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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ (No Subject) / su
F[x, y] = [x/(x^2 + y^2 - 2 y + 1), (1 - y)/(
x^2 + y^2 - 2 y + 1)] による

　円 x^2 + y^2 = 2 の像を求めよ。
No.22721 2020/02/26(Wed) 20:24:01
★ 助けて! / hisao
y= x^2 (0<=x<=1)の曲線の長さを2等分するその曲線上の中点座標（x,y)は?
条件：上記、曲線の長さは、1.47894...と計算済みとする。
No.22713 2020/02/16(Sun) 14:07:15
☆ Re: 助けて! / らすかる
曲線の長さの公式に当てはめて
2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
これより
4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
数値的に解くと
(x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
となります。
No.22714 2020/02/16(Sun) 15:12:33
☆ Re: 助けて! / hisao
> 曲線の長さの公式に当てはめて
> 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> これより
> 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> 数値的に解くと
> (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> となります。

ありがとうございます。
No.22715 2020/02/16(Sun) 16:05:05
☆ Re: 助けて! / hisao
> > 曲線の長さの公式に当てはめて
> > 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> > これより
> > 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> > となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> > 数値的に解くと
> > (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> > となります。
>
>
No.22716 2020/02/16(Sun) 16:05:42
☆ Re: 助けて! / hisao
>解析的には解けません
理解しました。感謝です。

>数値的に解く
どうやったら数値的に解けるのですか。
No.22717 2020/02/16(Sun) 16:14:19
☆ Re: 助けて! / hisao
pythonで(x,y)≒(0.610...,0.373...)表示してみました。
http://30d.jp/20120218toyo/49
No.22718 2020/02/16(Sun) 16:49:21
☆ Re: 助けて! / らすかる
自力でやるならニュートン法など使えば出来ると思いますが、
今回は↓こちらのサイトを使いました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4t%2Asqrt%281%2B4t%5E2%29%2B2log%282t%2Bsqrt%281%2B4t%5E2%29%29%3D2%2Asqrt%285%29%2Blog%282%2Bsqrt%285%29%29&lang=ja
No.22719 2020/02/16(Sun) 18:09:59
☆ Re: 助けて! / hisao
素晴らしい。交点で答えがでる。「ニュートン法」も勉強します。助かりました。
No.22720 2020/02/17(Mon) 10:06:32
★ Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
与太話です。

（１）
オンラインの数列事典、OEIS の A005898 にて
Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3
の説明を読むことが出来ます。
そこには、この数列の各項の全てが合成数であることが示されています。引用しますと、

n^3 + (n+1)^3 = (2n+1)*(n^2+n+1), hence all terms are composite.

というわけです。

さて。
（２）この数列の各項は、【二通りの】「平方数の差」で表現できることも示されています。すなわち。

n^3 + (n+1)^3
= ((n+1)(n+2)/2)^2 - (n(n-1)/2)^2
= ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2)^2 - ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2 -1)^2

一方、
（３）奇素数は、２つの平方数の差として、ただ１通りに表せることが知られています。

上を踏まえて
（４）
n^3 + (n+1)^3 は奇数であることに注意すると、（２）と（３）とから、n^3 + (n+1)^3 が合成数であることがわかります。つまり、（１）での因数分解によるものとは別証明が得られるわけです。

