数学の部屋BBS

質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
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http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htmや
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を参考にしてください。
過去ログはhttp://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgiでご覧ください。

★ 代数学 / もち56

引用

1日考えてわからなかったので助力をいただきたいです。

bを単元でないとすると、ユークリッド整域における因数分解b=a1a2・・・arの因数aiのうち、ちょうど一つがbに同伴することを証明したいです。

No.23147 2022/06/25(Sat) 17:33:11

★ (No Subject) / 文系脳

引用

(P →Q∨R)→((Q→S)∧(R→S)→(P →S))
この論理式の証明図の作成をお願いします。

No.23146 2022/06/17(Fri) 11:49:22

★ 素数の問題 / める

引用

漸化式
An＝(A1☓A2☓・・・An-1)+2
で与える時、両辺の約数は2か1しかありえない
は正しいですか？

No.23140 2022/06/15(Wed) 10:58:23

☆ Re: 素数の問題 / らすかる

引用

A1が正の整数として、「両辺の約数」が「任意の2項の公約数」という意味ならば、正しいと思います。

No.23141 2022/06/15(Wed) 11:18:49

☆ Re: 素数の問題 / める

引用

どのように示せばよいでしょうか？教えて下さい

No.23142 2022/06/15(Wed) 11:34:40

☆ Re: 素数の問題 / らすかる

引用

m＜nとしてAmとAnの公約数を考えた場合、漸化式から
An=NAm+2であり、Amが3以上の素因数pを持った場合
NAm+2はpで割り切れませんので、pは公約数の素因数にはなりません。
よって公約数の素因数となり得る素数は2のみです。
そしてAmが2^k(k≧2)で割り切れる場合、NAm+2は4で割り切れませんので
公約数は2の約数です。
またAmが2で割り切れて4で割り切れない場合も当然公約数は2の約数ですから、
結局任意の2項の公約数は1か2となります。
特に、A1が偶数ならば任意の2項の最大公約数は2、
A1が奇数ならば任意の2項は互いに素となります。

No.23143 2022/06/15(Wed) 12:31:37

☆ Re: 素数の問題 / める

引用

理解できました。ありがとうございます。フェルマー数は互いに素であるという証明の中で、この部分が自明のように書かれていましたが、しっかり証明するならこういうことになるんですね。
いつもありがとうございます。

No.23144 2022/06/15(Wed) 13:57:47

★ こんなことありえますか / 村崎スイカ

引用

下記の問題にこんな答えがあると聞きました。この答えは正解なのでしょうか。また、正解である理由を教えてください。

§問題

見かけが同じで区別ができない電子秤の試作品が７台ありました。
　
電子秤は、そのへんに売っている体重計みたいな使い方をします。

ものを乗せると、その重さを
ＬＥＤ表示部にグラム単位で示してくれるものです。

どれも、まだ試作品なので、
１回使うと表示部に示された重さがそのまま残り続け、
２回目以降、どのような品物を乗せても、
１回目に乗せた品物と同じ重さを表示してしまう
ポンコツです。早い話が、１回コッキリしか使えません。
　
かてて加えて、
７台のうち６台は、重さを数字で表示したときに、
１の位の数字が１であるべきときに０を、
１の位の数字が０であるべきときに１を、
誤って表示してしまうポンコツです。
たとえば、
乗せた品物が１５１ｇならば１５０ｇと表示され、
乗せた品物が５００ｇならば５０１ｇと表示されるのです。
　
このように１の位の誤表示が発生しているのは、
７台のうちの６台のみで、
残りの１台は、正しく１の位の数字を表示します。
　
１６枚の金貨があります。
　
うち１枚の本物の金貨の重さは１１ｇで、
残りの１５枚は１０ｇの偽物です。
　
７台のポンコツ電子秤のみを使って、
１枚の本物の金貨を確実に特定できる方法を
考えてみてください。
　

§答え
１６枚の金貨の名前をａｂｃｄｅｆｇｉｉｊｋｌｍｎｏｐとします。

１回目から７回目までで電子秤に乗せて重さを計る金貨を次のようにすれば本物の金貨を特定できます。

?@bdfhjlnp
?Acdghklop
?Befghmnop
?Cijklmnop
?Dbdegiknp
?Ebcehjkmp
?Fcdefijop

No.23138 2022/06/12(Sun) 22:34:24

☆ Re: こんなことありえますか / 黄桃

引用

>この答えは正解なのでしょうか
正解です。以下で説明します。

コインを量る組み合わせをoが秤に乗せる、-が秤に乗せない、として表にすると以下のようになります。
（見づらかったらコピペして等幅フォントでみてください）

abcdefghijklmnop
-o-o-o-o-o-o-o-o
--oo--oo--oo--oo
----oooo----oooo
--------oooooooo
-o-oo-o-o-o--o-o
-oo-o--o-oo-o--o
--oooo--oo----oo

