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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
数学の掲示板なので、算数・数学ネタが望ましいです。(^^)
○付きの数字などは、機種依存文字なので使わないでください。
数学記号の表記については
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub2.htm
を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。
★ (No Subject) / Y.AOKI
数学の部屋　http://math.a.la9.jp/　に
『あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？』を載せました。試してみてください。
No.22728 2020/03/10(Tue) 20:27:25
☆ Re:あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？ / かっちい
> 数学の部屋　http://math.a.la9.jp/　に
> 『あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？』を載せました。試してみてください。

教材の開発を有難うございます。
拝見いたしました。

感想を申し上げます。
感度の既定値が少々高すぎるかも知れません。

「感度が30％から50％だとか，特異度が90％とか99％と言われる」（注１）と、神戸大学で長年長年にわたり公衆衛生学と疫学を講義で教えていらっしゃる中澤港先生（専門は公衆衛生学/国際保健学）が書かれていらっしゃいます。

（注１）実は、COVID-19の場合では、リアルタイムRT-PCRで検査するという方法は確定診断の手段になってしまっていますので、感度も特異度も求められないというのが原理的な側面になってしまっているのです。別途に確定診断の方法があって、それをリファレンスにしてPCRの感度や特異度を求められれば良いのですけれども…ないものねだりなのです。
では何ゆえ、「感度が30％から50％だとか，特異度が90％とか99％と言われる」などとアバウトな感触が出回っているかについては、以下をご参照ください。


http://minato.sip21c.org/2019-nCoV-im3r.html
の検査性能の項に詳しく書いてあります。
No.22729 2020/03/10(Tue) 22:03:15
☆ Re: :あなたはＰＣＲ検査で陽性になりました。実際に感染している確率は？ / Y.Aoki
情報ありがとうございます。
初期値はあくまでも初期値でいろいろ試していただくのが趣旨なので、あえて私の主張に不利になるように高めにしました。しかし感度の初期値は５０％でもよかったかもしれませんね。特異度の初期値５％はまあまあですか。
検査性能について　は参考になりました。
No.22730 2020/03/10(Tue) 22:22:27
☆ Re: / Y.Aoki
失礼、特異度の初期値９５％です。
No.22731 2020/03/10(Tue) 22:33:11
☆ Re: / ヨッシー
背後に１億超の非感染者がいるとこういう結果になるのですね。
何はともあれ、青木さんが久々にページ更新されてうれしい限りです。
私も頑張らねば。
No.22733 2020/03/12(Thu) 22:10:11
☆ Re: ヨッシー / Y.Aoki
ヨッシーさん、お久しぶりです。
今後、検査で陽性になって、実際は感染していないのに精神的に落ち込んでしまう人も多いと思うので、もちろん感染している可能性もあるので油断はできませんが、必ずしも感染しているわけではないということを知っていただいて、みんなで頑張っていきたいという思いで、緊急で作らせていただきました。
No.22734 2020/03/13(Fri) 12:43:23
☆ Re: 更新について / 清一
10年以上前息子がよく今週の問題でお世話になっていました。ある時から更新がなされず、金沢在住のため某中学に電話をしたことがあります。その時その中学からは情報が得られませんでした。しかしながら数日前更新されていることに気が付き、目頭が熱くなってきました。状況が好転してきているんですね。
No.22735 2020/03/21(Sat) 12:20:30
★ 対数螺旋は等角曲線？ / める
最近対数螺旋が等角曲線という性質を持つと知りました。
対数螺旋は、極座標表示で、R＝a∧θ
（Rは原点からの距離、aは定数、θは原点からの角度）ととてもシンプルに表示できます。この曲線が等角曲線である（原点から伸ばした直線と同じ角度で常に交わる）という性質は直感的にわかりません。
交点の傾きを求めて、原点から伸ばした直線との傾きとの差をタンジェントで求め、タンジェントの逆数が、θやRによらず一定であることを示すという方針の証明がありましたが、とても形式的でそれで証明してもなぜ等角なのか直感的に納得できませんでした。
対数螺旋の定義式から、感覚的に納得できる等角の証明はないものでしょうか？
No.22725 2020/03/07(Sat) 07:08:04
☆ Re: 対数螺旋は等角曲線？ / らすかる
感覚的にこれで納得できるかどうかはわかりませんが・・・