なんの役にも立たない与太話でしたが、個人的には面白かったです。

ところで、サーチエンジンで検索すれば（３）の証明はすぐにみつかりそうですが、できれば自力で証明したいところですね。

ついでに、n^3 + (n+1)^3 が 平方数になる n は有限個しかないことの証明も理解したいのですが、楕円曲線論やら代数曲線論やらを勉強しなければならないようで、私には手に余ります。高校生くらいの範囲での初等的な証明はないものなのでしょうか。
No.22708 2020/02/09(Sun) 22:32:36
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / らすかる
> （３）の証明
nが奇素数としてn=a^2-b^2=c^2-d^2（a,b,c,dは自然数でa＞c）と表せたとすると
b^2=a^2-n＞c^2-n=d^2からb＞d
（b=0やd=0は明らかに成り立たないのでa,b,c,dはすべて正と仮定してよい）
n=(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)でnは奇素数、a+b＞a-b、c+d＞c-dから
a-b=c-d=1でなければならないが、そうすると
a+b＞c+dから(a+b)(a-b)＞(c+d)(c-d)となり矛盾。
No.22710 2020/02/10(Mon) 02:11:06
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
らすかるさん、（３）の証明をまことに有り難うございます。
なるほど、背理法を使ったシンプルで素晴らしい証明ですね。


私が考えていたのは以下のようなたどたどしいものです。イマイチ感があります。

p を奇素数、 k を正の整数とし、
p = 2k +1
であるものとします。
このとき明らかに
p = (k +1)^2 -k^2
ですから、
p を２つの平方数の差として表す方法の第一のものがみつかりました。
これ以外にどのような「２つの平方数の差として表す方法」があるのかについて探します。

上記までの p, k の他に、あらたに、m +1 > n なる整数 m, n を使って、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

と表せたとして、 m, n について調べます。


さきの式の右辺を展開してから整理し因数分解すると、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2
= (k^2 +2(m +1)k +(m +1)^2) -(k^2 +2nk +n^2)
= 2(m +1 -n)k +(m +1)^2 -n^2
= 2(m +1 -n)k +(m +1 -n)(m +1 +n)

故に
p = 2k +1 = (m +1 -n)(2k +1 +m +n)
を得ます。

p は素数なので、以下の(A)(B)のどちらかひとつが成立するはずです。

(A)
2k +1 +m +n = 1
p = 2k +1 = (m +1 -n)

(B)
m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)


(A)では、
2k +1 = 1 -(m +n)
2k +1 = m +1 -n
が導かれるので、
1 -(m +n) = m +1 -n

ゆえに
m = 0

また
2k +1 = m +1 -n = 1 -n
より
n = -2k
が得られます。

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

でしたから、
m = 0 、n = -2k を代入すると、

p = (k +0 +1)^2 -(k -2k)^2

ですから、実質的には、
p = (k +1)^2 -k^2
と等価です。

(A)の場合には新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせませんでした。

次に（B）ですが、

m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)

で、
m +n = m -n = 0
すなわち、
m = 0 、n = 0 となり、やはり、
新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせません。

以上です。
整数 m, n について わざとらしい m +1 > n なる条件をつけているところが不細工で怪しいと思っています。
No.22712 2020/02/10(Mon) 15:51:24
★ 稠密性って / Merina
A,B⊂Rをφ≠A,φ≠B,A∩B=φとする。
∀x,y∈Aに対し,x<z<yなるz∈Aが存在する
かつ,
∀x,y∈Bに対し,x<z<yなるz∈Bが存在する。

このような集合A,Bの例はA:=Q,B:=R＼Q以外にはありますか?
No.22706 2020/02/05(Wed) 12:43:00
☆ Re: 稠密性って / らすかる
無数にありますが、例えば
Aはm/2^nの集合（mは奇数、nは正整数）
Bはp/3^qの集合（pは3の倍数でない整数、qは正整数）
とか
Aは有理数の集合
Bは有理数+√2の集合
とか
A=負の実数の集合
B=正の実数の集合
など。
他に
A={0}
B={1}
も条件を満たしていると思います。
No.22707 2020/02/05(Wed) 13:26:13
☆ Re: 稠密性って / Merina
遅くなりまして大変申し訳ありません。
有難うございます。
ちょっと検証いたします。
No.22711 2020/02/10(Mon) 08:27:48
★ 問題と解答 / てー
失礼いたしました。問題は以下の通りです。