どれも8個のコインを量っているので秤の計測結果は80か81になります。

例えば、すべての秤が誤った表示なら、bのコインが本物なら、bの列を縦に見て、1,5,6回目のoの時に80が、その他の-の時に81と表示されるはずです。
実際は１つ正常な秤があるので、このうち1回は逆の答(80なら81に81なら80)になります。
つまり、計測結果としてoで80, - で81 を表すことにすれば、o---oo- というパターン（これをbのパターンということにします）のうち、どこか１つだけoと-が反転したものが得られるわけです。

もしcのコインが本物であれば、-o---oo というcのパターンのうち、どこか１つだけoと-が反転したものが得られるはずです。

さて、もし、b,cのパターンを比べて3か所以上異なっていれば、b,cからそれぞれ1か所ずつ反転させたパターンは被ることはありません。
なぜなら、bのパターンから1か所、cのパターンから1か所変えて同じパターンxになったとすれば、bのパターンから1か所変え、xにし、xを1か所変えてcのパターンになる、つまりbから最大2か所変えればcのパターンになるからです。

同様に、aからpのパターンのどの2つをとっても3か所以上異なる場所があれば、1か所ずつ反転させたパターンは被ることがありません。
そして、実際調べてみれば、aからpのどの２つのパターンも3か所以上異なっています。

計測結果のパターンxは、aからpのパターンのうち、どこか1か所だけ異なっているはずですが、このようなパターンが被ることはないので、aからpのどれか１つだけが該当します。
そのパターンに対応するコインが本物とわかります。ついでに、その異なっている秤が正しい秤だったということもわかります。

もっといえば、実は、正しい秤が1つ以下（なくてもよい、という意味）の場合に、どれが本物のコインであり、どれが正しい秤か（あるいはどれも誤った表示か）がわかるようになっています。

＃パズルというより、誤り訂正符号の例である(7,4)ハミング符号の見方をかえたものと思われます。
＃興味があればハミング符号で検索してみてください。

No.23139 2022/06/14(Tue) 23:37:12

☆ Re: こんなことありえますか / 村崎スイカ

引用

黄桃さま。

とても丁寧で細かい解説をまことに有り難うございます。

お陰様でひとつの疑問も残らず理解することができました。

感謝に堪えません。

> 同様に、aからpのパターンのどの2つをとっても3か所以上異なる場所があれば、1か所ずつ反転させたパターンは被ることがありません。

こうなっていたのですね、全く気がつきませんでした。
実に巧妙だと思いました。

頂いたアドバイスに従い若干検索いたしましたところ、
「ハミング距離」という語にも出会いました。
今回の場合には「ハミング距離」が３以上になっているので、「1か所ずつ反転させたパターンは被ることがありません」という仕掛けがうまく動いていると納得いたしました。「ハミング距離」が２だと、どっちだろうと迷ってしまいます。

「ハミング距離」という語を使わずに、丁寧に細かくその原理を解説して頂きました。こうした理解を一生忘れられないことでしょう。

#理解に時間がかかりまして、このお返事が遅くなりましたことをお詫びいたします。

P.S.
?Eと?Fの位置をいれかえ、a～pの順番を調節してみました。

うまくできているなあと驚きました。

##1234 57 6
p 0000 00 0
h 0001 11 0
d 0011 00 1
l 0010 11 1

j 0110 10 0
b 0111 01 0
f 0101 10 1
n 0100 01 1

m 1100 11 0
e 1101 00 0
a 1111 11 1
i 1110 00 1

k 1010 01 0
c 1011 10 0
g 1001 01 1
o 1000 10 1

No.23145 2022/06/16(Thu) 10:45:24

★ (No Subject) / ねっし〜

引用

後半、不必要なことを書いてしまいました、すみません。

No.23137 2022/06/10(Fri) 12:05:18

★ (No Subject) / ねっし～

引用

オイラーのファイ関数と中国余剰定理ってかなり近いことを言っていますか？というか、中国余剰定理の特殊形がオイラー関数と考えることができますか？
問題としては、互いに素な整数a1、a2、a3、anについて1~Nまでにa1で割ると余りがp1またはp2または･･･psであり、a2で割ると余りがq1またはq2または･･･qtであり･･･を満たす整数の数はN(1-1/s)(1-1/t)(1-1/u)･･･かと思うのですが(これは中国余剰定理より)、この式はファイ関数にとても似ており、内容もかなり同じように感じます。
どうでしょうか？

n個の素数をa1~anとし、1~anまでの範囲で考えるとき、オイラー関数はN=a1^p1a2^p2･･･an^pnと互いに素な整数の数を求める式となりますが、
ここで1~Nまでにa1で割るとr1余るような整数は1つなので、