あるθから微小な角度dθだけ増やしたとき、a^(θ+dθ)/a^θ=a^dθ
ですから、θの値にかかわらずrは必ずa^dθ倍になります。
ということは、「原点からa^θまでの距離」と
「原点からa^(θ+dθ)までの距離」の比はθによらず一定ですから
原点、a^θ、a^(θ+dθ)の3点で作られる三角形はすべて相似であり、
「原点とa^θを結ぶ直線」と「a^θとa^(θ+dθ)を結ぶ直線」の角度は
常に一定になります。
No.22726 2020/03/07(Sat) 13:46:17
☆ Re: 対数螺旋は等角曲線？ / める
私の期待していた、感覚的によく納得できる解説でした。
対数螺旋はオウムガイの殻のように、微小な相似の三角形が積み重なったものと捉えられるのですね。そう考えると等角であることがとても自然に納得できました。
いつも親切に教えていただき本当にありがとうございます。
No.22727 2020/03/07(Sat) 19:41:53
★ ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / コルム
次の質問に答えていただけると幸いです。以下のURLです。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11220784871
No.22722 2020/03/02(Mon) 20:46:24
☆ Re: ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / いとをかし
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/76/76-8.pdf
がスッキリまとまっていいのではないですか？
No.22723 2020/03/03(Tue) 12:37:25
☆ Re: ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / コルム
それでは、よくわからなかったので、詳しいものを選んだのです。
教えていただけないでしょうか？すみません。
No.22724 2020/03/03(Tue) 14:52:37
★ (No Subject) / su
F[x, y] = [x/(x^2 + y^2 - 2 y + 1), (1 - y)/(
x^2 + y^2 - 2 y + 1)] による

　円 x^2 + y^2 = 2 の像を求めよ。
No.22721 2020/02/26(Wed) 20:24:01
★ 助けて! / hisao
y= x^2 (0<=x<=1)の曲線の長さを2等分するその曲線上の中点座標（x,y)は?
条件：上記、曲線の長さは、1.47894...と計算済みとする。
No.22713 2020/02/16(Sun) 14:07:15
☆ Re: 助けて! / らすかる
曲線の長さの公式に当てはめて
2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
これより
4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
数値的に解くと
(x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
となります。
No.22714 2020/02/16(Sun) 15:12:33
☆ Re: 助けて! / hisao
> 曲線の長さの公式に当てはめて
> 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> これより
> 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> 数値的に解くと
> (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> となります。

ありがとうございます。
No.22715 2020/02/16(Sun) 16:05:05
☆ Re: 助けて! / hisao
> > 曲線の長さの公式に当てはめて
> > 2∫[0〜t]√(1+4x^2)dx=∫[0〜1]√(1+4x^2)dx
> > これより
> > 4t√(1+4t^2)+2log(2t+√(1+4t^2))=2√5+log(2+√5)
> > となりますが、これはおそらく解析的には解けません。
> > 数値的に解くと
> > (x,y)≒(0.61073868295805988604,0.37300173886134558907)
> > となります。
>
>
No.22716 2020/02/16(Sun) 16:05:42
☆ Re: 助けて! / hisao
>解析的には解けません
理解しました。感謝です。

>数値的に解く
どうやったら数値的に解けるのですか。
No.22717 2020/02/16(Sun) 16:14:19
☆ Re: 助けて! / hisao
pythonで(x,y)≒(0.610...,0.373...)表示してみました。
http://30d.jp/20120218toyo/49
No.22718 2020/02/16(Sun) 16:49:21
☆ Re: 助けて! / らすかる
自力でやるならニュートン法など使えば出来ると思いますが、
今回は↓こちらのサイトを使いました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4t%2Asqrt%281%2B4t%5E2%29%2B2log%282t%2Bsqrt%281%2B4t%5E2%29%29%3D2%2Asqrt%285%29%2Blog%282%2Bsqrt%285%29%29&lang=ja
No.22719 2020/02/16(Sun) 18:09:59
☆ Re: 助けて! / hisao
素晴らしい。交点で答えがでる。「ニュートン法」も勉強します。助かりました。
No.22720 2020/02/17(Mon) 10:06:32
★ Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
与太話です。

（１）
オンラインの数列事典、OEIS の A005898 にて
Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3
の説明を読むことが出来ます。
そこには、この数列の各項の全てが合成数であることが示されています。引用しますと、

n^3 + (n+1)^3 = (2n+1)*(n^2+n+1), hence all terms are composite.

