^3
= ((n+1)(n+2)/2)^2 - (n(n-1)/2)^2
= ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2)^2 - ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2 -1)^2

一方、
（３）奇素数は、２つの平方数の差として、ただ１通りに表せることが知られています。

上を踏まえて
（４）
n^3 + (n+1)^3 は奇数であることに注意すると、（２）と（３）とから、n^3 + (n+1)^3 が合成数であることがわかります。つまり、（１）での因数分解によるものとは別証明が得られるわけです。

なんの役にも立たない与太話でしたが、個人的には面白かったです。

ところで、サーチエンジンで検索すれば（３）の証明はすぐにみつかりそうですが、できれば自力で証明したいところですね。

ついでに、n^3 + (n+1)^3 が 平方数になる n は有限個しかないことの証明も理解したいのですが、楕円曲線論やら代数曲線論やらを勉強しなければならないようで、私には手に余ります。高校生くらいの範囲での初等的な証明はないものなのでしょうか。
No.22708 2020/02/09(Sun) 22:32:36
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / らすかる
> （３）の証明
nが奇素数としてn=a^2-b^2=c^2-d^2（a,b,c,dは自然数でa＞c）と表せたとすると
b^2=a^2-n＞c^2-n=d^2からb＞d
（b=0やd=0は明らかに成り立たないのでa,b,c,dはすべて正と仮定してよい）
n=(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)でnは奇素数、a+b＞a-b、c+d＞c-dから
a-b=c-d=1でなければならないが、そうすると
a+b＞c+dから(a+b)(a-b)＞(c+d)(c-d)となり矛盾。
No.22710 2020/02/10(Mon) 02:11:06
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
らすかるさん、（３）の証明をまことに有り難うございます。
なるほど、背理法を使ったシンプルで素晴らしい証明ですね。


私が考えていたのは以下のようなたどたどしいものです。イマイチ感があります。

p を奇素数、 k を正の整数とし、
p = 2k +1
であるものとします。
このとき明らかに
p = (k +1)^2 -k^2
ですから、
p を２つの平方数の差として表す方法の第一のものがみつかりました。
これ以外にどのような「２つの平方数の差として表す方法」があるのかについて探します。

上記までの p, k の他に、あらたに、m +1 > n なる整数 m, n を使って、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

と表せたとして、 m, n について調べます。


さきの式の右辺を展開してから整理し因数分解すると、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2
= (k^2 +2(m +1)k +(m +1)^2) -(k^2 +2nk +n^2)
= 2(m +1 -n)k +(m +1)^2 -n^2
= 2(m +1 -n)k +(m +1 -n)(m +1 +n)

故に
p = 2k +1 = (m +1 -n)(2k +1 +m +n)
を得ます。

p は素数なので、以下の(A)(B)のどちらかひとつが成立するはずです。

(A)
2k +1 +m +n = 1
p = 2k +1 = (m +1 -n)

(B)
m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)


(A)では、
2k +1 = 1 -(m +n)
2k +1 = m +1 -n
が導かれるので、
1 -(m +n) = m +1 -n

ゆえに
m = 0

また
2k +1 = m +1 -n = 1 -n
より
n = -2k
が得られます。

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

でしたから、
m = 0 、n = -2k を代入すると、

p = (k +0 +1)^2 -(k -2k)^2

ですから、実質的には、
p = (k +1)^2 -k^2
と等価です。

(A)の場合には新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせませんでした。

次に（B）ですが、

m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)

で、
m +n = m -n = 0
すなわち、
m = 0 、n = 0 となり、やはり、
新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせません。

以上です。
整数 m, n について わざとらしい m +1 > n なる条件をつけているところが不細工で怪しいと思っています。
No.22712 2020/02/10(Mon) 15:51:24
★ 稠密性って / Merina
A,B⊂Rをφ≠A,φ≠B,A∩B=φとする。
∀x,y∈Aに対し,x<z<yなるz∈Aが存在する
かつ,
∀x,y∈Bに対し,x<z<yなるz∈Bが存在する。

このような集合A,Bの例はA:=Q,B:=R＼Q以外にはありますか?
No.22706 2020/02/05(Wed) 12:43:00
☆ Re: 稠密性って / らすかる
無数にありますが、例えば
Aはm/2^nの集合（mは奇数、nは正整数）
Bはp/3^qの集合（pは3の倍数でない整数、qは正整数）
とか
Aは有理数の集合
Bは有理数+√2の集合
とか
A=負の実数の集合
B=正の実数の集合
など。
他に
A={0}
B={1}
も条件を満たしていると思います。
No.22707 2020/02/05(Wed) 13:26:13
☆ Re: 稠密性って / Merina
遅くなりまして大変申し訳ありません。
有難うございます。
ちょっと検証いたします。
No.22711 2020/02/10(Mon) 08:27:48
★ 問題と解答 / てー
失礼いたしました。問題は以下の通りです。

△ABCについて，辺AC，辺CB上に2点D，Pがあり，
AD：DC＝3：1，CP：PB＝3：1を満たしている。点Dを通り，
辺CBに平行な直線とABとの交点をEとするとき，四角形PCDEは平行四辺形であることを示せ。

証明です。

△AEDと△ABCにおいて
仮定より，　ED//CB　…　?@
　　　　　　AD：DC＝3：1　…　?A
同位角は等しいので，　∠AED＝∠ABC　…　?B
共通な角であるから，　∠EAD＝∠BAC　…　?C
?B，?Cより，２組の角がそれぞれ等しいので，
　　　△AED∽△ABC
対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
また，仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
　　DE：CP＝3：3＝1：1　　←
よって，　DE＝CP　…　?D
?@，?Dより，１組の対辺が平行で長さが等しいので，四角形PCDEは平行四辺形である。　終

です。
No.22703 2020/01/21(Tue) 10:36:27
☆ Re: 問題と解答 / らすかる
# 同じ問題の質疑応答や訂正などは、右上の「Res」を押して同じスレに書きましょう。

私はその先生の意見に賛成です。
前半で△AED∽△ABCを示すのがやたら丁寧なのに対し、
後半はかなり雑になっていて省略しすぎの印象があります。

まず
> 対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
この3と4がどこから出てきたのかの説明がありません。
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC
　?AからAD：AC=3：4だから、DE：BC＝3：4
のように丁寧に書くか、あるいは最低でも
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC＝3：4
ぐらいは書く必要があります。

そして先生が指摘した
> DE：CP＝3：3＝1：1
も同様に、2つの3がどこから来た3なのかという説明がありません。
先生が書かれたように解答するのがベストだと思います。
多少省略して書くとしても、最低でも
　DE：CP＝(3/4)BC：(3/4)CB＝1：1
ぐらいは必要です。
あるいは、比の形のままで解答したいのでしたら、
> 仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
> 　　DE：CP＝3：3＝1：1
この部分を
　仮定より，CP：PB＝3：1であるから，BC：CP＝4：3
　DE：BC＝3：4 と BC：CP＝4：3 から
　DE：BC：CP＝3：4：3
　よって DE＝CP
のようにすればOKです。
いきなり「DE：CP＝3：3」と書くのは、先生に言われた通り
「論理が飛躍しすぎ」だと思います。
No.22704 2020/01/21(Tue) 15:53:15
☆ Re: 問題と解答 / てー
分かりました。ありがとうございます。
飛躍しすぎと言われれば、たしかにそうかもしれません。
子どもにもそのように伝えてみます。
No.22705 2020/01/21(Tue) 20:21:19
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