△ABCについて，辺AC，辺CB上に2点D，Pがあり，
AD：DC＝3：1，CP：PB＝3：1を満たしている。点Dを通り，
辺CBに平行な直線とABとの交点をEとするとき，四角形PCDEは平行四辺形であることを示せ。

証明です。

△AEDと△ABCにおいて
仮定より，　ED//CB　…　?@
　　　　　　AD：DC＝3：1　…　?A
同位角は等しいので，　∠AED＝∠ABC　…　?B
共通な角であるから，　∠EAD＝∠BAC　…　?C
?B，?Cより，２組の角がそれぞれ等しいので，
　　　△AED∽△ABC
対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
また，仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
　　DE：CP＝3：3＝1：1　　←
よって，　DE＝CP　…　?D
?@，?Dより，１組の対辺が平行で長さが等しいので，四角形PCDEは平行四辺形である。　終

です。
No.22703 2020/01/21(Tue) 10:36:27
☆ Re: 問題と解答 / らすかる
# 同じ問題の質疑応答や訂正などは、右上の「Res」を押して同じスレに書きましょう。

私はその先生の意見に賛成です。
前半で△AED∽△ABCを示すのがやたら丁寧なのに対し、
後半はかなり雑になっていて省略しすぎの印象があります。

まず
> 対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
この3と4がどこから出てきたのかの説明がありません。
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC
　?AからAD：AC=3：4だから、DE：BC＝3：4
のように丁寧に書くか、あるいは最低でも
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC＝3：4
ぐらいは書く必要があります。

そして先生が指摘した
> DE：CP＝3：3＝1：1
も同様に、2つの3がどこから来た3なのかという説明がありません。
先生が書かれたように解答するのがベストだと思います。
多少省略して書くとしても、最低でも
　DE：CP＝(3/4)BC：(3/4)CB＝1：1
ぐらいは必要です。
あるいは、比の形のままで解答したいのでしたら、
> 仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
> 　　DE：CP＝3：3＝1：1
この部分を
　仮定より，CP：PB＝3：1であるから，BC：CP＝4：3
　DE：BC＝3：4 と BC：CP＝4：3 から
　DE：BC：CP＝3：4：3
　よって DE＝CP
のようにすればOKです。
いきなり「DE：CP＝3：3」と書くのは、先生に言われた通り
「論理が飛躍しすぎ」だと思います。
No.22704 2020/01/21(Tue) 15:53:15
☆ Re: 問題と解答 / てー
分かりました。ありがとうございます。
飛躍しすぎと言われれば、たしかにそうかもしれません。
子どもにもそのように伝えてみます。
No.22705 2020/01/21(Tue) 20:21:19
★ 図形の証明の採点基準について / てー
先日，子ども(中３)の授業の小テストで図形の証明問題があり，結果が返ってきたのですが，採点基準に納得がいかないところがあり，意見を聞かせてもらえればと思います。

相似の証明をした後からです。点Pは辺BCの内分点です。

対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝3：4
仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
　　DE：CP＝3：3＝1：1　　←
よって，　DE＝CP　終

基準によると，←の部分の表記が何をもとに一致すると言っているのか論理が飛躍しすぎだそうです。答えるならば，
　　DE：BC＝3：4 より，DE=(3/4)BC，
　　CP：CB＝3：4 より，CP＝(3/4)CB
であるから， DE＝CP として，基準となるBCをもとに線分の長さが等しいことを書いてほしいと言われました。先生によって基準が違うのですかね？
No.22701 2020/01/21(Tue) 10:14:29
☆ Re: 図形の証明の採点基準について / らすかる
解答をどこまで細かく書くかは問題の主旨や解答の分量などによって
変わりますので、解答の一部だけ書かれても何とも言えません。
問題と解答の全体を書いて下さい。
No.22702 2020/01/21(Tue) 10:23:40
★ マクロリーン問題 / みそ
マクロリーン問題についての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
1. cos zに対するマクローリンの式をかいてくだはい