というわけです。

さて。
（２）この数列の各項は、【二通りの】「平方数の差」で表現できることも示されています。すなわち。

n^3 + (n+1)^3
= ((n+1)(n+2)/2)^2 - (n(n-1)/2)^2
= ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2)^2 - ((2*n^3 +3*n^2 +3*n +2)/2 -1)^2

一方、
（３）奇素数は、２つの平方数の差として、ただ１通りに表せることが知られています。

上を踏まえて
（４）
n^3 + (n+1)^3 は奇数であることに注意すると、（２）と（３）とから、n^3 + (n+1)^3 が合成数であることがわかります。つまり、（１）での因数分解によるものとは別証明が得られるわけです。

なんの役にも立たない与太話でしたが、個人的には面白かったです。

ところで、サーチエンジンで検索すれば（３）の証明はすぐにみつかりそうですが、できれば自力で証明したいところですね。

ついでに、n^3 + (n+1)^3 が 平方数になる n は有限個しかないことの証明も理解したいのですが、楕円曲線論やら代数曲線論やらを勉強しなければならないようで、私には手に余ります。高校生くらいの範囲での初等的な証明はないものなのでしょうか。
No.22708 2020/02/09(Sun) 22:32:36
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / らすかる
> （３）の証明
nが奇素数としてn=a^2-b^2=c^2-d^2（a,b,c,dは自然数でa＞c）と表せたとすると
b^2=a^2-n＞c^2-n=d^2からb＞d
（b=0やd=0は明らかに成り立たないのでa,b,c,dはすべて正と仮定してよい）
n=(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)でnは奇素数、a+b＞a-b、c+d＞c-dから
a-b=c-d=1でなければならないが、そうすると
a+b＞c+dから(a+b)(a-b)＞(c+d)(c-d)となり矛盾。
No.22710 2020/02/10(Mon) 02:11:06
☆ Re: Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3 / かっちい
らすかるさん、（３）の証明をまことに有り難うございます。
なるほど、背理法を使ったシンプルで素晴らしい証明ですね。


私が考えていたのは以下のようなたどたどしいものです。イマイチ感があります。

p を奇素数、 k を正の整数とし、
p = 2k +1
であるものとします。
このとき明らかに
p = (k +1)^2 -k^2
ですから、
p を２つの平方数の差として表す方法の第一のものがみつかりました。
これ以外にどのような「２つの平方数の差として表す方法」があるのかについて探します。

上記までの p, k の他に、あらたに、m +1 > n なる整数 m, n を使って、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

と表せたとして、 m, n について調べます。


さきの式の右辺を展開してから整理し因数分解すると、

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2
= (k^2 +2(m +1)k +(m +1)^2) -(k^2 +2nk +n^2)
= 2(m +1 -n)k +(m +1)^2 -n^2
= 2(m +1 -n)k +(m +1 -n)(m +1 +n)

故に
p = 2k +1 = (m +1 -n)(2k +1 +m +n)
を得ます。

p は素数なので、以下の(A)(B)のどちらかひとつが成立するはずです。

(A)
2k +1 +m +n = 1
p = 2k +1 = (m +1 -n)

(B)
m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)


(A)では、
2k +1 = 1 -(m +n)
2k +1 = m +1 -n
が導かれるので、
1 -(m +n) = m +1 -n

ゆえに
m = 0

また
2k +1 = m +1 -n = 1 -n
より
n = -2k
が得られます。

p = (k +m +1)^2 -(k +n)^2

でしたから、
m = 0 、n = -2k を代入すると、

p = (k +0 +1)^2 -(k -2k)^2

ですから、実質的には、
p = (k +1)^2 -k^2
と等価です。

(A)の場合には新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせませんでした。

次に（B）ですが、

m +1 -n = 1
p = 2k +1 = (2k +1 +m +n)

で、
m +n = m -n = 0
すなわち、
m = 0 、n = 0 となり、やはり、
新たな 「２つの平方数の差として表す方法」は見いだせません。

以上です。
整数 m, n について わざとらしい m +1 > n なる条件をつけているところが不細工で怪しいと思っています。
No.22712 2020/02/10(Mon) 15:51:24
★ 稠密性って / Merina
A,B⊂Rをφ≠A,φ≠B,A∩B=φとする。
∀x,y∈Aに対し,x<z<yなるz∈Aが存在する
かつ,
∀x,y∈Bに対し,x<z<yなるz∈Bが存在する。

このような集合A,Bの例はA:=Q,B:=R＼Q以外にはありますか?
No.22706 2020/02/05(Wed) 12:43:00
☆ Re: 稠密性って / らすかる
無数にありますが、例えば
Aはm/2^nの集合（mは奇数、nは正整数）
Bはp/3^qの集合（pは3の倍数でない整数、qは正整数）
とか
Aは有理数の集合
Bは有理数+√2の集合
とか
A=負の実数の集合
B=正の実数の集合
など。
他に
A={0}
B={1}
も条件を満たしていると思います。
No.22707 2020/02/05(Wed) 13:26:13
☆ Re: 稠密性って / Merina
遅くなりまして大変申し訳ありません。
有難うございます。
ちょっと検証いたします。
No.22711 2020/02/10(Mon) 08:27:48
★ 問題と解答 / てー
失礼いたしました。問題は以下の通りです。

