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数学の部屋BBS
質問のある方は、学年等を書くようにしてくださいね。
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★ 微分積分 / よさ
a,b,c>0とする.条件 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1のもとでのx+y+zの最大値と最小値を求めよ. この問題を教えてください！方針だけでも教えてもらえるとありがたいです
No.23016 2021/08/03(Tue) 16:30:24
☆ Re: 微分積分 / たけちゃん
学習レベルにより，いろいろな方法が考えられます．
ここでは，かなり早く習うであろう分野の知識で解いてみます．

[コーシー・シュワルツの不等式(もしくは空間ベクトルの内積)を用いて]
(以下，表記の都合上，ベクトルを表すにも単一の英文字を使います．)
(x/a,y/b,z/c)を成分とするベクトルをp，(a,b,c)を成分とするベクトルをqとする．
x,y,zが条件を満たして変化するとき，
pは空間内のどんな単位ベクトルにもできる．また，qは定ベクトルである．
x+y+z=p・qであるから，p,qのなす角をθとして，
x+y+z=|p||q|cosθ=(cosθ)√(a^2+b^2+c^2).
θは0≦θ≦πの任意の値をとるから，x+y+zの最大値は√(a^2+b^2+c^2).

[三角関数を中心に]
(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1だから，-a≦x≦a.
この範囲でxを固定すると，(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1-(x^2)/(a^2)だから，
y/b=(cosθ)√(1-(x^2)/(a^2)),z/c=(sinθ)√(1-(x^2)/(a^2))と表され，
x+y+z=x+(bcosθ+csinθ)√(1-(x^2)/(a^2))となり，
b,cによって決まる定数αを用いて
bcosθ+csinθ=(sin(θ+α))√(b^2+c^2)と表されることから，
xを固定したときのx+y+zの最大値は
x+(√(b^2+c^2))√(1-(x^2)/(a^2))=a(x/a)+(√(b^2+c^2))√(1-(x/a)^2) (=Aとする).
この式で，xを-a≦x≦aの範囲で動かす．
改めて，x/a=cosθ,√(1-(x/a)^2)=sinθ (0≦θ≦π)とおくことができて，
A=acosθ+(√(b^2+c^2))sinθとなり，
a,b,cによって定まる定数β(鋭角)を用いて
A=(sin(θ+β))√(a^2+b^2+c^2)
となるから，求める最大値は
√(a^2+b^2+c^2).
No.23017 2021/08/11(Wed) 15:04:40
★ 大学数学　微積 / うなぎ
f(x,y) = sinx + siny + sin(x + y) (0 < x,y < π) の極値をすべて求め，極大か極小かを 判定せよ.
この問題で途中で息詰まってしまいました。教えていただけませんか？
No.23015 2021/08/03(Tue) 16:24:34
★ (No Subject) / 空間幾何勉強中
正二十面体の中心と辺上の中点を結んだ６つの線分は直交することはどうやったら示せますかね...
少しの情報でもいいので教えてください！
No.23008 2021/07/27(Tue) 11:55:01
☆ Re: / らすかる
側面がすべて正三角形である正五角錐A-BCDEFでAB⊥DEであることを考えれば、あとは面のつながり方で言えると思います。
No.23009 2021/07/31(Sat) 07:25:43
☆ Re: / 空間幾何勉強中
>>>AB⊥DE
ABとDEはねじれな関係ではないでしょうか
No.23010 2021/08/01(Sun) 09:34:29
☆ Re: / らすかる
ねじれの関係でも垂直は定義されます。
ABまたはDEを平行移動して交わるようにしたときの角度と考えて下さい。
ベクトルABとベクトルDEのなす角度と考えてもいいです。
No.23011 2021/08/01(Sun) 10:51:49
☆ Re: / 空間幾何勉強中
なんと...まだまだ勉強不足でした、ありがとうございます。
AB⊥DEに関して、平行移動をどうすれば垂直が示せるんですか？
No.23012 2021/08/01(Sun) 13:02:24
☆ Re: / らすかる
平行移動するならDEを中点がAになる位置に平行移動させれば垂直とわかりますね。
でもこの場合は平行移動しなくても、「正五角錘を上から見た図」つまり
中心がAの正五角形BCDEFで考えれば垂直なのはほとんど明らかです。
あるいは、DEの中点をMとしてA,B,Mを通る平面を考えると
この平面とDEが直交することからも垂直と言えます。
（直線と垂直に交わる平面上にある直線はすべて最初の直線と垂直）
No.23013 2021/08/01(Sun) 17:56:24
☆ Re: / 空間幾何勉強中
ありがとうございます。助かりました
No.23014 2021/08/02(Mon) 12:11:06
★ 大学数学 / cziffra
f'(x)= 2 logx+2-1/2(x-1)^-2/3
f'(x)=0は解けますか？ 回答よろしくお願いします。
No.23007 2021/07/22(Thu) 13:30:01
★ 大学数学 / おさる
大学数学の問題です。
f(x)=シグマ（j=0から無限大まで）((-1)^j)x^2j/(2j)!
とする。f(x)=cosxであることを利用せずにfが1<x<2の範囲にただ1つの零点を持つことを示せ。
この問題がさっぱりわかりません。よろしくお願い致します。
No.23006 2021/07/21(Wed) 21:36:11
★ 公理系 / 空間幾何勉強中
検証していることが数個あって、ぜひ手伝って頂きたいです。もちろんわかる範囲、問題だけで結構です。
よろしくお願いします。