2. cos zに対するマクローリンの式の剰余項が0に収束することを示せ

3. e ^x のマクローリン展開を利用して、lim(x→∞) x^n /e^x = 0示してください。

4. lim (x→∞) logx / x = 0を示してください。

5. lim (x→+0) x * log xを求めてください。
No.22698 2020/01/19(Sun) 09:52:52
☆ Re: マクロリーン問題 / マルチポスト撲滅委員会
　DS 数学 BBS、ヨッシーさんの掲示板、考える葦掲示板でも回答がなかっただろ。

　あたりまえだ。
　
　ここでもこんなバカバカしい質問に回答する人はいないだろう。
No.22699 2020/01/19(Sun) 10:38:51
★ 集合の証明 / トレモロ
A_k,B_kを集合とする時、∪[k=1..+∞]A_k\∪[k=1..+∞]B_k⊂∪[k=1..+∞](A_k\B_k)を示せ。
についてです。
(証) ∪[k=1..+∞]A_k\∪[k=1..+∞]B_k=∪[k=1..+∞]A_k∩(∪[k=1..+∞]B_k)^c=∪[k=1..+∞]A_k∩(∩[k=1..+∞]B_k^c)と書け、これは∀x∈∪[k=1..+∞]A_k\∪[k=1..+∞]B_kに対して、∃k∈N such that x∈A_k且つ,∀k∈Nに対してx∈B_k^cを意味する。つまり∃k∈N such that x∈A_k且つx∈B_k^cを意味している。よってx∈∪[k=1..+∞](A_k\B_k).
と示したのですが正しいでしょうか?
No.22697 2020/01/17(Fri) 14:53:59
★ 4次方程式の解法について / ネコバス
4次方程式の解法について、次のことがどうしても理解できないので教えていただければ幸いです。解法の最初に行う変数変換は必要でしょうか。
4次方程式の解法についていくつか調べた結果、解法は大体次の通りであった。
X^4+AX^3+BX^2+CX+D=0
上の4次方程式の解を得るために、
Y=X+A/4
なる変数変換を行って、3次の項を消去する。
この変換により、
Y^4+pY^2+qY+r=0・・・・・（１）
p=-3/8*A^2+B
q=1/8*A^3-1/2*AB+C
r=-3/256*A^4+1/16*A^2*B-1/4*AC+D
の形にすることができる。（１）を変形して、
Y^4= -pY^2-qY-r
これの両辺に2Y^2*t+t^2を加えると右辺は、
Y^4+2Y^2*t+t^2=(Y^2+t)^2
左辺は、
(-p+2t)Y^2-qY+(-r+t^2)
左辺が2乗の形なので、右辺も(mY+n)^2の形になれば方程式を解くことができる。このためには、左辺の判定式が0であればよい。したがって、
q^2-4*(-p+2t) (-r+t^2)=0
これは、tに関する3次式であり、
t^3-1/2*pt^2-rt+1/2pr-1/8*q^2=0
この方程式の解からm、nを計算して最終的な解を求めると、
(Y^2+t)^2-(mY+n)^2=0
から、
(Y^2+mY+n+t)(Y^2-mY-n+t)=0
Y=1/2*(-m+-(m^2-4(n+t))^(1/2)),1/2*(m+-(m^2-4(-n+t))^(1/2)
となる。