△ABCについて，辺AC，辺CB上に2点D，Pがあり，
AD：DC＝3：1，CP：PB＝3：1を満たしている。点Dを通り，
辺CBに平行な直線とABとの交点をEとするとき，四角形PCDEは平行四辺形であることを示せ。

証明です。

△AEDと△ABCにおいて
仮定より，　ED//CB　…　?@
　　　　　　AD：DC＝3：1　…　?A
同位角は等しいので，　∠AED＝∠ABC　…　?B
共通な角であるから，　∠EAD＝∠BAC　…　?C
?B，?Cより，２組の角がそれぞれ等しいので，
　　　△AED∽△ABC
対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
また，仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
　　DE：CP＝3：3＝1：1　　←
よって，　DE＝CP　…　?D
?@，?Dより，１組の対辺が平行で長さが等しいので，四角形PCDEは平行四辺形である。　終

です。
No.22703 2020/01/21(Tue) 10:36:27
☆ Re: 問題と解答 / らすかる
# 同じ問題の質疑応答や訂正などは、右上の「Res」を押して同じスレに書きましょう。

私はその先生の意見に賛成です。
前半で△AED∽△ABCを示すのがやたら丁寧なのに対し、
後半はかなり雑になっていて省略しすぎの印象があります。

まず
> 対応する辺の比は等しいので，　DE：BC＝3：4
この3と4がどこから出てきたのかの説明がありません。
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC
　?AからAD：AC=3：4だから、DE：BC＝3：4
のように丁寧に書くか、あるいは最低でも
　対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝AD：AC＝3：4
ぐらいは書く必要があります。

そして先生が指摘した
> DE：CP＝3：3＝1：1
も同様に、2つの3がどこから来た3なのかという説明がありません。
先生が書かれたように解答するのがベストだと思います。
多少省略して書くとしても、最低でも
　DE：CP＝(3/4)BC：(3/4)CB＝1：1
ぐらいは必要です。
あるいは、比の形のままで解答したいのでしたら、
> 仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
> 　　DE：CP＝3：3＝1：1
この部分を
　仮定より，CP：PB＝3：1であるから，BC：CP＝4：3
　DE：BC＝3：4 と BC：CP＝4：3 から
　DE：BC：CP＝3：4：3
　よって DE＝CP
のようにすればOKです。
いきなり「DE：CP＝3：3」と書くのは、先生に言われた通り
「論理が飛躍しすぎ」だと思います。
No.22704 2020/01/21(Tue) 15:53:15
☆ Re: 問題と解答 / てー
分かりました。ありがとうございます。
飛躍しすぎと言われれば、たしかにそうかもしれません。
子どもにもそのように伝えてみます。
No.22705 2020/01/21(Tue) 20:21:19
★ 図形の証明の採点基準について / てー
先日，子ども(中３)の授業の小テストで図形の証明問題があり，結果が返ってきたのですが，採点基準に納得がいかないところがあり，意見を聞かせてもらえればと思います。

相似の証明をした後からです。点Pは辺BCの内分点です。

対応する辺の比は等しいので，DE：BC＝3：4
仮定より，CP：PB＝3：1 であるから，
　　DE：CP＝3：3＝1：1　　←
よって，　DE＝CP　終

基準によると，←の部分の表記が何をもとに一致すると言っているのか論理が飛躍しすぎだそうです。答えるならば，
　　DE：BC＝3：4 より，DE=(3/4)BC，
　　CP：CB＝3：4 より，CP＝(3/4)CB
であるから， DE＝CP として，基準となるBCをもとに線分の長さが等しいことを書いてほしいと言われました。先生によって基準が違うのですかね？
No.22701 2020/01/21(Tue) 10:14:29
☆ Re: 図形の証明の採点基準について / らすかる
解答をどこまで細かく書くかは問題の主旨や解答の分量などによって
変わりますので、解答の一部だけ書かれても何とも言えません。
問題と解答の全体を書いて下さい。
No.22702 2020/01/21(Tue) 10:23:40
★ マクロリーン問題 / みそ
マクロリーン問題についての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
1. cos zに対するマクローリンの式をかいてくだはい

2. cos zに対するマクローリンの式の剰余項が0に収束することを示せ

3. e ^x のマクローリン展開を利用して、lim(x→∞) x^n /e^x = 0示してください。

4. lim (x→∞) logx / x = 0を示してください。

5. lim (x→+0) x * log xを求めてください。
No.22698 2020/01/19(Sun) 09:52:52
☆ Re: マクロリーン問題 / マルチポスト撲滅委員会
　DS 数学 BBS、ヨッシーさんの掲示板、考える葦掲示板でも回答がなかっただろ。

　あたりまえだ。
　
　ここでもこんなバカバカしい質問に回答する人はいないだろう。
No.22699 2020/01/19(Sun) 10:38:51
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