➀交わる平面 πとρがあって図形§を二平面に正射影したら、いずれも直線となった。§は直線となるか。ならないなら判例を挙げよ

?A平行線が同じ平面となす角は等しいことを証明せよ

?B直角の正射影が直角であるとき、少なくとも直角を構成する一辺は投影面に平行であることを示せ
No.23005 2021/07/20(Tue) 13:51:13
★ 幾何の問題です / 田中
こんばんは、久しぶり投稿いたします。最近、ぼんやりした幾何の問題に取り組んでいます。
次の問題、興味がありましたら考えてみてください。当方数日考えましたが、あと一歩うまくいきません。
証明問題です。
　三角形ABCで、辺の長さが、AB > AC > BC であるとき、　三角形内に一点P　をとったとすると
　　　AB+AC > PA+PB+PC が成り立つことを証明せよ。
No.23000 2021/07/17(Sat) 23:14:09
☆ Re: 幾何の問題です / らすかる
細部の証明は省略します。
AB上にAD=ACとなるように点Dをとります。条件から∠A＜60°です。

(1)Pが△ADCの内部にある場合
Pを通りDCに平行な直線とAD,ACの交点を順にF,Eとします。
PE≦PFの場合
AC+AD＞AC+ED=(AE+EC)+ED=AE+(EC+ED)＞PA+(PC+PD)
PE＞PFの場合も全く同様にAC+AD＞PA+(PC+PD)
よって
AB+AC=(AD+DB)+AC＞AD+(PB-PD)+AC
=(PB-PD)+(PA+PC+PD)=PA+PB+PC

(2)Pが△BCDの内部またはCD上にある場合
Pを通りABに平行な直線とBCの交点をEとすれば
AB+AC＞AE+BC=AE+(BE+EC)=(AE+BE)+EC＞(PA+PB)+PC

従っていずれの場合もAB+AC＞PA+PB+PCが成り立つ。
No.23001 2021/07/18(Sun) 14:49:44
☆ Re: 幾何の問題です / 田中
ありがとうございます。以前にも難問を解いていただき感謝申し上げます。今回の問題の印象は「もやもやして分かりにくい」というものでしょう。らすかる様の解答は、きっと正しいのだと思いますが、６行目の後ろ側
AE+(EC+ED)＞PA+(PC+PD)　ここが疑問です。AE>PA は言えますが、(EC+ED)＞(PC+PD)がいえるかどうかです。これさえはっきりすれば証明は成立するのですが。あと少し自分で考えます。ありがとうございます。
No.23002 2021/07/18(Sun) 23:29:40
☆ Re: 幾何の問題です / らすかる
EC+ED＞PC+PDは「2点からの距離の合計が一定である点の軌跡は楕円」を使ってよければ簡単に言えます。
C,Dを焦点としてE,Fを通る楕円を考えてその楕円上の点をQとするとQC+QD=EC+ED=FC+FDですが、
Pはこの楕円の内部にありますのでPC+PDはEC+EDより小さくなります。

楕円の考え方を使わないとしたら、例えば
直線EFに関してCと対称な点をC'とすればEC+ED=EC'+ED,
PC+PD=PC'+PDとなり、これはC'からDに到達するまでに
直線EFのどこを通過するかという違いになります。
通過点がEFの中点から遠ざかるほど距離が長くなるのは
直感的に明らかですね。
C'を使えばきちんとした証明も難しくないと思います。
No.23003 2021/07/19(Mon) 00:34:12
☆ Re: 幾何の問題です　 / 田中
実に美しいです。これは、あの物理の光の反射の経路「道筋の最短経路はどこか」の問題で昔やったものですね。思い出しました。DからFEの鏡の面に発射された光線が、反射の法則でCに到達するのが最短で、C'以外の点に向かったものは、それより長いというもの。この場合、FEDCは、等脚台形ですから、紛らわしいことはなく明快にこれが言えるので成立しています。らすかる様の上の説明の「楕円」を使う考え方にも及ぶとは、感動です。伝説の数学マスターと呼びたい。この問題と解答、当方、清書して保存しておきたいと思います。
No.23004 2021/07/19(Mon) 01:39:16
★ 因数分解ー応用問題 / りさ
6x^3 -37x^2 +5x +6 を因数分化しなさい。

答えは(3x+1)(2x-1)(x-6)ですが、解き方がわかりません。助けてください！
No.22998 2021/07/16(Fri) 20:01:08
☆ Re: 因数分解ー応用問題 / たけちゃん
「因数分化」は「因数分解」ですね．

数学IIで学ぶ因数定理を用いる問題としては典型問題です．
f(x)=6x^3-37x^2+5x+6として，f(6)=0を見つけて，
f(x)はx-6で割り切れることがわかり，
実際に割ってみることで，f(x)=(x-6)(6x^2-x-1)となります．
後は易しいはずです．