ここで私の感じた感想は、このような複雑な計算が本当に必要なのかどうかというものであった。そこで、計算の省力化を図った結果、最初に行うY=X+A/4の変数変換を省くことが可能ではないかという考えに至った。
この変換は、最大でA^4の計算をして、ほかの係数との和をとる必要がある。例えばAが2桁の奇数であったとすれば、膨大な数になり、手計算で行うのは非常に大変になる。またこののちに3次関数では、変数変換が必要となるので、さらに膨大な数が出てくることになる。これを省くことができれば、大変な省力化になる。
　私の考えた手法は次の通りである。
問題の方程式をF(X)とする。
F(X)=X^4+AX^3+BX^2+CX+D
2つの関数G(X),H(X)を用いて、
G(X)^2-H(X)^2=F(X)
とできれば、左辺は
(G(X)+H(X))(G(X)-H(X))
と因数分解できる。
ここで、G(X)として、
G(X)=X^2+AX/2+S　　　（Sは式の形式を整えるための変数）
とする。このようにすると、G(X)^2の4次項はX^4であり、3次項はAX^3となるため、
G(X)^2-F(X)は2次式になる。
G(X)^2-F(X)=(1/4*A^2-B+2S)X^2+(-C+AS)X+(S^2-D)
右辺が2乗の形になるためには、判定式が0になるようにSを決定すればよい。
(-C+AS)^2-4(1/4*A^2-B+2S) (S^2-D)=0
これをSについて書き直すと、
S^3-1/2*BS^2+(1/4*AC-D)S+(-1/8*C^2-1/8*A^2*D+1/2*BD)=0
Sの3次式を得ることができる。以降は従来の方法とほぼ一緒なので割愛する。
この方法では、係数としては2乗までの計算なので、3次式の導出までの計算の手間は大幅に減らすことができる。また、特殊な場合を除いては、係数が小さくなるので、以降の計算が大幅に楽になる。
私が見つけることができた唯一の従来の方法の利点は次の通り。変数変換Y=X+A/4を実施することによって方程式が解けてしまう場合、これを見落としてしまうことである。つまり、3次とともに1次項、あるいは0次項が同時に消える、1/8*A^3-1/2*AB+C=0または、-3/256*A^4+1/16*A^2*B-1/4*AC+D=0が成り立つ場合には方程式が簡単に解けてしまう。
したがって、新方式を行う前にA^3/8-AB/2+Cと-3/256*A^4+1/16*A^2*B-1/4*AC+Dの値を計算して、どちらかが0であった場合は、変数変換を行い、どちらも0でなかった場合は新方式をとるようにすればよい。これでは、変数変換の計算をほとんど行ってしまっていると感じるかもしれないが、導出された3次式の係数の大きさを比べると、現行方式では大きく、新方式では小さい。このことは、方程式を解くための計算の煩雑さと大きくかかわってきており、係数が小さいほうが格段に解き易いといえる。
　試しに、次の4次式を2つの方法で3次式導出まで解いて比較してみよう。
X^4+3X^3+5X^2+2X-1=0
まず、従来の方法では、
Y=X+3/4
の変数変換を行う。
Y^4+13/8*Y^2-17/8*Y-163/256=0
両辺に2*Y^2*t+t^2を加えて、
(Y^2+t)^2=(2t-13/8)Y^2+17/8*Y+(t^2+163/256)
右辺の判定式は、
(17/8)^2-4(2t-13/8) (t^2+163/256)=0
これをtについてまとめると、
t^3-13/16*t^2+163/256*t-4431/4096=0

一方、新方式では、
(X^2+3/2*X+s)^2-(X^4+3X^3+5X^2+2X-1)=(2s-11/4)X^2+(3s-2)X+(s^2+1)
右辺の判定式は、
(3s-2)^2-4(2s-11/4) (s^2+1)=-8s^3+20s^2-20s+15
よって、
s^3-5/2*s^2+5/2*s-15/8
である。
2つの比較から、新方式は計算が早く、係数が小さくなることがわかる。
以上の考察から変数変換Y=X+A/4は必要ないと考えますが、いかがでしょうか。
No.22696 2020/01/16(Thu) 20:49:01
★ 図形について。 / コルム
次の問題に答えていただけると幸いです。すみません。(2)がわかりません。教えていただけると幸いです。
https://8323.teacup.com/bob/bbs/8031
No.22695 2020/01/16(Thu) 15:47:46
☆ Re: 図形について。 / コルム
ありがとうございました。向こうの掲示板で解決しました。
No.22700 2020/01/20(Mon) 06:01:53
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