No.23136 2022/06/10(Fri) 12:03:38

★ 式と直線の問題 / u

引用

あるクラスの 5 人の身長と平均歩幅は次の通りであった。ただし, 身長を x, 平均歩幅を y とし, 5 人の計測値を (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, 5 としている。

i=1 xi=154 yi=69
i=2 xi=158 yi=67
i=3 xi=165 yi=75
i=4 xi=152 yi=61
i=5 xi=161 yi=73

x と y の間には xy-平面上の直線 y = ax + b で表される関係があると仮定し、この直線の式を定める。直線上の点の x 座標が xi のとき y 座標を yˆi で表し,Σ[i=1→5](yi － yˆi)^2ができるだけ小さくなるようにしたい.

問題 1 直線を求めるための方針を簡潔に説明しなさい.

問題 2 関係式を求めなさい. 求める過程を詳細に示すこと.

問題 3 求めた直線上の y = yi に対応する x 座標を zi とするとき zi の平均は xiの平均に等しくなることを示しなさい.

Anser
問題１はi=2,3を外れ値にしてi=1,4,5の連立方程式を解いていく流れでいいでしょうか？
問題２は問題１の連立方程式を解いていくだけでしょうか？
問題３はxiもziも同じ値が同じ数あるので平均は等しくなるという解釈で間違ってないでしょうか？

No.23134 2022/06/05(Sun) 01:58:41

★ 無理数 / 教えて！ゴー

引用

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12970651.html
ここに書かれている内容なのですが、
「無理数の小数点以下には、特定の有限個の数字の組み合わせが必ず無限個存在する」
「無理数を小数で表現すると、小数点以下に数字が無限に続きますが、それらには周期性はありません。またその中で、隣り合う有限個の数字の特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回見つけることができます。」
って正しいのではないのでしょうか？
なぜか大半の回答者が間違っているとしていて不思議なのですが、たとえば3個の数字の組み合わせがどれも有限個しか現れないとすると、有限小数になりませんか？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12972422.html
私と同様の読み方にも
"したがって、「隣り合う有限個の数字の特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回見つけることができます。」は偽です。"
と手厳しい批判が加えられていて、ますます謎です。
私には正しいことを言っているようにしか読めないのですが…。

どなたか私の誤解を解いていただけないでしょうか？

No.23128 2022/06/02(Thu) 23:06:47

☆ Re: 無理数 / らすかる

引用

正しいと思います。
間違いと言っている人は、おそらく「特定の」の意味を誤解しているのでしょう。
「特定の有限個の数字の組み合わせが必ず無限個存在する」
というのは
「“ある”有限個の数字の組み合わせが無限個存在する」
すなわち
「無限個存在するような有限個の数字の組み合わせが存在する」
という意味ですから、無理数でなくても無限小数なら成り立ちます。

No.23129 2022/06/02(Thu) 23:52:29

☆ Re: 無理数 / 教えて！ゴー

引用

ありがとうございます。
とても安心しました。

No.23130 2022/06/03(Fri) 21:36:09

☆ Re: 無理数 / コング鼡

引用

よくわからないのでご教示をお願いいたします。

チャンパーノウン定数というのがあります。

0.1234567891011121314151617...

これは、十進小数表示において自然数が順に連なっている無理数です。

このチャンパーノウン定数の
小数点以下第５位にあらわれる「５」以外の全ての位の「５」を「０」に差し替えたものも、無理数であろうと思われます。この数をここでは、ａと名前をつけておきます。

さて、私には「またその中（小数点以下）で、隣り合う有限個の数字の特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回見つけることができます。」

という文の意味が曖昧に感じられました。

さきほどのａを引き合いにしていえば、123456 という、小数点以下第一位から第六位までの数字の特定の組み合わせは、もう二度と出現しません。

―――

また、一方におきまして……
【すなわち
「無限個存在するような有限個の数字の組み合わせが存在する」
という意味ですから、無理数でなくても無限小数なら成り立ちます。】ということですと、無限小数であらわせられる有理数までもが対象となっています。