もし因数定理や整式の割り算をまだ習っていないのであれば，
これはちょっと無理のある問題に見えます．
それでも，3次式であることから，因数分解できるとすれば1次式で割り切れるはずで，
そこから見つけ出すことも不可能ではないかもしれません．
例えば，
6x^3-37x^2+5x+6
=(6x^3-37x^2+6x)-x+6
=x(6x-1)(x-6)-(x-6)
=(x-6)(6x^2-x-1)
=(x-6)(2x-1)(3x+1).
No.22999 2021/07/17(Sat) 10:22:16
★ 数のパズル　 / める
0,2,3,5,6,7,8,9の8つの数字を一回ずつ使って、三桁の数2つと二桁の数一つを作り、それらの和が1021になるようにしたいです。
例えば一つの答えは026+937+58です。
どう考えると、簡単に答えにたどりつけるでしょうか？
並べ方の、組み合わせの絞り方があれぱ教えて下さい。
No.22993 2021/07/03(Sat) 16:31:29
☆ Re: 数のパズル　 / らすかる
普通「三桁の数」と言ったら百の位が0ではいけないと思います。
一の位が1になるためには、一の位の組み合わせは
(0,2,9),(0,3,8),(0,5,6),(2,3,6),(5,7,9),(6,7,8)の6通り
(0,2,9)の場合
十の位に1繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(6,7,8)のみ
このとき残りは3,5となり、百の位に2繰り上がるので条件を満たす。
よって百の位が3と5、十の位が6と7と8、一の位が0と2と9である36通りは解
(0,3,8)の場合
十の位に1繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(5,7,9)のみ
このとき残りは2,6となり、百の位に2繰り上がるので条件を満たす。
よって百の位が2と6、十の位が5と7と9、一の位が0と3と8である36通りも解
(0,5,6)の場合
十の位に1繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは存在せず不適。
(2,3,6)の場合
十の位に1繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(5,7,9)のみ
このとき0が残るので不適。
(5,7,9)の場合
十の位に2繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(0,2,8)のみ
このとき残りは0,3なので条件を満たさず不適。
(6,7,8)の場合
十の位に2繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(2,3,5)のみ
このとき0が残るので不適。
従って条件を満たす組み合わせは全部で72通り。
No.22994 2021/07/03(Sat) 20:55:04
☆ Re: 数のパズル　 / める
一の位から場合をわけて、こつこつやるのが、洩れがなくていい方法ですね。ありがとうございました。
もともとの問題は、0から9の中から9この数を使って、四桁、三桁、二桁の数を作ってその和を2021にするというものでした。9で割った余りが４なので、除外する数は４と分かり、四桁の数の千の位は１で確定。
ということで、今回質問した形の問題になりました。
No.22995 2021/07/04(Sun) 08:19:11
☆ Re: 数のパズル　 / める
(5,7,9)の場合
十の位に2繰り上がるので、十の位が2になるための組み合わせは(0,2,8)のみ
このとき残りは0,3なので条件を満たさず不適。

よく見ると、この場合は残りは０、３ではなくて３、６なので成り立っていますよね？
No.22996 2021/07/10(Sat) 14:29:12
☆ Re: 数のパズル　 / らすかる
ごめんなさい、その通りです。間違いでした。
No.22997 2021/07/10(Sat) 15:10:36
★ (No Subject) / cheetah
三角形の頂点をA,B,Cとして、その三角形の内接円と三角形の接点をP (A-B間), Q (B-C間), R (C-A間) とした場合、AP=AR, BP=BQ, CQ=CRとなることの証明は、内接円が三角形の角の二等分線の交点だという前提知識なしにできるものでしょうか?
小学生の範囲でこれが解けるのか、それとも暗記をするものなのか知りたいです。
No.22990 2021/07/01(Thu) 11:06:49
☆ Re: / らすかる
この考え方で「小学生の範囲」と言えるかどうかはよくわかりませんが、
「円は中心を通る任意の直線に関して対称」（これは小学生でも直感的に
理解しやすいと思います）であることから、頂点を通り円に接する2直線は、
頂点と円の中心を結ぶ直線に関して対称なので、頂点から2接点までの長さが
等しくなることはわかると思います。
# 例えばA,B,Cがこの順に一直線上に並ぶとき、ABを直径とする半円に
# Cから接線を引くとただ一つの接線が引けて、それを直線ABに関して
# 対称移動したものが反対側の半円と接線ですから、
# Cから接点までの長さは当然一致しますね。
No.22991 2021/07/01(Thu) 15:02:58
☆ Re: / cheetah
回答ありがとうございます。

たしかに、対称移動するという考え方だと直感的でわかりやすいです。

ある塾が示した、某中学の試験問題の解答にて、接点と頂点の距離が等しいことを前提知識として解いていました。
中学受験では、複雑な証明をする必要はないので、たしかに直感でもよさそうです。
No.22992 2021/07/01(Thu) 17:57:25
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