もっというとたとえば
1＝0.999999...
ですから
有限小数を含めて任意の有理数についても含めて、ということになってしまいます。

くだんの教えてネットが、無理数について話題にしていることを考えますと、なんとも不可思議です。
教えてネットでは何が言いたかったのでしょう……

――

ａではなく、チャンパーノウン定数のほうでは、

小数点以下の、任意の切り出しかたで得られる数字の並びが、無限個得られることが自明だと思われます。
最初はこちらの例を頭に思い浮かべたのですが……

No.23131 2022/06/04(Sat) 11:20:03

☆ Re: 無理数 / らすかる

引用

> さて、私には「またその中（小数点以下）で、隣り合う有限個の数字の
> 特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回見つける
> ことができます。」
>
> という文の意味が曖昧に感じられました。

曖昧さはないと思いますが、誤解する人が結構いるようですから
わかりやすくはないということでしょうね。

> さきほどのａを引き合いにしていえば、123456 という、小数点以下第一
> 位から第六位までの数字の特定の組み合わせは、もう二度と出現しません。

出現しなくなる数字列の例を挙げても意味がありません。
例えば「6桁」限定とすると、000000,000001,000002,…,999999という
100万通りの並びがあるわけですが、この100万通りがすべて有限個と
仮定すると有限小数になってしまって矛盾しますので、100万通りのうち
少なくとも一つは無限個あるはずです。この無限個ある数字列が
「特定の組み合わせ」です。つまり
「6桁の特定の数字列が無限個」＝「100万通りのうちのどれかは無限個」
ということです。

> 【すなわち
> 「無限個存在するような有限個の数字の組み合わせが存在する」
> という意味ですから、無理数でなくても無限小数なら成り立ちます。】
> ということですと、無限小数であらわせられる有理数までもが対象と
> なっています。

その通りです。間違いありません。

> もっというとたとえば
> 1＝0.999999...
> ですから
> 有限小数を含めて任意の有理数についても含めて、ということに
> なってしまいます。

有限小数も無限小数として表すと考えれば、その通りです。
上記の例では特定の数字列である「999999」が無限個出現します。

> くだんの教えてネットが、無理数について話題にしていることを
> 考えますと、なんとも不可思議です。
> 教えてネットでは何が言いたかったのでしょう……

「無限小数」で成り立つ話ではありますが、(1=0.999…という話は
なしとして)無限小数になるかどうかは進数に依存する話です。
例えば0.333…には「333333」が無限個存在しますが、これを3進法で
表した「0.1」は有限小数なので存在しなくなります。
それに対して、「無理数」というのは任意のn進法に対して無限小数に
なり、進数と関係なく言えることになりますので、無理数に限定する
意味はあると思います。

> ａではなく、チャンパーノウン定数のほうでは、
>
> 小数点以下の、任意の切り出しかたで得られる数字の並びが、無限個
> 得られることが自明だと思われます。
> 最初はこちらの例を頭に思い浮かべたのですが……

その意味と考えると、任意の無理数に対して成り立つ話ではなくなりますし、
例えば円周率についてもそれが成り立つかどうかなどは問題として難しすぎ、
おそらく今は誰にもわからないと思います。
「任意の組み合わせ」とは言っていませんよね。
「特定の組み合わせ」ですから、「どれか少なくとも一つ」です。

No.23133 2022/06/04(Sat) 16:37:25

☆ Re: 無理数 / コング鼡

引用

らすかるさん。

下記のお言葉が全てですね……
> 「特定の組み合わせ」ですから、「どれか少なくとも一つ」です。

再三のご教示をまことに有り難うございました。

――

元となったＱ＆Ａ掲示板には「正規数である無理数」と「正規数ではない無理数」とが登場していましたので、私は、そちらに引っ張られてイメージをしていたようです。

No.23135 2022/06/05(Sun) 09:58:46

★ [0..+∞]の位相って普通は? / からすみ

引用

T_R|_{[0..+∞)}∪{T∪{+∞};T∈T_R|_{[0..+∞)}}
(但し,T_Rは実数体Rの通常の位相,T_R|_{[0..+∞)}:={T∩[0..+∞);T∈T_R})
は位相の定義を満たしますが

これは[0..+∞]の位相って言えば普通はこれを意味しますか?

No.23127 2022/06/01(Wed) 11:47:14

★ (No Subject) / テステステス

引用

投稿可能かどうかの確認です。

No.23121 2022/05/30(Mon) 22:39:53

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